Ciągi na maturze - suma ciągu, monotoniczność i zadania otwarte z pełnymi rozwiązaniami

Ciągi na maturze - co musisz umieć na egzaminie

Na maturze z matematyki ciągi pojawiają się zawsze - minimum 2 zadania, w tym przynajmniej jedno otwarte za 4-5 punktów. Podstawy (wzór na n-ty wyraz, różnica, iloraz) znajdziesz w podstawowym przewodniku po ciągach. Ten artykuł idzie dalej - skupiamy się na sumach ciągów, monotoniczności i zadaniach otwartych, bo tam leżą punkty na maturze.

---

Suma ciągu arytmetycznego

Wzór podstawowy

Suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

Alternatywna postać (gdy nie znasz $a_n$):

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n$$

gdzie $r$ to różnica ciągu.

Kiedy który wzór?

Zadanie 1 - typowe maturalne

Dany jest ciąg arytmetyczny, w którym $a_1 = 3$ i $r = 4$. Oblicz sumę dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.

Najpierw obliczamy $a_{20}$:

$$a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$$

Teraz suma:

$$S_{20} = \frac{(3 + 79) \cdot 20}{2} = \frac{82 \cdot 20}{2} = \frac{1640}{2} = 820$$

Zadanie 2 - suma z warunkiem

Suma pięciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 35, a suma dziesięciu pierwszych wyrazów wynosi 120. Znajdź $a_1$ i $r$.

Z wzoru na sumę tworzymy układ równań:

$$S_5 = \frac{2a_1 + 4r}{2} \cdot 5 = 5a_1 + 10r = 35$$ $$S_{10} = \frac{2a_1 + 9r}{2} \cdot 10 = 10a_1 + 45r = 120$$

Z pierwszego równania: $a_1 + 2r = 7$, czyli $a_1 = 7 - 2r$.

Podstawiamy do drugiego:

$$10(7 - 2r) + 45r = 120$$
$$70 - 20r + 45r = 120$$
$$25r = 50$$
$$r = 2$$

Więc $a_1 = 7 - 4 = 3$.

Sprawdzenie: $S_5 = \frac{(3 + 11) \cdot 5}{2} = 35$ ✓, $S_{10} = \frac{(3 + 21) \cdot 10}{2} = 120$ ✓

Więcej o układach równań na maturze.

---

Suma ciągu geometrycznego

Wzór

Suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego ($q \neq 1$):

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}$$

Jeśli $q = 1$, to $S_n = n \cdot a_1$ (każdy wyraz jest taki sam).

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego

Jeśli $|q| < 1$, ciąg geometryczny ma sumę nieskończoną:

$$S = \frac{a_1}{1 - q}$$

Ten wzór pojawia się rzadko na poziomie podstawowym, ale warto go znać na wszelki wypadek.

Zadanie 3 - suma ciągu geometrycznego

Trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego to 2, 6, 18. Oblicz sumę ośmiu pierwszych wyrazów.

Iloraz: $q = \frac{6}{2} = 3$.

$$S_8 = 2 \cdot \frac{1 - 3^8}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 6561}{-2} = 2 \cdot \frac{-6560}{-2} = 6560$$

---

Monotoniczność ciągów

Ciąg arytmetyczny

Ciąg geometryczny

Tu jest trudniej, bo zależy zarówno od $q$ jak i od $a_1$:

Kluczowa obserwacja na maturę: ciąg geometryczny z ujemnym ilorazem nie jest monotoniczny - wyrazy zmieniają znak na przemian.

Zadanie 4 - monotoniczność z parametrem

Dla jakich wartości $m$ ciąg arytmetyczny o wyrazach $m-1, 2m+1, 5m-3$ jest rosnący?

W ciągu arytmetycznym różnica jest stała, więc:

$$(2m+1) - (m-1) = (5m-3) - (2m+1)$$ $$m + 2 = 3m - 4$$ $$6 = 2m$$ $$m = 3$$

Sprawdzamy: wyrazy to 2, 7, 12. Różnica $r = 5 > 0$, więc ciąg jest rosnący. ✓

Ale pytanie brzmi "dla jakich $m$" - tu jest tylko jedno $m = 3$, bo warunek bycia ciągiem arytmetycznym wyznacza $m$ jednoznacznie. Ciąg jest rosnący dla $m = 3$.

---

Zadania otwarte - poziom maturalny

Zadanie 5 (4 pkt)

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są: $a_3 = 10$ i $a_7 = 26$. Wyznacz $a_1$, $r$ oraz $S_{15}$.

Z wzoru na n-ty wyraz:

$$a_3 = a_1 + 2r = 10$$
$$a_7 = a_1 + 6r = 26$$

Odejmujemy stronami:

$$4r = 16, \quad r = 4$$

Więc $a_1 = 10 - 8 = 2$.

Suma 15 wyrazów:

$$a_{15} = 2 + 14 \cdot 4 = 58$$ $$S_{15} = \frac{(2 + 58) \cdot 15}{2} = \frac{60 \cdot 15}{2} = 450$$

Zadanie 6 (5 pkt)

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego wynosi 4, a trzeci wyraz wynosi 1. Wyznacz iloraz ciągu (wiemy, że jest dodatni) i oblicz sumę pierwszych sześciu wyrazów.

$$a_1 = 4, \quad a_3 = a_1 \cdot q^2 = 4q^2 = 1$$ $$q^2 = \frac{1}{4}, \quad q = \frac{1}{2} \quad (\text{bo } q > 0)$$ $$S_6 = 4 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^6}{1 - \frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{63}{32} = \frac{252}{32} = \frac{63}{8} = 7\frac{7}{8}$$

Zadanie 7 (5 pkt)

Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 21, a suma ich kwadratów wynosi 155. Znajdź te trzy wyrazy.

Oznaczmy wyrazy jako $a-r, a, a+r$ (klasyczna sztuczka na ciągi arytmetyczne).

Z sumy:

$$(a-r) + a + (a+r) = 3a = 21, \quad a = 7$$

Z sumy kwadratów:

$$(7-r)^2 + 49 + (7+r)^2 = 155$$ $$49 - 14r + r^2 + 49 + 49 + 14r + r^2 = 155$$ $$147 + 2r^2 = 155$$ $$2r^2 = 8, \quad r^2 = 4, \quad r = \pm 2$$

Trzy wyrazy to: 5, 7, 9 lub 9, 7, 5 (oba rozwiązania są poprawne).

Zadanie 8 (5 pkt)

Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny. Wiadomo, że $S_6 = 54$ i $S_{12} = 216$. Oblicz $S_{18}$.

$$S_6 = \frac{2a_1 + 5r}{2} \cdot 6 = 6a_1 + 15r = 54$$ $$S_{12} = \frac{2a_1 + 11r}{2} \cdot 12 = 12a_1 + 66r = 216$$

Z pierwszego: $2a_1 + 5r = 18$. Z drugiego: $2a_1 + 11r = 36$.

Odejmujemy: $6r = 18$, $r = 3$, $a_1 = \frac{18 - 15}{2} = \frac{3}{2}$.

$$S_{18} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + 17 \cdot 3}{2} \cdot 18 = \frac{3 + 51}{2} \cdot 18 = 27 \cdot 18 = 486$$

Sprytna metoda: W ciągu arytmetycznym zachodzi ciekawa własność - sumy bloków po 6 wyrazów tworzą ciąg arytmetyczny. $S_6 = 54$, $S_{12} - S_6 = 162$, więc $S_{18} - S_{12} = 162 + (162 - 54) = 270$. Stąd $S_{18} = 216 + 270 = 486$.

---

Typowe pułapki na maturze

1. Ciąg geometryczny z ujemnym ilorazem - pamiętaj, że $q^2 = 4$ daje $q = 2$ lub $q = -2$. Sprawdź w treści, czy iloraz ma być dodatni.

2. $a_n = S_n - S_{n-1}$ tylko dla $n \geq 2$ - pierwszy wyraz to $a_1 = S_1$. Jeśli zapomnisz, dostaniesz błędny wynik.

3. Mylenie sumy ciągu z n-tym wyrazem - CKE lubi pytać "wyznacz wyraz $a_n$", a uczniowie obliczają sumę. Czytaj treść uważnie.

4. Iloraz ciągu geometrycznego $q = 0$ - nie istnieje ciąg geometryczny z ilorazem 0. Jeśli $q = 0$ wychodzi w obliczeniach, coś poszło źle.

---

Co dalej?

Ciągi to gwarantowane punkty na maturze, jeśli opanujesz wzory i przećwiczysz zadania otwarte. Powodzenia!