W pewnym ciągu geometrycznym a_n wyraz a₄ jest osiem razy większy od wyrazu a₁. Drugi wyraz tego ciągu jest równy 6. Znajdź najmniejszą liczbę naturalną k taką, że a_k > 100.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: k=7
## Krok 1: Zapisanie danych zadania
W ciągu geometrycznym (a_n) zachodzi a_n = a₁ · q^(n-1), gdzie q to iloraz ciągu.
Dane: - a₄ = 8a₁ - a₂ = 6
## Krok 2: Znalezienie ilorazu ciągu
Z pierwszego warunku: a₄ = a₁ · q³ = 8a₁
Dzieląc obie strony przez a₁ (zakładając a₁ ≠ 0): q³ = 8 q = 2
## Krok 3: Znalezienie pierwszego wyrazu
Z drugiego warunku: a₂ = a₁ · q = 6
Podstawiając q = 2: a₁ · 2 = 6 a₁ = 3
## Krok 4: Zapisanie wzoru ogólnego
Wzór na n-ty wyraz ciągu: a_n = 3 · 2^(n-1)
## Krok 5: Znalezienie najmniejszego k takiego, że a_k > 100
Musimy rozwiązać nierówność: 3 · 2^(k-1) > 100 2^(k-1) > 100/3 2^(k-1) > 33,333...
Obliczamy kolejne potęgi dwójki: - 2⁵ = 32 < 33,33... - 2⁶ = 64 > 33,33...
Zatem: k - 1 ≥ 6 k ≥ 7
## Krok 6: Weryfikacja
Sprawdzamy: a₆ = 3 · 2⁵ = 3 · 32 = 96 < 100 a₇ = 3 · 2⁶ = 3 · 64 = 192 > 100
## Odpowiedź
Najmniejsza liczba naturalna k taka, że a_k > 100 to k = 7.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.