Na rysunku jest przedstawiony trzynastokąt wypukły o kolejnych wierzchołkach od A₁ do A₁₃ oraz przekątna A₁A₈ tego wielokąta. Spośród wszystkich 65 przekątnych tego wielokąta losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana przekątna będzie przecinała się z przekątną A₁A₈ w punkcie leżącym wewnątrz trzynastokąta. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 6/13
Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.
## Dane i cel - Trzynastokąt wypukły z wierzchołkami A₁, A₂, ..., A₁₃ - Dana przekątna A₁A₈ - Wszystkich przekątnych: 65 - Szuka się prawdopodobieństwa, że losowa przekątna przecina A₁A₈ wewnątrz wielokąta
## Krok 1: Warunek przecięcia przekątnych
Dwie przekątne A_iA_j i A_kA_l wypukłego wielokąta przecinają się wewnątrz wtedy i tylko wtedy, gdy wierzchołki A_i, A_k, A_j, A_l występują w tej kolejności (cyklicznie) na obwodzie wielokąta.
## Krok 2: Analiza położenia wierzchołków względem A₁A₈
Przekątna A₁A₈ dzieli wierzchołki na: - Jeden koniec: A₁ i A₈ - Jedna strona: A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇ (6 wierzchołków) - Druga strona: A₉, A₁₀, A₁₁, A₁₂, A₁₃ (5 wierzchołków)
## Krok 3: Warunek przecięcia z A₁A₈
Przekątna A_iA_j przecina się z A₁A₈ wewnątrz wielokąta wtedy i tylko wtedy, gdy: - jeden z wierzchołków A_i, A_j leży w zbiorze {A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇} - drugi wierzchołek leży w zbiorze {A₉, A₁₀, A₁₁, A₁₂, A₁₃}
## Krok 4: Liczba przekątnych przecinających A₁A₈
Liczba takich przekątnych to liczba sposobów wybrania: - jednego wierzchołka z pierwszej strony (6 możliwości) - jednego wierzchołka z drugiej strony (5 możliwości)
Liczba przecinających się przekątnych = 6 × 5 = 30
## Krok 5: Obliczenie prawdopodobieństwa
P = liczba przekątnych przecinających A₁A₈/(liczba wszystkich przekątnych) = 30/65
## Krok 6: Skracanie ułamka
30/65 = 30 : 5/(65 : 5) = 6/13
Sprawdza się, czy 6/13 jest nieskracalny: - NWD(6, 13) = 1 (13 jest liczbą pierwszą, a 13 6)
Odpowiedź: 6/13
Prawdopodobieństwo: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, drzewa stochastyczne, zdarzenia przeciwne i doświadczenia losowe z arkuszy maturalnych.