Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadnij, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy tych wyrazów.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy
Oznaczmy przez n = 2k+1 liczbę wyrazów ciągu (nieparzysta), gdzie k ≥ 0 jest liczbą całkowitą.
Krok 1: Wyrażenie środkowego wyrazu
Środkowym wyrazem ciągu o 2k+1 wyrazach jest wyraz o numerze k+1, czyli: a_(k+1)
Krok 2: Wzór na sumę ciągu arytmetycznego
Suma ciągu arytmetycznego o n wyrazach wynosi: S_n = n(a₁ + a_n)/2
Dla naszego ciągu: S_(2k+1) = (2k+1)(a₁ + a_(2k+1))/2
Krok 3: Wyrażenie pierwszego i ostatniego wyrazu przez środkowy
W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz (dla nieparzystej liczby wyrazów) jest średnią arytmetyczną pierwszego i ostatniego wyrazu: a_(k+1) = (a₁ + a_(2k+1))/2
Stąd: a₁ + a_(2k+1) = 2a_(k+1)
Krok 4: Podstawienie do wzoru na sumę
S_(2k+1) = (2k+1) · 2a_(k+1)/2 = (2k+1) · a_(k+1)
Krok 5: Wniosek
Otrzymaliśmy: S_(2k+1) = (2k+1) · a_(k+1)
Suma wszystkich wyrazów jest iloczynem liczby wyrazów i środkowego wyrazu. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są liczbami całkowitymi, to również a_(k+1) jest liczbą całkowitą.
Zatem suma S_(2k+1) jest podzielna przez środkowy wyraz a_(k+1), co kończy dowód.
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.