Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH o krawędzi podstawy długości 4√(2) oraz krawędzi bocznej równej 8. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AD i DC oraz przez wierzchołek H (zobacz rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 4√(17)
Rozwiążemy to zadanie, ustalając układ współrzędnych i znajdując współrzędne wierzchołków przekroju.
## Krok 1: Ustalenie układu współrzędnych
Umieśćmy graniastosłup w układzie współrzędnych tak, aby: - Punkt A = (0, 0, 0) - Punkt B = (4√(2), 0, 0) - Punkt C = (4√(2), 4√(2), 0) - Punkt D = (0, 4√(2), 0)
Górna podstawa (na wysokości z = 8): - Punkt E = (0, 0, 8) - Punkt F = (4√(2), 0, 8) - Punkt G = (4√(2), 4√(2), 8) - Punkt H = (0, 4√(2), 8)
## Krok 2: Wyznaczenie punktów przekroju
Płaszczyzna przechodzi przez: - P - środek krawędzi AD: P = (0, 2√(2), 0)
- Q - środek krawędzi DC: Q = (2√(2), 4√(2), 0)
- H - wierzchołek górny: H = (0, 4√(2), 8)
## Krok 3: Sprawdzenie typu czworokąta przekroju
Płaszczyzna przecina również krawędź EH. Środek krawędzi EH: R = (0, 2√(2), 8)
Sprawdźmy, czy punkty P, Q, R, H leżą w jednej płaszczyźnie.
Wektory z punktu P: PQ = (2√(2), 2√(2), 0) PH = (0, 2√(2), 8) PR = (0, 0, 8)
Zauważmy, że PR = (0, 0, 8) jest równoległy do składowej z wektora PH.
Przekrój to czworokąt PQHR.
## Krok 4: Obliczenie długości boków
|PQ| = √((2√(2))² + (2√(2))² + 0²) = √(8 + 8) = 4
|QH| = √((0-2√(2))² + (4√(2)-4√(2))² + (8-0)²) = √(8 + 0 + 64) = √(72) = 6√(2)
|HR| = √((0-0)² + (2√(2)-4√(2))² + (8-8)²) = √(0 + 8 + 0) = 2√(2)
|RP| = √(0² + 0² + 8²) = 8
## Krok 5: Obliczenie pola czworokąta
Przekrój jest trapezem (bo HR ∥ PQ, oba są poziome na różnych poziomach, ale to nieprawda).
Obliczmy pole jako sumę pól dwóch trójkątów: △PQH i △PHR.
Dla △PQH: PQ = (2√(2), 2√(2), 0), PH = (0, 2√(2), 8)
PQ × PH = i j k 2√(2) 2√(2) 0 0 2√(2) 8 = (16√(2), -16√(2), 4 · 2)
= (16√(2), -16√(2), 8)
|PQ × PH| = √(512 + 512 + 64) = √(1088) = 4√(68) = 8√(17)
S_(PQH) = 8√(17)/2 = 4√(17)
Odpowiedź: Pole przekroju wynosi 4√(17).
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.