Tworząca stożka o kącie rozwarcia α ma długość 8. Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe 48π. Oblicz objętość stożka oraz miarę kąta α.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: α=60° i V=64π√(3)/3
## Dane i oznaczenia
Oznaczmy: - l = 8 - długość tworzącej - r - promień podstawy - h - wysokość stożka - α - kąt rozwarcia stożka (kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym)
## Krok 1: Wyznaczenie promienia podstawy
Pole powierzchni całkowitej stożka: P_c = πr² + πr l
Podstawiamy dane: 48π= πr² + πr · 8
Dzielimy przez π: 48 = r² + 8r
r² + 8r - 48 = 0
Rozwiązujemy równanie kwadratowe: Δ= 64 + 192 = 256
r = (-8 ± 16)/2
Ponieważ r > 0: r = (-8 + 16)/2 = 4
## Krok 2: Wyznaczenie wysokości stożka
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych r, h i przeciwprostokątnej l: h² + r² = l²
h² + 16 = 64
h² = 48
h = 4√(3)
## Krok 3: Obliczenie objętości
V = 1/3πr² h
V = 1/3π · 16 · 4√(3)
V = 64π√(3)/3
## Krok 4: Wyznaczenie kąta rozwarcia
Kąt rozwarcia α to kąt przy wierzchołku stożka w przekroju osiowym. Połowa tego kąta to kąt między tworzącą a wysokością.
W trójkącie prostokątnym: sin(α/2) = r/l = 4/8 = 1/2
Zatem: α/2 = 30°
α= 60°
## Odpowiedź
α= 60° oraz V = 64π√(3)/3
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.