W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AB oraz |CD|=|CB| (zobacz rysunek). Bok CB przedłużono tak, że |CB|=|BE|. Wykaż, że |AC|=|DE|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że |AC|=|DE|
Zostanie wykazane, że |AC| = |DE| wykorzystując własności wektorów.
## Oznaczenia wektorowe
Oznaczmy: - CA = a - CB = b
## Wyrażenie wektora CD
Punkt D jest środkiem boku AB, więc:
CD = CA + AD = CA + 1/2AB
Ponieważ AB = CB - CA = b - a, otrzymujemy:
CD = a + 1/2(b - a) = a + 1/2b - 1/2a = 1/2a + 1/2b
## Wykorzystanie warunku |CD| = |CB|
Z warunku |CD| = |CB| mamy |CD| = |b|.
Obliczmy |CD|²:
|CD|² = |1/2a + 1/2b|² = 1/4|a|² + 1/2a · b + 1/4|b|²
Z warunku |CD|² = |b|²:
1/4|a|² + 1/2a · b + 1/4|b|² = |b|²
1/4|a|² + 1/2a · b = 3/4|b|²
|a|² + 2a · b = 3|b|² ...(1)
## Wyrażenie wektora DE
Punkt E leży na przedłużeniu CB tak, że |CB| = |BE|, więc:
CE = CB + BE = b + b = 2b
Zatem:
DE = DC + CE = -CD + CE = -(1/2a + 1/2b) + 2b
DE = -1/2a - 1/2b + 2b = -1/2a + 3/2b
## Obliczenie |DE|²
|DE|² = |-1/2a + 3/2b|² = 1/4|a|² - 2 · 1/2 · 3/2a · b + 9/4|b|²
|DE|² = 1/4|a|² - 3/2a · b + 9/4|b|²
Podstawiając z warunku (1): 2a · b = 3|b|² - |a|², więc a · b = (3|b|² - |a|²)/2:
|DE|² = 1/4|a|² - 3/2 · (3|b|² - |a|²)/2 + 9/4|b|²
= 1/4|a|² - (9|b|² - 3|a|²)/4 + 9/4|b|²
= (|a|² + 3|a|² - 9|b|² + 9|b|²)/4 = 4|a|²/4 = |a|²
## Wniosek
Ponieważ |DE|² = |a|² = |CA|², otrzymujemy:
|DE| = |AC|
co kończy dowód.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.