W pewnej szkole przez trzy kolejne lata zmieniała się liczba uczniów. W pierwszym roku liczba uczniów zmalała i na koniec roku była o 10% mniejsza niż na początku. W drugim roku wzrosła i ukończyło go 20% więcej uczniów niż pierwszy. O ile procent, w stosunku do liczby uczniów kończących drugi rok, zmniejszyła się ich liczba w następnym roku, jeśli na koniec trzeciego roku było tyle samo uczniów co na początku pierwszego? Wynik zaokrąglij do 0,1%.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 7,4%
Oznaczmy liczbę uczniów na początku pierwszego roku jako x.
## Rok pierwszy
Na koniec pierwszego roku liczba uczniów zmalała o 10%, więc: Koniec 1. roku = x - 0,1x = 0,9x
## Rok drugi
W drugim roku liczba uczniów wzrosła o 20% w stosunku do stanu na koniec pierwszego roku: Koniec 2. roku = 0,9x + 0,2 · 0,9x = 0,9x · 1,2 = 1,08x
## Rok trzeci
Wiemy, że na koniec trzeciego roku liczba uczniów wynosi x (tyle samo co na początku pierwszego roku).
Niech p% oznacza procent, o który zmniejszyła się liczba uczniów w trzecim roku (w stosunku do liczby na końcu drugiego roku).
Zmniejszenie o p% oznacza pomnożenie przez (1 - p/100): 1,08x · (1 - p/100) = x
## Rozwiązanie równania
1 - p/100 = x/1,08x = 1/1,08
p/100 = 1 - 1/1,08
p/100 = (1,08 - 1)/1,08 = 0,08/1,08
p = 0,08/1,08 · 100 = 8/1,08 = 800/108 = 200/27
p = 7,407...
Po zaokrągleniu do 0,1%:
p ≈ 7,4%
Odpowiedź: Liczba uczniów zmniejszyła się w trzecim roku o 7,4%
Procenty: Obliczenia procentowe, punkty procentowe, podwyżki i obniżki cen, procent składany oraz zadania o lokatach i podatkach.