Uzasadnij, że dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x różnych od 1/3 wartość wyrażenia log_(3x)(3x²)+log_(3x)(9x) jest większa od 2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Wykazano, że wartość wyrażenia jest równa 3, czyli jest większa od 2
Musimy pokazać, że dla x > 0 i x ≠ 1/3 zachodzi: log_(3x)(3x²) + log_(3x)(9x) > 2
Krok 1: Uproszczenie wyrażenia
Korzysta się z własności logarytmów log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc):
log_(3x)(3x²) + log_(3x)(9x) = log_(3x)(3x² · 9x)
Krok 2: Obliczenie iloczynu
3x² · 9x = 27x³
Więc: log_(3x)(27x³)
Krok 3: Rozkład argumentu
27x³ = 27 · x³ = 3³ · x³ = (3x)³
Zatem: log_(3x)((3x)³) = 3
Krok 4: Weryfikacja warunków
Musimy sprawdzić, kiedy podstawa logarytmu 3x jest poprawna: - 3x > 0 - spełnione, bo x > 0 - 3x ≠ 1 - czyli x ≠ 1/3 - spełnione z założenia
Krok 5: Porównanie z 2
Otrzymaliśmy, że wartość wyrażenia wynosi dokładnie 3.
Ponieważ: 3 > 2
Wniosek:
Dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x różnych od 1/3 wartość wyrażenia log_(3x)(3x²) + log_(3x)(9x) jest równa 3, a zatem jest większa od 2.
Logarytmy: Definicja logarytmu, wzory na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz typowe równania logarytmiczne z arkuszy CKE.