Funkcja logarytmiczna - wykres, dziedzina i monotoniczność

Funkcja logarytmiczna to funkcja dana wzorem $f(x) = \log_a x$, w której podstawa $a$ jest dodatnia i różna od $1$. Jej dziedziną jest przedział $(0, +\infty)$, zbiorem wartości cały zbiór liczb rzeczywistych, a jedynym miejscem zerowym $x = 1$. Dla $a > 1$ funkcja jest rosnąca, dla $0 < a < 1$ malejąca. Wykres nigdy nie przecina osi $OY$ i zawsze przechodzi przez punkty $(1, 0)$ oraz $(a, 1)$.

Na maturze rzadko trzeba narysować ten wykres z pamięci. Znacznie częściej trzeba coś z niego odczytać albo rozstrzygnąć jedno pytanie: czy funkcja rośnie, czy maleje. To jedno pytanie decyduje potem o znaku w nierówności logarytmicznej, więc pomyłka tutaj kosztuje całe zadanie. W bazie sprawnamatura stoi zadanie z arkusza próbnego CKE z grudnia 2024, w którym dana jest funkcja $f(x) = \log_6 x$ i trzeba ocenić prawdziwość dwóch zdań o niej. Poniżej masz komplet własności, wykres opisany słowami, wzory i pięć zadań rozwiązanych krok po kroku.

Czym jest funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna przyporządkowuje liczbie dodatniej $x$ wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$, żeby otrzymać $x$. Zapisujesz ją wzorem $f(x) = \log_a x$, a definicja logarytmu brzmi: $\log_a x = y$ dokładnie wtedy, gdy $a^y = x$. Podstawa musi spełniać dwa warunki naraz: $a > 0$ oraz $a \ne 1$.

Te dwa ograniczenia nie są kaprysem. Gdyby $a = 1$, to $1^y = 1$ dla każdego wykładnika, więc równanie $1^y = x$ nie miałoby rozwiązania dla $x \ne 1$, a dla $x = 1$ miałoby ich nieskończenie wiele. Funkcja musi przyporządkowywać dokładnie jedną wartość, więc podstawa $1$ odpada. Gdyby z kolei $a$ było ujemne, potęga $a^y$ nie byłaby określona dla większości wykładników, na przykład $(-4)^{1/2}$ nie istnieje w liczbach rzeczywistych.

Jeśli sama definicja logarytmu jest dla ciebie świeża, zacznij od poradnika jak obliczyć logarytm krok po kroku, a po własności działań sięgnij do zestawienia wzorów logarytmicznych.

Dziedzina funkcji logarytmicznej

Dziedziną funkcji $f(x) = \log_a x$ jest przedział $(0, +\infty)$. Logarytmujesz wyłącznie liczby dodatnie, bo potęga o dodatniej podstawie zawsze daje wynik dodatni, nigdy zera ani liczby ujemnej. Z tego jednego faktu wynika najbardziej charakterystyczna cecha wykresu: leży on w całości na prawo od osi $OY$.

W zadaniach maturalnych pod logarytmem prawie nigdy nie stoi samo $x$, tylko całe wyrażenie. Wtedy dziedzinę wyznaczasz z warunku, że to wyrażenie ma być dodatnie. Dla funkcji $f(x) = \log_a g(x)$ rozwiązujesz nierówność $g(x) > 0$ i to jej rozwiązanie jest dziedziną. Ta czynność jest osobno punktowana w zadaniach otwartych, więc opłaca się ją zapisać nawet wtedy, gdy wydaje się oczywista. Więcej metod znajdziesz w poradniku o tym, jak wyznaczyć dziedzinę funkcji.

Wykres funkcji logarytmicznej

Wykres funkcji $f(x) = \log_a x$ nazywa się krzywą logarytmiczną i ma cztery cechy, które wystarczy zapamiętać. Po pierwsze, zawsze przechodzi przez punkt $(1, 0)$, bo $\log_a 1 = 0$ dla każdej dopuszczalnej podstawy. Po drugie, przechodzi też przez punkt $(a, 1)$, bo $\log_a a = 1$. Po trzecie, nie ma punktu wspólnego z osią $OY$, a ta oś jest jego asymptotą pionową. Po czwarte, zbiorem wartości jest cały zbiór liczb rzeczywistych, więc krzywa sięga dowolnie wysoko i dowolnie nisko.

Dla podstawy większej od $1$ krzywa wychodzi z dołu tuż przy osi $OY$, przecina oś $OX$ w punkcie $(1, 0)$ i dalej rośnie, ale coraz wolniej. Dla podstawy z przedziału $(0, 1)$ obraz jest odbiciem lustrzanym względem osi $OX$: krzywa spada z góry, przecina oś $OX$ w tym samym punkcie $(1, 0)$ i maleje.

Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie. Wykresy $y = \log_a x$ i $y = a^x$ są symetryczne względem prostej $y = x$, więc jeśli pamiętasz kształt jednego, drugi dostajesz przez odbicie. To najszybszy sposób na naszkicowanie krzywej logarytmicznej pod presją czasu.

Monotoniczność i porównywanie wartości

Monotoniczność funkcji logarytmicznej zależy wyłącznie od podstawy. Gdy $a > 1$, funkcja jest rosnąca: większemu argumentowi odpowiada większa wartość. Gdy $0 < a < 1$, funkcja jest malejąca: większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość. W obu przypadkach funkcja jest różnowartościowa, więc każdą wartość przyjmuje dokładnie raz.

Konsekwencja praktyczna jest jedna i jest kluczowa dla zadań. Gdy z nierówności $\log_a x_1 < \log_a x_2$ przechodzisz na porównanie samych argumentów, przy $a > 1$ znak zostaje bez zmian, a przy $0 < a < 1$ znak się odwraca. To dokładnie ten sam mechanizm, który rządzi nierównościami logarytmicznymi, i to jego pominięcie jest najczęstszym źródłem błędnych odpowiedzi w tym dziale.

Wzory

Typowe pułapki

Logarytm jest odwrotnością potęgowania, więc pojawia się wszędzie tam, gdzie coś rośnie albo maleje wykładniczo. Zobacz zadanie o rozpadzie promieniotwórczym z arkusza CKE z 2025 roku i sprawdź, jak szybko sprowadza się ono do porównania wykładników.

Co musisz umieć - checklista

Najczęstsze pytania