Zadania CKE z logarytmów z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Logarytmy brzmią groźnie, a na maturze podstawowej to jeden z najbardziej przewidywalnych działów. Jak raz zrozumiesz definicję i pięć wzorów, zgarniasz z tego pewne punkty co roku. W tym miejscu zebraliśmy bazę zadań CKE z logarytmów z rozwiązaniami krok po kroku - wszystkie pochodzą z prawdziwych arkuszy Centralnej Komisji Egzaminacyjnej i możesz je rozwiązywać online za darmo.

Ten wpis to hub: znajdziesz tu wzory, rozwiązane przykłady i linki do setek zadań w naszej bazie zadań CKE. Jeśli chcesz od razu ćwiczyć, wskakuj na losowe zadania z logarytmów albo wrzuć swoje zadanie do solvera.

Czym jest logarytm - definicja, którą musisz rozumieć, nie kuć

Logarytm to po prostu odpowiedź na pytanie "do której potęgi podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę". Formalnie:

$\log_a b = c \iff a^c = b$

gdzie $a > 0$, $a \neq 1$ oraz $b > 0$. Te trzy warunki to nie ozdoba - to najczęstsze źródło błędów w zadaniach otwartych. Podstawa nie może być jedynką ani liczbą ujemną, a logarytmować wolno tylko liczby dodatnie.

Przykład na rozgrzewkę: $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$. I tyle. Cała reszta działu to konsekwencje tej jednej definicji.

Pięć wzorów, które musisz mieć w małym palcu

Karta wzorów CKE daje Ci własności logarytmów, ale na egzaminie liczy się szybkość, więc warto je znać z głowy. Sprawdź też nasz pełny spis wzorów na maturę, jeśli chcesz mieć wszystko w jednym miejscu.

Logarytm iloczynu:

$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Logarytm ilorazu:

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

Logarytm potęgi:

$\log_a x^k = k \cdot \log_a x$

Zmiana podstawy:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Oraz dwie tożsamości, które ratują życie: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$ oraz $a^{\log_a x} = x$. Zapamiętaj: iloczyn zamienia się na sumę, iloraz na różnicę, potęga na mnożenie. Logarytm zawsze "obniża poziom" działania o jeden.

Baza zadań CKE z logarytmów - co tu znajdziesz

Poniżej masz przegląd typów zadań, które CKE lubi powtarzać. Do każdego typu prowadzą linki do konkretnych zadań z rozwiązaniami.

Chcesz przerobić je po kolei? Wejdź na stronę działu Logarytmy - zadania maturalne i lecisz zadanie po zadaniu. Postęp śledzisz w swoim panelu.

Zadanie 1: logarytm prosto z definicji

Oblicz $\log_2 8 + \log_3 \frac{1}{9}$.

Rozbijamy na dwa logarytmy. $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$. Drugi: $\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$. Suma:

$3 + (-2) = 1$

Odpowiedź: 1. Klucz to zauważenie, że $\frac{1}{9} = 3^{-2}$ - ułamki zapisuj jako potęgi ujemne, a logarytm policzysz w głowie.

Zadanie 2: sklejanie logarytmów wzorami

Oblicz $\log 2 + \log 50$ (logarytm dziesiętny, czyli o podstawie 10).

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu w drugą stronę - zamiast rozbijać, sklejamy:

$\log 2 + \log 50 = \log (2 \cdot 50) = \log 100 = 2$

Odpowiedź: 2. To klasyk CKE - liczby są tak dobrane, żeby po sklejeniu wyszła okrągła potęga dziesiątki. Jeśli widzisz sumę logarytmów o tej samej podstawie, prawie zawsze chodzi o sklejenie.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 3: równanie logarytmiczne z dziedziną

Rozwiąż równanie $\log_2 (x - 1) = 3$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Najpierw dziedzina: wyrażenie pod logarytmem musi być dodatnie, więc $x - 1 > 0$, czyli $x > 1$. Teraz z definicji logarytmu:

$x - 1 = 2^3 = 8 \implies x = 9$

Sprawdzamy z dziedziną: $9 > 1$, więc rozwiązanie jest poprawne. Odpowiedź: $x = 9$. Zawsze wypisuj dziedzinę na starcie - w zadaniu za 3-4 punkty jej brak to strata punktu, nawet gdy wynik jest dobry. Więcej metod znajdziesz we wpisie równania logarytmiczne na maturze.

Wylosuj podobne zadanie

Najczęstsze pułapki na maturze

Uczniowie tracą tu punkty głównie na czterech rzeczach. Po pierwsze - brak dziedziny w równaniach i nierównościach. Po drugie - mylenie $\log_a (x + y)$ z $\log_a x + \log_a y$. To pierwsze NIE upraszcza się w żaden prosty sposób, a drugie to logarytm iloczynu. Po trzecie - przy nierównościach logarytmicznych zapominanie, że gdy podstawa jest z przedziału $(0, 1)$, znak nierówności się odwraca. Po czwarte - błędy rachunkowe przy zamianie ułamków na potęgi.

Jeśli nierówności logarytmiczne to Twoja pięta achillesowa, przerób osobno jak rozwiązać nierówność logarytmiczną. A jeśli dopiero zaczynasz, zacznij od podstaw w jak obliczyć logarytm krok po kroku.

FAQ - logarytmy na maturze

Co dalej - ćwicz, aż logarytmy staną się nudne

Teoria to 20 procent sukcesu. Reszta to powtórzenia. Wejdź na zadania z logarytmów i rozwiąż serię, aż zaczniesz robić je automatycznie. Utknąłeś na jednym? Wrzuć je do solvera, który pokaże rozwiązanie krok po kroku. Chcesz mieszankę działów jak na prawdziwym egzaminie? Odpal losowe zadania CKE.

Planujesz naukę na dłużej? Sprawdź jak uczyć się matematyki w wakacje przed maturą - rozpisaliśmy tam gotowy plan, w którym logarytmy są jednym z pierwszych działów do ogarnięcia. Większość bazy zadań jest za darmo, a pełny dostęp do wszystkich rozwiązań i trybów nauki daje abonament Premium.

Następny krok Losuj kolejne zadanie