Kalkulator logarytmów
Logarytm przy podstawie a z liczby b to wykładnik, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b. Podstawa musi być dodatnia i różna od jedynki, a liczba logarytmowana dodatnia. Kalkulator niżej podaje wynik dokładny wszędzie tam, gdzie istnieje, rozpisuje własności działań i pokazuje wzór na zmianę podstawy.
Logarytm przy podstawie 2 z liczby 8 jest równy 3.
Sprawdzenie: 2 podniesione do potęgi 3 daje 8.
Zapis wyniku: log₂ 8 = 3
- Definicja logarytmulog₂ 8 = t 2^t = 8
- Obie liczby jako potęgi tej samej podstawy2 = 2¹, 8 = 2³
- Porównanie wykładników2^t = 2³ ⇒ t = 3
Jak to policzyć
- Sprawdź założeniaWyrażenie ma sens tylko wtedy, gdy pod logarytmem stoi liczba większa od zera, a w podstawie liczba większa od zera i nierówna jedynce. To nie jest formalność dopisana do zadania: w zadaniach z niewiadomą pod logarytmem właśnie od tych warunków zaczyna się rozwiązanie, a pominięcie ich kosztuje punkt nawet wtedy, gdy dalszy rachunek jest bez zarzutu.
- Zapisz obie liczby jako potęgi wspólnej podstawyPrawie każdy logarytm z arkusza da się policzyć w pamięci, jeśli podstawę i liczbę logarytmowaną zapiszemy jako potęgi tej samej liczby. Dla logarytmu przy podstawie 4 z liczby 8 obie liczby są potęgami dwójki: cztery to dwa do kwadratu, a osiem to dwa do sześcianu.
- Porównaj wykładnikiPo sprowadzeniu do wspólnej podstawy równanie z definicji logarytmu zamienia się w zwykłe równanie liniowe na wykładnikach. Dla podstawy 4 i liczby 8 mamy dwa razy niewiadoma równa się trzy, czyli wynik jest równy trzy drugie. Odpowiedź zostaje ułamkiem zwykłym i tak się ją zapisuje.
- Gdy wspólnej podstawy nie ma, zmień podstawęWzór na zmianę podstawy zamienia jeden logarytm na iloraz dwóch logarytmów o wygodniejszej podstawie, zwykle dziesiętnej albo dwójkowej. Ten sam wzór służy do porównywania logarytmów o różnych podstawach, bo po sprowadzeniu do wspólnej podstawy wystarczy porównać dwa ułamki.
Przykład z matury
Trzy własności, z których zbudowane są wszystkie zadania
Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów, logarytm ilorazu jest ich różnicą, a logarytm potęgi to wykładnik pomnożony przez logarytm podstawy tej potęgi. Te trzy równości wyglądają niewinnie, ale to na nich stoi cały dział: zadanie maturalne prawie nigdy nie pyta o gotowy logarytm, tylko o wyrażenie złożone z kilku, które po zwinięciu okazuje się liczbą całkowitą.
Kierunek zwijania jest tu ważniejszy niż same wzory. Wyrażenie z trzema logarytmami o tej samej podstawie sprowadza się najpierw do jednego logarytmu, a dopiero potem liczy. Odwrotna kolejność, czyli liczenie każdego składnika osobno, prowadzi do przybliżeń dziesiętnych, których na arkuszu nie da się zapisać, a często do wniosku, że zadania nie da się rozwiązać. Kalkulator wyżej pokazuje obie drogi obok siebie właśnie po to, żeby różnica była widoczna.
Dziedzina wyrażenia logarytmicznego
Każde wyrażenie z niewiadomą pod logarytmem ma dziedzinę i jej wyznaczenie jest osobno punktowane. Warunki są zawsze te same: liczba logarytmowana większa od zera, podstawa większa od zera i różna od jedynki. Gdy niewiadoma stoi w podstawie, warunki mnożą się i trzeba je rozwiązać jako układ nierówności.
Najczęstszy błąd nie polega na tym, że ktoś dziedziny nie zna, tylko na tym, że wyznacza ją po rozwiązaniu równania, a nie przed. Rozwiązanie, które wypada poza dziedziną, trzeba odrzucić, a odrzucenie musi być widoczne w zapisie. Rozpisane krok po kroku zadania tego typu stoją we wpisie o nierównościach logarytmicznych, gdzie dziedzina rozstrzyga dodatkowo o kierunku znaku nierówności.
Logarytmy w zadaniach z treścią
Logarytm pojawia się na arkuszu także poza działem algebry, zwykle w zadaniach o rozpadzie promieniotwórczym, o wzroście liczby bakterii albo o skali dźwięku. Schemat jest tam stały: wielkość maleje albo rośnie wykładniczo, a pytanie dotyczy czasu, czyli wykładnika. Logarytm jest jedynym narzędziem, które ten wykładnik wyciąga.
W takich zadaniach wynik prawie nigdy nie jest liczbą całkowitą i to jest w porządku. Punktuje się poprawne ułożenie równania wykładniczego, zastosowanie logarytmu do obu stron i zapisanie odpowiedzi z sensowną dokładnością wraz z jednostką. Kalkulator wyżej podaje w takiej sytuacji przybliżenie do czterech miejsc po przecinku i wprost pisze, że wynik jest niewymierny.
Wynik dokładny w postaci ułamka zwykłego, na przykład trzy drugie, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator podaje obie postacie po to, żeby było widać, którą przepisać do zeszytu.
Pułapki maturalne
Logarytm ujemny to nie to samo co logarytm z liczby ujemnej
Wartość logarytmu może być ujemna i nie ma w tym nic nadzwyczajnego: logarytm przy podstawie 5 z jednej dwudziestej piątej jest równy minus dwa. Czym innym jest logarytm z liczby ujemnej, który po prostu nie istnieje, bo żadna potęga liczby dodatniej nie daje wyniku ujemnego. Pomylenie tych dwóch rzeczy prowadzi do odrzucania poprawnych rozwiązań.
Liczba przed logarytmem jest wykładnikiem, a nie mnożnikiem
Zapis dwa razy logarytm z trójki oznacza logarytm z dziewiątki, a nie logarytm z szóstki. Współczynnik wchodzi pod logarytm jako wykładnik liczby logarytmowanej, więc podnosi ją do potęgi, a nie mnoży. To jest najczęstsza pomyłka rachunkowa w tym dziale i widać ją w każdej sesji.
Suma logarytmów to logarytm iloczynu, nie logarytm sumy
Wyrażenia z logarytmem sumy nie da się rozbić na prostsze składniki. Nie istnieje wzór zamieniający go na sumę ani na iloczyn logarytmów, więc zostawia się je w spokoju albo przekształca samą liczbę stojącą pod logarytmem. Wzory na sumę i różnicę mówią o logarytmach iloczynu i ilorazu, a to nie to samo.
Najczęściej zadawane pytania
To wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę. Trójka podniesiona do czwartej potęgi daje osiemdziesiąt jeden, więc logarytm przy podstawie 3 z osiemdziesięciu jeden jest równy cztery. Zamiana zapisu logarytmicznego na wykładniczy działa w obie strony i to ona rozwiązuje większość zadań z tego działu.
Wystarczy sprawdzić, którą potęgą dwójki jest liczba logarytmowana. Dla 8 wynik to 3, dla 32 to 5, a dla jednej czwartej minus 2. Gdy liczba nie jest potęgą dwójki, wynik jest niewymierny i zapisuje się go w postaci logarytmu albo z przybliżeniem.
Przy podstawie większej od jedynki logarytm jest ujemny dla liczb z przedziału od zera do jedynki, na przykład logarytm przy podstawie 2 z jednej ósmej wynosi minus trzy. Przy podstawie mniejszej od jedynki jest odwrotnie, bo funkcja logarytmiczna jest wtedy malejąca.
Zapisuje się go jako iloraz dwóch logarytmów o dowolnej wspólnej podstawie: w liczniku ten z liczbą logarytmowaną, w mianowniku ten ze starą podstawą. Najczęściej wybiera się podstawę dziesiętną albo dwójkową, bo dla nich łatwiej policzyć obie wartości.
Na egzaminie maturalnym z matematyki dozwolony jest wyłącznie kalkulator prosty, bez funkcji logarytmicznej. Logarytmy liczy się ręcznie, sprowadzając liczby do wspólnej podstawy, dlatego to narzędzie pokazuje wszystkie podstawienia: chodzi o sprawdzenie własnego rachunku, a nie o zastąpienie go.