Jak rozwiązać nierówność logarytmiczną - metody, przykłady i zadania maturalne

Nierówności logarytmiczne to temat, który na maturze rozszerzonej regularnie pojawia się za 3-5 punktów. 80% uczniów traci tu punkty nie dlatego, że nie umie rozwiązywać logarytmów, tylko dlatego, że zapomina o dziedzinie albo o odwróceniu znaku nierówności gdy podstawa jest mniejsza od 1.

Jeśli opanujesz 3 zasady z tego posta, zadanie za 3 punkty masz w kieszeni.

Podstawowa zasada - monotoniczność logarytmu

To najważniejsza rzecz do zapamiętania:

Gdy podstawa $a > 1$ (np. $\log_2, \log_{10}, \ln$): logarytm jest rosnący.
$$\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) > g(x)$$ Gdy podstawa $0 < a < 1$ (np. $\log_{1/2}, \log_{0{,}3}$): logarytm jest malejący.
$$\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) < g(x)$$

Tak, w drugim przypadku znak nierówności się odwraca. To główna pułapka zadań CKE.

Krok 0 - dziedzina logarytmu

Zanim cokolwiek zrobisz: argument logarytmu musi być dodatni.

$$\log_a f(x) \text{ istnieje} \iff f(x) > 0$$

Zapisz warunki dziedziny na górze kartki. Bez tego zgubisz punkty nawet z dobrą arytmetyką.

Więcej o logarytmach w przewodniku logarytmy na maturze i w poście jak obliczyć logarytm.

Metoda - schemat rozwiązywania

1. Dziedzina - wypisz warunki $f(x) > 0$ dla każdego logarytmu.
2. Sprowadź obie strony do logarytmów o tej samej podstawie.
3. Usuń logarytmy używając monotoniczności (sprawdź czy podstawa $>1$ czy $<1$).
4. Rozwiąż nierówność algebraiczną.
5. Przetnij z dziedziną.

Zadanie 1 - prosta nierówność z podstawą > 1

Rozwiąż $\log_2(x - 1) < 3$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x - 1 > 0$, czyli $x > 1$.

Zapisz $3 = \log_2 8$:

$$\log_2(x - 1) < \log_2 8$$

Podstawa $2 > 1$, więc znak zostaje: $x - 1 < 8$, czyli $x < 9$.

Przecięcie z dziedziną: $x \in (1, 9)$.

Odpowiedź: $x \in (1, 9)$.

Zadanie 2 - podstawa < 1 (odwrócenie znaku)

Rozwiąż $\log_{1/2}(x + 3) > -2$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x + 3 > 0$, czyli $x > -3$.

$-2 = \log_{1/2} 4$ (bo $(1/2)^{-2} = 4$):

$$\log_{1/2}(x + 3) > \log_{1/2} 4$$

Podstawa $1/2 < 1$, więc znak odwracamy: $x + 3 < 4$, czyli $x < 1$.

Przecięcie z dziedziną: $x \in (-3, 1)$.

Odpowiedź: $x \in (-3, 1)$.

Zadanie 3 - nierówność z logarytmem po obu stronach ↗

Rozwiąż $\log_3(x + 5) > \log_3(2x - 1)$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x + 5 > 0$ i $2x - 1 > 0$, czyli $x > -5$ i $x > 0{,}5$. Wspólnie: $x > 0{,}5$.

Podstawa $3 > 1$, znak zostaje:

$$x + 5 > 2x - 1$$
$$6 > x$$

Czyli $x < 6$.

Przecięcie z dziedziną: $x \in (0{,}5; 6)$.

Odpowiedź: $x \in (\frac{1}{2}, 6)$.

Zadanie 4 - podstawienie na logarytm ↗

Rozwiąż $\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 \leq 0$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x > 0$.

Podstaw $t = \log_2 x$:

$$t^2 - 3t + 2 \leq 0$$

$\Delta = 9 - 8 = 1$, $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Parabola w górę, więc $t \in [1, 2]$, czyli $1 \leq \log_2 x \leq 2$.

$\log_2 x \geq 1 \iff x \geq 2$

$\log_2 x \leq 2 \iff x \leq 4$

Odpowiedź: $x \in [2, 4]$.

Zadanie 5 - zamiana na wspólną podstawę

Rozwiąż $\log_2 x + \log_4 x > 3$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x > 0$.

Zamień $\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$:

$$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} > 3$$
$$\frac{3}{2}\log_2 x > 3$$
$$\log_2 x > 2$$
$$x > 4$$

Odpowiedź: $x \in (4, \infty)$.

Zadanie 6 - z kwadratową w argumencie ↗

Rozwiąż $\log_{1/3}(x^2 - 4) < -2$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x^2 - 4 > 0$, czyli $x < -2$ lub $x > 2$.

$-2 = \log_{1/3} 9$:

$$\log_{1/3}(x^2 - 4) < \log_{1/3} 9$$

Podstawa $1/3 < 1$, odwracamy znak: $x^2 - 4 > 9$, czyli $x^2 > 13$.

To daje $x < -\sqrt{13}$ lub $x > \sqrt{13}$.

Przecięcie z dziedziną: $x \in (-\infty, -\sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)$ (bo $\sqrt{13} > 2$).

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -\sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)$.

Typowe pułapki

1. Brak dziedziny. Znajdujesz rozwiązanie algebraiczne i zapominasz sprawdzić, czy argumenty logarytmów są dodatnie.

2. Zapomnienie o odwróceniu znaku. Podstawa $1/2$ i piszesz rozwiązanie jak dla $a > 1$. Klasyka.

3. Zapis $-2$ bez zamiany na logarytm. Trudniej porównywać, jeśli jedna strona to liczba, druga logarytm. Zamień liczbę na $\log_a a^n$.

4. Brak jednakowej podstawy. Nie porównasz $\log_2$ z $\log_3$ bezpośrednio. Zamień na jedną.

5. Dziedzina po rozwiązaniu. Łatwo zapomnieć, że dziedzina zawęża zbiór rozwiązań.

Podsumowanie

Więcej o logarytmach: równania logarytmiczne, logarytmy wzory.