Kalkulator potęg i pierwiastków
Potęga o wykładniku wymiernym to zapisany inaczej pierwiastek: a do potęgi p przez q oznacza pierwiastek stopnia q z liczby a podniesionej do potęgi p. Kalkulator niżej liczy taką potęgę dokładnie, upraszcza pierwiastki przez wyciągnięcie czynnika przed znak, usuwa niewymierność z mianownika i pokazuje każde podstawienie.
To jednocześnie stopień pierwiastka.
Potęga o wykładniku wymiernym to pierwiastek: 8 do potęgi 2/3 to pierwiastek stopnia 3 z liczby 8 podniesionej do potęgi 2.
Wynik dokładny: 4.
Wynik: 8^(2/3) = 4
- Definicja potęgi o wykładniku wymiernym8^(2/3) = (3)√(8²)
- Najpierw pierwiastek z podstawy(3)√(8) = 2
- Potem potęgowanie2² = 4
Jak to policzyć
- Sprowadź wszystko do jednej podstawyWyrażenie z kilkoma potęgami upraszcza się dopiero wtedy, gdy wszystkie mają tę samą podstawę. Ósemka to dwa do sześcianu, szesnastka to dwa do czwartej, a jedna czwarta to dwa do minus drugiej. Po takim zapisie działanie na potęgach sprowadza się do dodawania i odejmowania wykładników.
- Zamień pierwiastki na potęgi o wykładniku wymiernymPierwiastek kwadratowy to potęga o wykładniku jedna druga, sześcienny o wykładniku jedna trzecia. Ta zamiana pozwala potraktować pierwiastki i potęgi jednym zestawem wzorów, zamiast pamiętać osobne reguły dla każdego zapisu. W arkuszach z Formuły 2023 jest to najczęstszy pierwszy krok w zadaniach z tego działu.
- Uprość pierwiastek przez rozkład na czynnikiLiczbę pod pierwiastkiem rozkłada się na czynniki pierwsze i wyciąga przed znak wszystko, co występuje w pełnej potędze danego stopnia. Siedemdziesiąt dwa to dwa razy sześć do kwadratu, więc pierwiastek z siedemdziesięciu dwóch jest równy sześć razy pierwiastek z dwóch. Ta postać jest odpowiedzią, a nie etapem pośrednim.
- Usuń niewymierność z mianownikaUłamek z pierwiastkiem w mianowniku mnoży się przez ten pierwiastek albo, gdy mianownik jest sumą, przez wyrażenie sprzężone. Iloczyn sumy i różnicy daje wzór skróconego mnożenia i pierwiastek z mianownika znika. Wartość ułamka się nie zmienia, bo mnożymy przez jedynkę zapisaną w innej postaci.
Przykład z matury
Dlaczego postać dokładna, a nie przybliżenie
Pierwiastek z siedemdziesięciu dwóch to około osiem i pół, ale odpowiedź w tej postaci nie dostaje na arkuszu punktu. Zadania z tego działu są prawie zawsze zamknięte, a wśród odpowiedzi stoją wyrażenia w rodzaju sześć razy pierwiastek z dwóch, cztery razy pierwiastek z trzech i podobne. Wybór między nimi wymaga sprowadzenia własnego wyniku do tej samej postaci.
Drugi powód jest rachunkowy. Przybliżenia kumulują błąd: trzy pierwiastki zaokrąglone do czterech miejsc i pomnożone przez siebie dają wynik, który różni się od prawdziwego już na drugim miejscu po przecinku. Rachunek na postaci dokładnej tego nie ma, bo operuje na czynnikach, a nie na liczbach dziesiętnych, i przy okazji jest krótszy.
Wykładnik ujemny i wykładnik ułamkowy
Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, a nie liczbę przeciwną: dwa do minus trzeciej to jedna ósma, a nie minus osiem. Wykładnik ułamkowy oznacza pierwiastek, przy czym mianownik ułamka jest stopniem pierwiastka, a licznik wykładnikiem liczby pod nim. Połączenie obu, czyli wykładnik ujemny i ułamkowy naraz, jest w arkuszach standardem i wygląda groźniej, niż liczy się w praktyce.
Kolejność działań jest tu wygodna: najpierw pierwiastek, potem potęga, bo liczby zostają wtedy małe. Dla ósemki do potęgi dwie trzecie najpierw liczymy pierwiastek sześcienny z ośmiu, czyli dwa, a dopiero potem podnosimy dwójkę do kwadratu. Więcej rozpisanych przykładów znajdziesz we wpisie o potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym.
Działania na pierwiastkach różnych stopni
Pierwiastki tego samego stopnia mnoży się i dzieli wprost: iloczyn pierwiastków jest pierwiastkiem iloczynu. Przy różnych stopniach trzeba najpierw sprowadzić je do wspólnego stopnia, czyli w zapisie potęgowym do wspólnego mianownika wykładników. Pierwiastek kwadratowy i sześcienny mają wspólny stopień sześć, więc oba zapisuje się jako pierwiastek stopnia szóstego.
Dodawanie i odejmowanie działa inaczej i to jest źródło większości pomyłek: sumować można wyłącznie pierwiastki o tej samej liczbie pod znakiem. Trzy razy pierwiastek z czterdziestu pięciu minus pierwiastek z dwudziestu wygląda na wyrażenie niesprowadzalne, ale po uproszczeniu obu składników zostają pierwiastki z pięciu i całość zwija się do jednej liczby. Zbiór takich zadań z rozwiązaniami stoi we wpisie o działaniach na pierwiastkach.
Pułapki maturalne
Pierwiastek z sumy to nie suma pierwiastków
Pierwiastek z sumy dwóch liczb nie rozkłada się na sumę pierwiastków i nie istnieje żaden wzór, który by na to pozwalał. Wystarczy sprawdzić na liczbach: pierwiastek z sumy dziewięciu i szesnastu to pięć, a suma pierwiastków to siedem. Ta sama reguła dotyczy różnicy, a przez analogię także logarytmu z sumy.
Pierwiastek kwadratowy z kwadratu daje wartość bezwzględną
Pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby jest równy wartości bezwzględnej tej liczby, a nie samej liczbie. Dla liczb dodatnich różnicy nie widać, ale w zadaniach z wyrażeniem, którego znak nie jest znany, opuszczenie wartości bezwzględnej daje wynik ujemny tam, gdzie pierwiastek musi być nieujemny. To jest klasyczna pułapka zadań z pierwiastkiem i wartością bezwzględną naraz.
Wykładnik ujemny nie zmienia znaku liczby
Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o wykładniku przeciwnym, więc dwa do minus drugiej to jedna czwarta, liczba dodatnia. Znak wyniku zależy wyłącznie od znaku podstawy i od parzystości wykładnika, nigdy od jego znaku. Pomyłka daje odpowiedź różniącą się nie o wartość, tylko o znak, a taka odpowiedź prawie zawsze stoi wśród dystraktorów.
Najczęściej zadawane pytania
Najkrócej idzie to od pierwiastka, bo liczby zostają wtedy małe. Dwadzieścia siedem do potęgi dwie trzecie liczymy tak: pierwiastek sześcienny z dwudziestu siedmiu to trzy, a trójka do kwadratu to dziewięć. Kolejność odwrotna daje ten sam wynik, tylko po drodze trzeba znać siedemset dwadzieścia dziewięć.
Szukamy największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem. Siedemdziesiąt dwa dzieli się przez trzydzieści sześć, a iloraz wynosi dwa, więc wynik to sześć razy pierwiastek z dwóch. Kalkulator pokazuje przy okazji pełny rozkład, bo z niego widać, dlaczego przed znak wychodzi akurat szóstka.
Gdy mianownik jest samym pierwiastkiem, mnożymy licznik i mianownik przez ten pierwiastek. Gdy jest sumą liczby i pierwiastka, mnożymy przez wyrażenie sprzężone, czyli przez ich różnicę. Iloczyn sumy i różnicy usuwa pierwiastek, bo daje różnicę kwadratów.
W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje, bo żadna liczba podniesiona do potęgi parzystej nie daje wyniku ujemnego. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny: pierwiastek sześcienny z minus dwudziestu siedmiu jest równy minus trzy.
Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, a nie zmianę znaku. Pięć do minus drugiej to jedna dwudziesta piąta, czyli liczba dodatnia i mniejsza od jedynki. Ujemny bywa dopiero wynik potęgowania liczby ujemnej wykładnikiem nieparzystym, na przykład minus trzy do sześcianu daje minus dwadzieścia siedem.