Tabela kwadratów i pierwiastków liczb

Tablica niżej zestawia kwadraty liczb od 1 do 100 z ich pierwiastkami kwadratowymi w postaci przybliżonej i dokładnej. Kwadraty idealne są wyróżnione, bo to one wyznaczają punkty odniesienia przy szacowaniu: pierwiastek z 50 leży między 7 a 8 i jest bliżej siedmiu, bo 50 leży bliżej 49 niż 64.

Tablica online

Znajdź liczbę n

Od 1 do 100.

Dla liczby 50: kwadrat wynosi 2500, pierwiastek to około 7,071, a postać dokładna to 5√2.

Pierwiastek z liczby 50 leży między 7 a 8, bliżej 7. Tak właśnie szacuje się wynik bez kalkulatora: szuka się dwóch sąsiednich kwadratów idealnych.

Kwadraty liczb od 1 do 100 oraz ich pierwiastki kwadratowe w postaci przybliżonej i dokładnej
n	n do kwadratu	Pierwiastek z n	Postać dokładna
1	1	1,000	1
2	4	1,414	√2
3	9	1,732	√3
4	16	2,000	2
5	25	2,236	√5
6	36	2,449	√6
7	49	2,646	√7
8	64	2,828	2√2
9	81	3,000	3
10	100	3,162	√10
11	121	3,317	√11
12	144	3,464	2√3
13	169	3,606	√13
14	196	3,742	√14
15	225	3,873	√15
16	256	4,000	4
17	289	4,123	√17
18	324	4,243	3√2
19	361	4,359	√19
20	400	4,472	2√5
21	441	4,583	√21
22	484	4,690	√22
23	529	4,796	√23
24	576	4,899	2√6
25	625	5,000	5
26	676	5,099	√26
27	729	5,196	3√3
28	784	5,292	2√7
29	841	5,385	√29
30	900	5,477	√30
31	961	5,568	√31
32	1024	5,657	4√2
33	1089	5,745	√33
34	1156	5,831	√34
35	1225	5,916	√35
36	1296	6,000	6
37	1369	6,083	√37
38	1444	6,164	√38
39	1521	6,245	√39
40	1600	6,325	2√10
41	1681	6,403	√41
42	1764	6,481	√42
43	1849	6,557	√43
44	1936	6,633	2√11
45	2025	6,708	3√5
46	2116	6,782	√46
47	2209	6,856	√47
48	2304	6,928	4√3
49	2401	7,000	7
50	2500	7,071	5√2
51	2601	7,141	√51
52	2704	7,211	2√13
53	2809	7,280	√53
54	2916	7,348	3√6
55	3025	7,416	√55
56	3136	7,483	2√14
57	3249	7,550	√57
58	3364	7,616	√58
59	3481	7,681	√59
60	3600	7,746	2√15
61	3721	7,810	√61
62	3844	7,874	√62
63	3969	7,937	3√7
64	4096	8,000	8
65	4225	8,062	√65
66	4356	8,124	√66
67	4489	8,185	√67
68	4624	8,246	2√17
69	4761	8,307	√69
70	4900	8,367	√70
71	5041	8,426	√71
72	5184	8,485	6√2
73	5329	8,544	√73
74	5476	8,602	√74
75	5625	8,660	5√3
76	5776	8,718	2√19
77	5929	8,775	√77
78	6084	8,832	√78
79	6241	8,888	√79
80	6400	8,944	4√5
81	6561	9,000	9
82	6724	9,055	√82
83	6889	9,110	√83
84	7056	9,165	2√21
85	7225	9,220	√85
86	7396	9,274	√86
87	7569	9,327	√87
88	7744	9,381	2√22
89	7921	9,434	√89
90	8100	9,487	3√10
91	8281	9,539	√91
92	8464	9,592	2√23
93	8649	9,644	√93
94	8836	9,695	√94
95	9025	9,747	√95
96	9216	9,798	4√6
97	9409	9,849	√97
98	9604	9,899	7√2
99	9801	9,950	3√11
100	10000	10,000	10

\sqrt{k^{2} \cdot m} = |k|\sqrt{m}

Jak to policzyć

Znajdź dwa sąsiednie kwadraty idealneSzacowanie pierwiastka zaczyna się od wskazania dwóch kwadratów idealnych, między którymi leży liczba. Dla pięćdziesięciu są to czterdzieści dziewięć i sześćdziesiąt cztery, więc pierwiastek leży między siedmioma a ośmioma. To wystarcza, żeby odrzucić większość odpowiedzi w zadaniu zamkniętym, jeszcze zanim cokolwiek policzymy.
Rozstrzygnij, do którego jest bliżejPorównujemy odległości do obu sąsiadów. Pięćdziesiąt jest o jeden większe od czterdziestu dziewięciu i o czternaście mniejsze od sześćdziesięciu czterech, więc pierwiastek jest wyraźnie bliżej siedmiu. Ta obserwacja daje dokładność wystarczającą do zadań, w których trzeba tylko porównać dwie liczby niewymierne.
Sprawdź, czy da się wyciągnąć czynnikKolumna z postacią dokładną pokazuje, czy pod pierwiastkiem siedzi kwadrat. Dziewięćdziesiąt osiem to dwa razy czterdzieści dziewięć, więc pierwiastek zapisuje się jako siedem razy pierwiastek z dwóch. Odpowiedzi w arkuszu prawie zawsze stoją w tej postaci, a nie w postaci pierwiastka z dużej liczby.
Używaj tablicy także w drugą stronęKolumna kwadratów przydaje się nie tylko do pierwiastkowania. Rozpoznanie, że dwa tysiące pięćset to kwadrat pięćdziesiątki, skraca rachunek w zadaniach z twierdzenia Pitagorasa, z równania kwadratowego i z geometrii analitycznej, gdzie długość odcinka liczy się właśnie z sumy kwadratów.

Przykład z matury

Matura czerwiec 2024Zadanie 3Potęgi i pierwiastki1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

(2 \sqrt{10}+\sqrt{2})^{2}

jest równa

Zobacz pełne rozwiązanie krok po kroku

Po co znać kwadraty na pamięć

Rozpoznanie kwadratu w liczbie jest tu ważniejsze niż samo pierwiastkowanie. Gdy w rachunku pojawia się 2500, 5184 albo 9604, jedno spojrzenie wystarczy, żeby wiedzieć, że ich pierwiastki to odpowiednio 50, 72 i 98. Przy trzydziestu kilku zadaniach w arkuszu takie skróty sumują się do kilku minut, a każda z nich jest później do wykorzystania przy zadaniu otwartym.

Ważniejsze jest jednak co innego. Zadania zamknięte z tego działu nie pytają o przybliżenie, tylko o postać dokładną, a tej żaden kalkulator nie poda. Znajomość kwadratów do stu skraca rozpoznanie odpowiedzi do jednego spojrzenia: liczba pod pierwiastkiem albo daje się rozłożyć na kwadrat i resztę, albo nie, i to rozstrzyga zadanie.

Jak szacować pierwiastek bez liczenia

Metoda jest zawsze ta sama i zajmuje kilka sekund. Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów idealnych obejmujących naszą liczbę, a potem sprawdzamy, do którego z nich jest bliżej. Pierwiastek z osiemdziesięciu leży między ośmioma a dziewięcioma, bo sześćdziesiąt cztery i osiemdziesiąt jeden są jego sąsiadami, i jest wyraźnie bliżej dziewiątki.

Ta sama umiejętność rozstrzyga zadania na porównywanie liczb niewymiernych, które wracają w arkuszach regularnie. Pytanie, która z dwóch liczb jest większa, sprowadza się do podniesienia obu do kwadratu, a wtedy porównanie robi się trywialne. Warto tylko pamiętać, że podnoszenie do kwadratu zachowuje nierówność wyłącznie dla liczb nieujemnych.

Kwadraty poza zakresem tablicy

Tablica kończy się na stu, ale sama metoda nie. Kwadraty liczb większych liczy się ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: sto trzy do kwadratu to dziesięć tysięcy plus dwa razy sto razy trzy plus dziewięć, czyli dziesięć tysięcy sześćset dziewięć. Rachunek jest krótszy niż mnożenie pisemne i mniej podatny na pomyłkę.

W drugą stronę działa to podobnie. Pierwiastek z liczby czterocyfrowej szacuje się, patrząc na jej dwie pierwsze cyfry i na liczbę cyfr: pierwiastek z dwóch tysięcy pięciuset ma dwie cyfry i zaczyna się od pięćdziesiątki. Zestaw zadań, w których ten trik wystarcza do rozwiązania, znajdziesz we wpisie o potęgach i pierwiastkach na maturze.

Pułapki maturalne

Kolumna kwadratów to nie kolumna pierwiastków

W wierszu liczby 50 stoją obok siebie 2500 i 7,071, i to pierwsza z nich jest kwadratem, a druga pierwiastkiem. Odczytanie ich na odwrót daje liczbę kilkaset razy większą od prawdziwej, a przy zadaniu zamkniętym taka odpowiedź zwykle stoi wśród dystraktorów. Prosty odruch kontrolny: pierwiastek liczby z tego zakresu jest zawsze jednocyfrowy albo równy dziesięć.

Kwadrat liczby dwucyfrowej to nie sklejenie kwadratów cyfr

Dwadzieścia trzy do kwadratu to pięćset dwadzieścia dziewięć, a nie czterysta dziewięć, choć kwadraty cyfr dwa i trzy to właśnie cztery i dziewięć. Zapis skrócony gubi podwojony iloczyn, czyli składnik dwa razy dwadzieścia razy trzy. Pomyłka jest tym groźniejsza, że wynik wygląda wiarygodnie i ma tyle samo cyfr.

Postać przybliżona nie zastępuje postaci dokładnej

Trzecia kolumna tablicy podaje przybliżenie do trzech miejsc po przecinku i służy wyłącznie do szacowania. W odpowiedzi zapisuje się to, co stoi w kolumnie czwartej, czyli postać z wyciągniętym czynnikiem. Wpisanie liczby dziesiętnej tam, gdzie oczekiwany jest wynik dokładny, nie dostaje punktu nawet przy poprawnym rachunku.

Najczęściej zadawane pytania

Dokładnie pięć razy pierwiastek z dwóch, czyli w przybliżeniu 7,07. Wynik bierze się z rozkładu pięćdziesięciu na dwa razy pięć do kwadratu, po którym kwadrat wychodzi przed znak pierwiastka.

Jest ich dziesięć: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 oraz 100. To kwadraty kolejnych liczb od jedynki do dziesiątki i właśnie one wyznaczają punkty odniesienia przy szacowaniu pierwiastków z liczb pośrednich.

Najprościej ze wzoru na kwadrat sumy. Dla dwudziestu trzech liczymy czterysta plus dwa razy dwadzieścia razy trzy plus dziewięć, czyli pięćset dwadzieścia dziewięć. Rachunek jest krótszy od mnożenia pisemnego i łatwiej go sprawdzić.

Tablice maturalne wydawane przez CKE nie zawierają tabeli kwadratów, więc na egzaminie trzeba te wartości znać albo umieć je odtworzyć. Dozwolony jest wyłącznie kalkulator prosty, dlatego szacowanie z pamięci jest tu realną oszczędnością czasu.

Najprościej podnieść obie do kwadratu, bo dla liczb nieujemnych podnoszenie do kwadratu zachowuje nierówność. Porównanie sprowadza się wtedy do liczb wymiernych, które da się zestawić bez żadnego przybliżenia.