Działania na pierwiastkach - upraszczanie i zadania maturalne

Pierwiastki mnożysz i dzielisz pod jednym znakiem: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ oraz $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ dla $a\ge 0$ i $b\gt 0$. Dodawać i odejmować możesz tylko pierwiastki podobne, czyli te z tą samą liczbą pod znakiem, dlatego pierwszym ruchem prawie każdego zadania jest wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$. Wzoru na $\sqrt{a+b}$ nie ma i nigdy nie będzie.

To najtańsze punkty w całym arkuszu. W naszej bazie 2376 zadań CKE i arkuszy próbnych kategoria Potęgi i pierwiastki ma 157 zadań, a w 90 z nich w treści stoi pierwiastek. Takie zadanie otwierało arkusz w maju 2025 (zadanie 1) i w maju 2026 (zadanie 1), w sierpniu 2025 było zadaniem 3, a w zestawie CKE 2025 na poziomie podstawowym zadaniem 6. Za każde jest 1 punkt i zajmują one około minuty, jeśli znasz kwadraty i sześciany na pamięć. Cały dział ogarniesz ze strony Potęgi i pierwiastki.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Szukasz największego kwadratu, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem, rozbijasz iloczyn na dwa pierwiastki i wyciągasz to, co da się spierwiastkować. Krótko: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Ten jeden ruch zamienia zadanie, którego nie da się policzyć, w zadanie na dodawanie.

Wybieraj największy kwadrat, bo inaczej robisz robotę dwa razy: $\sqrt{72}=\sqrt{4\cdot 18}=2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ prowadzi do tego samego wyniku, tylko dłużej. Kwadraty liczb od 1 do 20 musisz mieć w głowie: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. W Wybranych wzorach matematycznych CKE znajdziesz własności potęg i pierwiastków, ale tabelki kwadratów tam nie ma, co dokładnie sprawdziliśmy w tekście o karcie wzorów CKE.

Działa to też w drugą stronę. Wciągnięcie liczby pod pierwiastek przydaje się przy porównywaniu: $3\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18}$, a $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$, więc $2\sqrt{5}\gt 3\sqrt{2}$.

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Mnożenie i dzielenie są łatwe, bo pierwiastki tego samego stopnia łączysz w jeden: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, a $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$. Najpierw wykonaj działanie pod znakiem, a dopiero potem szukaj kwadratu do wyciągnięcia. Przykłady: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$, $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6$, $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}=5$.

Uwaga na czynniki przed pierwiastkami. Mnożysz je osobno: $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{2}=10\sqrt{6}$. Kwadrat takiego iloczynu liczysz tak samo: $(2\sqrt{7})^2=4\cdot 7=28$, a nie $2\cdot 7$. Ten jeden błąd zabiera na maturze więcej punktów niż cała reszta działu.

Dodawanie i odejmowanie tylko pierwiastków podobnych

Pierwiastki dodajesz jak wyrazy podobne w algebrze: $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$, bo $\sqrt{2}$ zachowuje się jak $x$. Warunek jest jeden: pod pierwiastkami musi stać ta sama liczba i muszą być tego samego stopnia. Dlatego $\sqrt{50}-\sqrt{18}$ najpierw upraszczasz do $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}$, a potem odejmujesz.

Czego zrobić nie można: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nie równa się $\sqrt{5}$. Sprawdź to na liczbach, które łatwo policzyć: $\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$, a $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Siedem to nie pięć, więc wzór na pierwiastek sumy nie istnieje. Tego samego testu użyj zawsze, gdy nie jesteś pewien, czy coś wolno.

Pierwiastek trzeciego stopnia - te same zasady, tylko sześciany

Pierwiastek trzeciego stopnia działa dokładnie jak kwadratowy, tylko wyłączasz sześciany: $\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}$. Sześciany do zapamiętania: $2^3=8$, $3^3=27$, $4^3=64$, $5^3=125$, $6^3=216$, $7^3=343$, $8^3=512$, $9^3=729$, $10^3=1000$.

Jedna ważna różnica: pod pierwiastkiem stopnia nieparzystego liczba ujemna jest dozwolona, bo $(-5)^3=-125$. Pod pierwiastkiem kwadratowym nie, bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego. Dokładnie na tym opierało się zadanie 2 z arkusza próbnego CKE z marca 2026, gdzie $\frac{\sqrt[3]{50}\cdot\sqrt[3]{-15}}{\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{-750}{6}}=\sqrt[3]{-125}=-5$.

Pierwiastek z ułamka i pierwiastek z pierwiastka

Pierwiastek z ułamka rozbijasz na licznik i mianownik: $\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$. Pierwiastek z pierwiastka najprościej policzyć, przechodząc na potęgi wymierne, bo $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Przykład z arkusza: $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$, gdzie $3\sqrt{3}=3^1\cdot 3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}$, więc całość to $\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$.

Ta zamiana jest najszybszą drogą, gdy w zadaniu mieszają się pierwiastki różnych stopni. Pełne rozpisanie praw potęgowania z wykładnikiem ułamkowym i ujemnym masz w poradniku o potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym. Jeśli pierwiastek zostaje ci w mianowniku, zajrzyj do tekstu o usuwaniu niewymierności z mianownika.

Jak oszacować pierwiastek, gdy w odpowiedziach są przedziały

Znajdź dwa najbliższe kwadraty, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem, i odczytaj przybliżenie. Skoro $49\lt 55\lt 64$, to $7\lt\sqrt{55}\lt 8$. Do arkusza wystarczą trzy wartości z pamięci: $\sqrt{2}\approx 1{,}41$, $\sqrt{3}\approx 1{,}73$, $\sqrt{5}\approx 2{,}24$. Z nich wyliczysz resztę, bo $\sqrt{7}\approx 2{,}65$, a $\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx 7{,}07$.

Tak działa na przykład zadanie 5 z sierpnia 2016, gdzie trzeba było podać najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność $\frac{x}{5}+\sqrt{7}\gt 0$. Przekształcasz do $x\gt -5\sqrt{7}$, szacujesz $5\sqrt{7}\approx 13{,}23$, więc $x\gt -13{,}23$ i szukaną liczbą całkowitą jest $-13$, a nie $-14$. Bez szacowania nie da się wybrać między dwiema sąsiednimi odpowiedziami.

Zadanie 1: kwadrat różnicy pierwiastków (Matura maj 2025) ↗

Treść: oblicz wartość liczby $\left(\sqrt{32}-\sqrt{2}\right)^2$.

Krok 1: uprość pierwiastki. $\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$.

Krok 2: odejmij pierwiastki podobne. $4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.

Krok 3: podnieś do kwadratu. $\left(3\sqrt{2}\right)^2=9\cdot 2=18$. Odpowiedź B.

Można też rozwinąć wzorem skróconego mnożenia: $32-2\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}+2=34-2\sqrt{64}=34-16=18$. Ten sam wynik, ale dwa razy więcej rachunków, więc na maturze upraszczaj najpierw. Cały ten arkusz omówiliśmy w rozwiązaniach matury z maja 2025, a same zadania są na stronie Matura maj 2025.

Zadanie 2: różnica pierwiastków trzeciego stopnia (Matura maj 2017) ↗

Treść: liczba $\sqrt[3]{54}-\sqrt[3]{2}$ jest równa.

Krok 1: wyłącz sześcian. $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$.

Krok 2: odejmij. $3\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$. Odpowiedź D.

Dystraktor $\sqrt[3]{52}$ jest tam dla kogoś, kto odjął liczby pod pierwiastkiem. Pierwiastków nie odejmuje się pod znakiem, tylko przed nim, i to wyłącznie wtedy, gdy są podobne.

Zadanie 3: suma pierwiastków trzeciego stopnia (Matura sierpień 2025) ↗

Treść: liczba $\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{192}$ jest równa.

Krok 1: rozbij oba pierwiastki. $\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{8\cdot 3}=2\sqrt[3]{3}$ i $\sqrt[3]{192}=\sqrt[3]{64\cdot 3}=4\sqrt[3]{3}$.

Krok 2: dodaj współczynniki. $2\sqrt[3]{3}+4\sqrt[3]{3}=6\sqrt[3]{3}$. Odpowiedź C.

Zwróć uwagę, że pod pierwiastkiem zostaje trójka, a nie szóstka. Dodajesz liczby stojące przed pierwiastkiem, a to, co pod nim, przepisujesz bez zmian.

Zadanie 4: kwadrat różnicy z czynnikiem (Matura sierpień 2012) ↗

Treść: liczba $(2-3\sqrt{2})^2$ jest równa.

Krok 1: użyj wzoru skróconego mnożenia. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, gdzie $a=2$ i $b=3\sqrt{2}$.

Krok 2: policz każdy składnik. $a^2=4$, $2ab=2\cdot 2\cdot 3\sqrt{2}=12\sqrt{2}$, $b^2=(3\sqrt{2})^2=9\cdot 2=18$.

Krok 3: złóż wynik. $4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2}$. Odpowiedź D.

Najczęstszy błąd to $(3\sqrt{2})^2=6$. Potęgujesz i liczbę, i pierwiastek, więc wychodzi $9\cdot 2=18$. Pozostałe wzory tego typu zebraliśmy w tekście o wzorach skróconego mnożenia.

Zadanie 5: iloczyn dwóch kwadratów (Matura sierpień 2017) ↗

Treść: liczba $(2\sqrt{7}-5)^2\cdot(2\sqrt{7}+5)^2$ jest równa.

Krok 1: połącz podstawy. Skoro obie potęgi mają wykładnik 2, to $(x)^2\cdot(y)^2=(xy)^2$, więc liczysz $\left[(2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5)\right]^2$.

Krok 2: zastosuj różnicę kwadratów. $(2\sqrt{7})^2-5^2=4\cdot 7-25=28-25=3$.

Krok 3: podnieś do kwadratu. $3^2=9$. Odpowiedź A.

Gdybyś rozwijał każdy nawias osobno, dostałbyś $(53-20\sqrt{7})(53+20\sqrt{7})$ i musiałbyś liczyć $2809-2800$. Wynik ten sam, ale dystraktor 2809 pokazuje, że autorzy arkusza czekali właśnie na urwane w połowie rachunki.

Zadanie 6: ułamek z pierwiastkami trzeciego stopnia (CKE 2025 PP) ↗

Treść: liczba $\frac{\sqrt[3]{250}+\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{250}-\sqrt[3]{54}}$ jest równa.

Krok 1: uprość osobno licznik i mianownik. $\sqrt[3]{250}=5\sqrt[3]{2}$ i $\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}$.

Krok 2: wykonaj działania. Licznik: $5\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{2}=8\sqrt[3]{2}$. Mianownik: $5\sqrt[3]{2}-3\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}$.

Krok 3: skróć. $\frac{8\sqrt[3]{2}}{2\sqrt[3]{2}}=4$, bo $\sqrt[3]{2}$ skraca się w całości. Odpowiedź C.

To jest istota całego działu: dopóki pierwiastki są nieuproszczone, ułamek wygląda groźnie. Po wyłączeniu czynników zostaje dzielenie 8 przez 2.

Zadanie 23: pierwiastki w liczniku i mianowniku (Matura maj 2013) ↗

Treść: liczba $\frac{\sqrt{50}-\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ jest równa.

Krok 1: uprość licznik. $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, więc licznik to $5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

Krok 2: podziel. $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$. Odpowiedź B.

Dystraktor $\sqrt{10}-\sqrt{6}$ to wynik dzielenia każdego pierwiastka osobno bez uproszczenia. Formalnie $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2$, więc też wychodzi 2, ale tylko wtedy, gdy pierwiastki połączysz pod jednym znakiem.

Zadanie 16: pierwiastki w geometrii (Matura sierpień 2017) ↗

Treść: dany jest trójkąt równoboczny o polu $6\sqrt{3}$. Jaką długość ma jego bok?

Krok 1: zapisz wzór na pole. $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Krok 2: wstaw dane i skróć pierwiastek. $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=6\sqrt{3}$, więc $a^2\sqrt{3}=24\sqrt{3}$, czyli $a^2=24$.

Krok 3: wyciągnij pierwiastek i uprość. $a=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot 6}=2\sqrt{6}$. Odpowiedź C.

Zwróć uwagę, że $\sqrt{3}$ skraca się po obu stronach, więc rachunki są krótkie. Tak wyglądają w praktyce prawie wszystkie zadania z planimetrii i stereometrii: wzór jest z pierwiastkiem, a punkt dostajesz za jego uproszczenie. Wzory na trójkąt równoboczny zebraliśmy w tekście o polu trójkąta równobocznego.

Typowe pułapki

Rozdzielanie pierwiastka na sumie. $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Kontrprzykład: $\sqrt{9+16}=5$, a $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.

Zapominanie o wartości bezwzględnej. $\sqrt{a^2}=|a|$, więc $\sqrt{(-4)^2}=4$, a nie $-4$. Na maturze z 2025 roku sprawdzano to w zadaniu z wartością bezwzględną, gdzie $|\sqrt{5}-1|-3|2-\sqrt{5}|$ trzeba było rozpisać ze znakami, pamiętając, że $\sqrt{5}\approx 2{,}24$.

Potęgowanie tylko pierwiastka. $(2\sqrt{7})^2=4\cdot 7=28$, nie 14 i nie 28 bez czwórki. Podnosisz do kwadratu cały iloczyn.

Dodawanie pierwiastków różnych stopni. $\sqrt{2}+\sqrt[3]{2}$ nie upraszcza się do niczego. Podobne są tylko pierwiastki tego samego stopnia z tą samą liczbą pod znakiem.

Zatrzymanie się przed końcem. $\sqrt{72}$ to nie odpowiedź maturalna, tylko etap. CKE podaje warianty w postaci uproszczonej, więc zawsze doprowadź wynik do $6\sqrt{2}$.

Pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej. $\sqrt{-4}$ nie istnieje w liczbach rzeczywistych, ale $\sqrt[3]{-8}=-2$ istnieje. Sprawdzaj stopień, zanim uznasz zadanie za błędne.

Najczęstsze pytania

Jak uprościć pierwiastek z 50?
Rozbij 50 na iloczyn z największym kwadratem: $50=25\cdot 2$. Wtedy $\sqrt{50}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}=5\sqrt{2}$. Ta sama procedura działa dla każdej liczby: szukasz kwadratu, który ją dzieli.

Czy można dodać pierwiastek z 2 i pierwiastek z 3?
Nie da się tego uprościć. Pierwiastki dodajesz tylko wtedy, gdy pod znakiem stoi ta sama liczba, tak jak $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$. Suma $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ zostaje w tej postaci i na pewno nie jest równa $\sqrt{5}$.

Ile wynosi pierwiastek z kwadratu liczby?
Zawsze wartość bezwzględna tej liczby, czyli $\sqrt{a^2}=|a|$. Dla liczb dodatnich wychodzi ta sama liczba, dla ujemnych liczba przeciwna, więc $\sqrt{(-7)^2}=7$.

Jak zamienić pierwiastek na potęgę?
Korzystasz ze wzoru $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$. Na przykład $\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}$, a $\sqrt[3]{4^2}=4^{\frac{2}{3}}$. Ta zamiana najbardziej pomaga, gdy w jednym wyrażeniu są pierwiastki różnych stopni.

Czy pod pierwiastkiem trzeciego stopnia może być liczba ujemna?
Tak. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny, na przykład $\sqrt[3]{-125}=-5$. Zakaz dotyczy tylko pierwiastków stopnia parzystego, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny.

Czy na maturze można zostawić pierwiastek w mianowniku?
Odpowiedź poprawna rachunkowo jest punktowana, ale w arkuszach zamkniętych warianty odpowiedzi są zwykle bez pierwiastka w mianowniku, więc i tak musisz go usunąć, żeby dopasować wynik. Robisz to mnożeniem przez odpowiedni czynnik, co krok po kroku opisaliśmy przy usuwaniu niewymierności.

Jak często pierwiastki pojawiają się na maturze podstawowej?
W każdym arkuszu i zwykle w pierwszych zadaniach. W naszej bazie kategoria Potęgi i pierwiastki ma 157 zadań, a takie polecenie było zadaniem 1 w maju 2025 i w maju 2026 oraz zadaniem 3 w sierpniu 2025. Do treningu weź zadania CKE z potęg i pierwiastków.

Które kwadraty i sześciany trzeba znać na pamięć?
Kwadraty liczb od 1 do 20 oraz sześciany od 1 do 10. Bez tego nie zauważysz, że 192 dzieli się przez 64, a 250 przez 125, i całe zadanie stanie się nierozwiązywalne w pamięci.

Checklista - co musisz umieć

• •Wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka, wybierając największy kwadrat lub sześcian.
• •Wciągnąć liczbę pod pierwiastek, żeby porównać dwa wyrażenia.
• •Pomnożyć i podzielić pierwiastki tego samego stopnia pod jednym znakiem.
• •Dodać i odjąć tylko pierwiastki podobne, przepisując liczbę pod znakiem.
• •Podnieść do kwadratu iloczyn typu $3\sqrt{2}$, potęgując oba czynniki.
• •Użyć wzorów skróconego mnożenia dla $(a\pm b)^2$ i $(a-b)(a+b)$ z pierwiastkami.
• •Zamienić pierwiastek na potęgę o wykładniku wymiernym i odwrotnie.
• •Pamiętać, że $\sqrt{a^2}=|a|$ i że pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej istnieje.
• •Doprowadzić wynik do postaci uproszczonej, bo w takiej podaje go klucz CKE.

Sprawne działania na pierwiastkach przydają się najbardziej tam, gdzie pierwiastek stoi w równaniu. Jak podnosić do kwadratu bez gubienia założeń i kiedy sprawdzać rozwiązania, tłumaczymy w poradniku jak rozwiązać równanie niewymierne.