Jak rozwiązać równanie niewymierne z pierwiastkiem - metoda, dziedzina i zadania maturalne

Równanie niewymierne to takie, w którym niewiadoma występuje pod pierwiastkiem. Na maturze pojawia się w zadaniach typu: "rozwiąż $\sqrt{x + 3} = x - 1$". Na pierwszy rzut oka prosto - podnieść do kwadratu i lecimy. Haczyk: kwadratura może dodać rozwiązania, których oryginalne równanie nie ma. To tzw. rozwiązania pozorne. Dlatego zawsze na końcu sprawdzasz, czy znalezione $x$ pasują.

W tym poście pokażę ci pełną metodę, 6 zadań krok po kroku i jak unikać kosztownych pułapek.

Metoda - schemat w 4 krokach

1. Ustal dziedzinę. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być $\geq 0$. Jeśli po drugiej stronie jest wyrażenie, które musi być $\geq 0$ (bo $\sqrt{...} \geq 0$), też to zapisz.

2. Wyizoluj pierwiastek po jednej stronie równania.

3. Podnieś obie strony do kwadratu. To usuwa pierwiastek, ale nie jest przekształceniem równoważnym - może dodać rozwiązania.

4. Rozwiąż równanie algebraiczne i sprawdź każde rozwiązanie przez podstawienie do oryginalnego równania.

Kluczowa zasada - dziedzina i kontrola

Dla równania $\sqrt{f(x)} = g(x)$:

Bez tego drugiego warunku dostaniesz rozwiązania pozorne. Sprawdzenie na końcu jest obowiązkowe.

Zadanie 1 - podstawowe

Rozwiąż $\sqrt{x + 5} = 3$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5$.

Prawa strona (3) jest dodatnia - OK.

Kwadratura: $x + 5 = 9 \Rightarrow x = 4$.

Sprawdzenie: $\sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$. Zgadza się.

Odpowiedź: $x = 4$.

Zadanie 2 - z wyrażeniem po drugiej stronie ↗

Rozwiąż $\sqrt{x + 3} = x - 1$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3$.

Warunek konieczny: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$.

Łącznie: $x \geq 1$.

Kwadratura:
$$x + 3 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$$
$$0 = x^2 - 3x - 2$$

$\Delta = 9 + 8 = 17$, $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3{,}56$ (spełnia $x \geq 1$)

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0{,}56$ (nie spełnia $x \geq 1$, odrzucamy)

Sprawdzenie dla $x_1$: $\sqrt{3{,}56 + 3} \approx 2{,}56$, $x - 1 \approx 2{,}56$. OK.

Odpowiedź: $x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$.

Zadanie 3 - rozwiązanie pozorne (klasyczna pułapka)

Rozwiąż $\sqrt{x + 7} = x - 5$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x \geq -7$. Warunek: $x \geq 5$. Łącznie: $x \geq 5$.

Kwadratura:
$$x + 7 = x^2 - 10x + 25$$
$$x^2 - 11x + 18 = 0$$

$\Delta = 121 - 72 = 49$, $x = \frac{11 \pm 7}{2}$.

$x_1 = 9, x_2 = 2$.

Sprawdzenie:

Odpowiedź: $x = 9$.

Zadanie 4 - dwa pierwiastki

Rozwiąż $\sqrt{x + 4} = \sqrt{2x - 1}$.

Rozwiązanie:

Dziedziny: $x + 4 \geq 0$ i $2x - 1 \geq 0$, czyli $x \geq 0{,}5$.

Obie strony nieujemne, więc kwadratura jest równoważna:

$$x + 4 = 2x - 1 \Rightarrow x = 5$$

Sprawdzenie: $\sqrt{9} = 3 = \sqrt{9}$. OK.

Odpowiedź: $x = 5$.

Zadanie 5 - pierwiastek i suma

Rozwiąż $\sqrt{x} + \sqrt{x + 3} = 3$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $x \geq 0$.

Wyizoluj jeden pierwiastek: $\sqrt{x + 3} = 3 - \sqrt{x}$.

Warunek: $3 - \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \leq 3 \Rightarrow x \leq 9$.

Kwadratura:
$$x + 3 = 9 - 6\sqrt{x} + x$$
$$6\sqrt{x} = 6 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$$

Sprawdzenie: $\sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$. OK.

Odpowiedź: $x = 1$.

Zadanie 6 - równanie bez rozwiązań

Rozwiąż $\sqrt{x - 2} = -3$.

Rozwiązanie:

Pierwiastek kwadratowy jest zawsze $\geq 0$, więc nigdy nie jest równy $-3$.

Odpowiedź: brak rozwiązań.

Uwaga: jeśli pomyślnie wykonasz kwadraturę $x - 2 = 9$, otrzymasz $x = 11$, ale to rozwiązanie pozorne (bo $\sqrt{9} = 3 \neq -3$). Dlatego patrz na znak prawej strony przed kwadraturą.

Typowe pułapki

1. Brak sprawdzania. Podnosisz do kwadratu, rozwiązujesz i piszesz wynik. Połowa zadań ma rozwiązania pozorne - tracisz punkty.

2. Ignorowanie warunku $g(x) \geq 0$. Widzisz $\sqrt{...} = x - 5$ i nie sprawdzasz, czy $x - 5$ jest nieujemne.

3. Kwadratura sumy. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, nie $a^2 + b^2$. Klasyczny błąd algebraiczny.

4. Dwukrotna kwadratura. Jeśli masz dwa pierwiastki w jednym równaniu, kwadraturę trzeba zrobić dwa razy (między nimi wyizolować drugi pierwiastek). W zadaniu 5 widać to wyraźnie.

5. Zła dziedzina. Pierwiastki różnych wyrażeń dają różne warunki - nie zapomnij o przecięciu.

Podsumowanie - co musisz umieć

Więcej o metodach rozwiązywania w przewodniku po równaniach i nierównościach i w poście jak obliczyć deltę.