Jak obliczyć deltę - wzór, przykłady i zadania maturalne krok po kroku

Po co ci delta?

Delta (wyróżnik) to klucz do rozwiązywania równań kwadratowych. Bez niej nie ruszysz dalej. Pojawia się na każdej maturze - w zadaniach zamkniętych i otwartych. Jeśli umiesz obliczyć deltę, umiesz rozwiązać równanie kwadratowe. A to oznacza punkty.

Na maturze delta pojawia się nie tylko w czystych równaniach kwadratowych. Potrzebujesz jej też przy funkcji kwadratowej (ile miejsc zerowych ma parabola?), przy nierównościach kwadratowych, a czasem przy geometrii analitycznej (ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem?).

Wzór na deltę

Masz równanie kwadratowe w postaci ogólnej:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

gdzie $a \neq 0$.

Delta to:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Trzy litery: $a$, $b$, $c$ - współczynniki równania. Wstawiasz je do wzoru i gotowe.

Skąd brać $a$, $b$, $c$? Wprost z równania:

Na przykład w równaniu $3x^2 - 5x + 2 = 0$ mamy: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

Co mówi delta - interpretacja

Wartość delty decyduje o tym, ile rozwiązań ma równanie:

To ważne na maturze! Gdy w zadaniu pytają "ile miejsc zerowych ma funkcja", wystarczy obliczyć deltę. Nie musisz liczyć samych pierwiastków.

Wzory na pierwiastki (rozwiązania)

Gdy $\Delta \geq 0$, obliczasz rozwiązania:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Gdy $\Delta = 0$, oba wzory dają ten sam wynik:

$$x_0 = \frac{-b}{2a}$$

Zapamiętaj: w liczniku jest $-b$, nie $b$. To najczęstszy błąd na maturze.

Przykład 1 - Delta dodatnia

Rozwiąż równanie: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Krok 1: Odczytaj współczynniki.

$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$

Krok 2: Oblicz deltę.

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$\Delta = 1 > 0$ - dwa rozwiązania.

Krok 3: Oblicz pierwiastki.

$$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Odpowiedź: $x = 2$ lub $x = 3$.

Sprawdzenie: Wstaw $x = 2$: $4 - 10 + 6 = 0$. Zgadza się. Wstaw $x = 3$: $9 - 15 + 6 = 0$. Zgadza się. Zawsze sprawdzaj - to darmowe punkty na maturze. Więcej o metodach sprawdzania odpowiedzi.

Przykład 2 - Delta równa zero

Rozwiąż równanie: $x^2 - 6x + 9 = 0$

Krok 1: $a = 1$, $b = -6$, $c = 9$

Krok 2:

$$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$

$\Delta = 0$ - jedno rozwiązanie (podwójne).

Krok 3:

$$x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Odpowiedź: $x = 3$.

Zauważ, że $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. Gdy delta wynosi zero, trójmian jest kwadratem dwumianu. Warto to kojarzyć - przydaje się przy wzorach skróconego mnożenia.

Przykład 3 - Delta ujemna

Rozwiąż równanie: $2x^2 + x + 3 = 0$

Krok 1: $a = 2$, $b = 1$, $c = 3$

Krok 2:

$$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$$

$\Delta = -23 < 0$ - brak rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Na maturze to też jest prawidłowa odpowiedź. Nie pisz "nie da się rozwiązać" - napisz "równanie nie ma rozwiązań" albo "$\Delta < 0$, więc brak pierwiastków rzeczywistych".

Przykład 4 - Współczynnik ujemny przy $x^2$

Rozwiąż równanie: $-x^2 + 4x - 3 = 0$

Tu $a = -1$. Możesz albo pracować z ujemnym $a$, albo pomnożyć obie strony przez $-1$:

$$x^2 - 4x + 3 = 0$$

Teraz $a = 1$, $b = -4$, $c = 3$.

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Odpowiedź: $x = 1$ lub $x = 3$.

Przykład 5 - Równanie z ułamkami

Rozwiąż: $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = 0$

Pomnóż obie strony przez 2, żeby pozbyć się ułamka:

$$x^2 - 6x + 8 = 0$$ $$\Delta = 36 - 32 = 4$$ $$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Mnożenie przez liczbę dodatnią nie zmienia znaku nierówności ani rozwiązań równania. Ułamki w równaniu kwadratowym to częsty motyw - nie panikuj, po prostu pomnóż obie strony.

Przykład 6 - Równanie niepełne (brak wyrazu)

Rozwiąż: $3x^2 - 12 = 0$

Tu $b = 0$. Możesz użyć delty, ale jest szybszy sposób:

$$3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$

A z deltą: $\Delta = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 144$, $\sqrt{\Delta} = 12$.

$$x_1 = \frac{0 - 12}{6} = -2, \quad x_2 = \frac{0 + 12}{6} = 2$$

Oba sposoby dają to samo. Na maturze wybierz szybszy - oszczędzasz czas. Więcej o szybkich metodach w trikach na zadania zamknięte.

Podobnie gdy $c = 0$: $ax^2 + bx = 0 \implies x(ax + b) = 0$, więc $x = 0$ lub $x = -\frac{b}{a}$.

Typowe pułapki i błędy

Błąd 1: Zapomnienie o minusie w $b$

W równaniu $x^2 - 7x + 10 = 0$ masz $b = -7$, nie $b = 7$.

$$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \quad \checkmark$$

Gdybyś wziął $b = 7$: $\Delta = 49 - 40 = 9$. Tutaj wychodzi to samo, bo $b$ jest podniesione do kwadratu. Ale uwaga - w wzorze na $x_1$ i $x_2$ masz $-b$, i tu minus robi różnicę!

Błąd 2: Złe mnożenie ujemnych

$\Delta = b^2 - 4ac$. Gdy $c < 0$, to $-4ac$ staje się dodatnie (minus razy minus). Na przykład:

$$x^2 + 2x - 3 = 0 \implies \Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Częsty błąd: zapisanie $4 - 12 = -8$ zamiast $4 + 12 = 16$. Więcej o typowych błędach rachunkowych.

Błąd 3: Równanie nie jest w postaci ogólnej

Zanim policzysz deltę, równanie musi mieć postać $ax^2 + bx + c = 0$. Jeśli masz:

$$x^2 = 3x - 2$$

Przenieś wszystko na jedną stronę:

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

Dopiero teraz odczytuj współczynniki.

Błąd 4: Pominięcie $a \neq 0$

Jeśli $a = 0$, nie masz równania kwadratowego. Masz liniowe. Nie licz delty - po prostu rozwiąż $bx + c = 0$.

Delta a wierzchołek paraboli

Jest jeszcze jeden wzór z deltą, który przydaje się na maturze. Współrzędne wierzchołka paraboli:

$$W = \left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right)$$

Wartość $\frac{-\Delta}{4a}$ to y-owa współrzędna wierzchołka. Gdy $a > 0$ (parabola skierowana ramionami do góry), to jest minimum funkcji. Gdy $a < 0$, to maksimum.

Wzory Viete'a - bonus

Skoro policzyłeś deltę i znasz pierwiastki, sprawdź wynik wzorami Viete'a:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Dla równania $x^2 - 5x + 6 = 0$: suma powinna wynosić $5$, iloczyn $6$. Sprawdź: $2 + 3 = 5$, $2 \cdot 3 = 6$. Idealnie.

Podsumowanie - co musisz umieć

Chcesz poćwiczyć? Rozwiąż zadania z funkcji kwadratowej - większość z nich wymaga obliczenia delty. Zacznij od zadań zamkniętych, potem przejdź do otwartych.