Jak obliczyć deltę: przykłady krok po kroku i zadania maturalne

Po co ci delta?

Delta (wyróżnik) mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe, i prowadzi prosto do tych rozwiązań. Kto umie ją policzyć bez pomyłki w znakach, rozwiąże każde równanie kwadratowe z matury, zarówno w zadaniu zamkniętym, jak i otwartym. W tym poradniku liczymy ją krok po kroku na sześciu przykładach i trzech zadaniach z parametrem.

Na maturze delta pojawia się nie tylko w czystych równaniach kwadratowych. Potrzebujesz jej też przy funkcji kwadratowej (ile miejsc zerowych ma parabola?), przy nierównościach kwadratowych, a czasem przy geometrii analitycznej (ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem?).

Delta krok po kroku: skąd wziąć a, b i c

Sam wzór na deltę razem z opisem znaku wyróżnika masz na stronie Wzór na deltę. Tutaj ważniejsze jest to, jak go użyć bez pomyłki.

Masz równanie kwadratowe w postaci ogólnej:

$ax^2 + bx + c = 0$

gdzie $a \neq 0$.

Delta to:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Trzy litery: $a$, $b$, $c$ - współczynniki równania. Wstawiasz je do wzoru i gotowe.

Skąd brać $a$, $b$, $c$? Wprost z równania:

• •$a$ - współczynnik przy $x^2$
• •$b$ - współczynnik przy $x$
• •$c$ - wyraz wolny (liczba bez $x$)

Na przykład w równaniu $3x^2 - 5x + 2 = 0$ mamy: $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

Co mówi delta - interpretacja

Wartość delty decyduje o tym, ile rozwiązań ma równanie:

To ważne na maturze! Gdy w zadaniu pytają "ile miejsc zerowych ma funkcja", wystarczy obliczyć deltę. Nie musisz liczyć samych pierwiastków.

Wzory na pierwiastki (rozwiązania)

Gdy $\Delta \geq 0$, obliczasz rozwiązania:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Gdy $\Delta = 0$, oba wzory dają ten sam wynik:

$x_0 = \frac{-b}{2a}$

Kiedy delta nie jest potrzebna

Przykład 6 pokazał, że przy $b = 0$ albo $c = 0$ szybciej jest bez delty. Dwa kolejne skróty:

• •Rozkład na czynniki. Przy $a = 1$ i małych współczynnikach szukasz dwóch liczb, których suma to $-b$, a iloczyn $c$. Dla $x^2 - 5x + 6 = 0$ to 2 i 3, bo $2 + 3 = 5$ i $2 \cdot 3 = 6$, więc $(x - 2)(x - 3) = 0$ i $x = 2$ lub $x = 3$.
• •Wzory skróconego mnożenia. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0$ daje $x = \pm 3$, a $4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 = 0$ daje $x = \frac{3}{2}$.

Jeśli rozkładu nie widać w kilka sekund, licz deltę: działa zawsze.

Delta w zadaniach z parametrem

To najtrudniejszy typ zadań z deltą na maturze podstawowej. Schemat jest zawsze ten sam:

1. 1.Zapisz deltę w zależności od parametru.
2. 2.Postaw warunek: $\Delta > 0$ (dwa rozwiązania), $\Delta = 0$ (jedno) albo $\Delta < 0$ (brak rozwiązań).
3. 3.Rozwiąż powstałą nierówność albo równanie.
4. 4.Sprawdź, czy współczynnik przy $x^2$ może być zerem.

Zadanie z parametrem 1: dwa rozwiązania

Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2 - 4x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania?

Współczynniki: $a = 1$, $b = -4$, $c = m$.

$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m$

Warunek $\Delta > 0$:

$16 - 4m > 0 \implies m < 4$

Odpowiedź: $m \in (-\infty, 4)$. Współczynnik przy $x^2$ to 1, więc nie ma dodatkowych ograniczeń.

Zadanie z parametrem 2: brak rozwiązań

Dla jakich $k$ równanie $2x^2 + kx + 8 = 0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych?

$\Delta = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = k^2 - 64$

Warunek $\Delta < 0$:

$k^2 - 64 < 0 \implies k^2 < 64 \implies -8 < k < 8$

Odpowiedź: $k \in (-8, 8)$.

Zadanie z parametrem 3: jedno rozwiązanie

Dla jakiego $m$ równanie $x^2 + (m + 1)x + 4 = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie?

$\Delta = (m + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = m^2 + 2m - 15$

Warunek $\Delta = 0$ to znowu równanie kwadratowe, tym razem z niewiadomą $m$. Liczymy jego deltę:

$\Delta_m = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64, \quad \sqrt{\Delta_m} = 8$ $m_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5, \quad m_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$

Odpowiedź: $m = -5$ lub $m = 3$. Sprawdzenie dla $m = 3$: równanie $x^2 + 4x + 4 = 0$ to $(x + 2)^2 = 0$, jedno rozwiązanie $x = -2$.

Więcej zadań tego typu jest w bazie zadań z równań i nierówności, a cały temat opisujemy w poradniku o funkcji kwadratowej z parametrem.

Typowe pułapki i błędy

Błąd 1: Zapomnienie o minusie w $b$

W równaniu $x^2 - 7x + 10 = 0$ masz $b = -7$, nie $b = 7$.

$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \quad \checkmark$

Gdybyś wziął $b = 7$: $\Delta = 49 - 40 = 9$. Tutaj wychodzi to samo, bo $b$ jest podniesione do kwadratu. Ale uwaga - w wzorze na $x_1$ i $x_2$ masz $-b$, i tu minus robi różnicę!

Błąd 2: Złe mnożenie ujemnych

$\Delta = b^2 - 4ac$. Gdy $c < 0$, to $-4ac$ staje się dodatnie (minus razy minus). Na przykład:

$x^2 + 2x - 3 = 0 \implies \Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$

Częsty błąd: zapisanie $4 - 12 = -8$ zamiast $4 + 12 = 16$. Więcej o typowych błędach rachunkowych.

Błąd 3: Równanie nie jest w postaci ogólnej

Zanim policzysz deltę, równanie musi mieć postać $ax^2 + bx + c = 0$. Jeśli masz:

$x^2 = 3x - 2$

Przenieś wszystko na jedną stronę:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Dopiero teraz odczytuj współczynniki.

Błąd 4: Pominięcie $a \neq 0$

Jeśli $a = 0$, nie masz równania kwadratowego. Masz liniowe. Nie licz delty - po prostu rozwiąż $bx + c = 0$.

To samo w zadaniach z parametrem przy $x^2$. Dla jakich $m$ równanie $(m - 1)x^2 + 4x + 1 = 0$ ma rozwiązania? Przypadek $m = 1$ rozpatrujesz osobno: równanie jest wtedy liniowe, $4x + 1 = 0$, i ma rozwiązanie $x = -\frac{1}{4}$. Dla $m \neq 1$ liczysz deltę: $\Delta = 16 - 4(m - 1) = 20 - 4m \geq 0$, czyli $m \leq 5$. Razem: równanie ma rozwiązania dla każdego $m \leq 5$.

Błąd 5: Dzielenie przez 2 zamiast przez $2a$

We wzorze $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ mianownik to $2 \cdot a$. Dla $3x^2 + 14x - 5 = 0$ mamy $\Delta = 196 + 60 = 256$, więc $x_1 = \frac{-14 - 16}{6} = -5$ i $x_2 = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{1}{3}$. Kto podzieli przez 2, dostanie $-15$ i $1$, czyli liczby, które równania nie spełniają.

Delta a wierzchołek paraboli

Jest jeszcze jeden wzór z deltą, który przydaje się na maturze. Współrzędne wierzchołka paraboli:

$W = \left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right)$

Wartość $\frac{-\Delta}{4a}$ to y-owa współrzędna wierzchołka. Gdy $a > 0$ (parabola skierowana ramionami do góry), to jest minimum funkcji. Gdy $a < 0$, to maksimum.

Delta a znak funkcji kwadratowej

Znak delty razem ze znakiem $a$ mówi, jaki znak ma funkcja $f(x) = ax^2 + bx + c$ na całej osi:

• •$\Delta < 0$ i $a > 0$: $f(x) > 0$ dla każdego $x$, parabola leży w całości nad osią OX,
• •$\Delta < 0$ i $a < 0$: $f(x) < 0$ dla każdego $x$,
• •$\Delta = 0$ i $a > 0$: $f(x) \geq 0$ dla każdego $x$, a zero tylko w wierzchołku,
• •$\Delta > 0$: funkcja zmienia znak w obu miejscach zerowych.

Stąd warunek w zadaniach typu „dla jakich $m$ nierówność $mx^2 + 4x + 1 > 0$ jest spełniona dla każdego $x$”: potrzebujesz jednocześnie $m > 0$ i $\Delta < 0$. Odczytywanie znaku z wykresu krok po kroku pokazujemy w poradniku o nierównościach kwadratowych.

Wzory Viete'a - bonus

Skoro policzyłeś deltę i znasz pierwiastki, sprawdź wynik wzorami Viete'a:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Dla równania $x^2 - 5x + 6 = 0$: suma powinna wynosić $5$, iloczyn $6$. Sprawdź: $2 + 3 = 5$, $2 \cdot 3 = 6$. Idealnie.

Trik: delta przez 4 dla parzystego $b$

Gdy $b$ jest parzyste, $b = 2k$, liczby są mniejsze, jeśli policzysz $\frac{\Delta}{4}$:

$\frac{\Delta}{4} = k^2 - ac, \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}$

Dla $x^2 - 8x + 12 = 0$ mamy $k = -4$, więc $\frac{\Delta}{4} = 16 - 12 = 4$, a stąd $x_1 = \frac{4 - 2}{1} = 2$ i $x_2 = \frac{4 + 2}{1} = 6$. Tego wzoru nie ma w karcie wzorów, więc stosuj go tylko wtedy, gdy masz go pewnie w głowie. Więcej takich skrótów zebraliśmy we wpisie o wzorach spoza tablic.

Znak delty często widać przed liczeniem. Jeśli $a$ i $c$ mają różne znaki, to $-4ac > 0$, więc $\Delta > 0$ i równanie na pewno ma dwa rozwiązania. Jeśli $b = 0$, a $a$ i $c$ mają ten sam znak, to $\Delta = -4ac < 0$ i rozwiązań nie ma.

Jak zapisać rozwiązanie w zadaniu otwartym

Wzór $\Delta = b^2 - 4ac$ i wzory na $x_1$, $x_2$ są w karcie wzorów CKE. Punkty w zadaniu otwartym zależą od tego, czy egzaminator widzi tok rozumowania, więc zapisuj kolejno:

1. 1.równanie w postaci ogólnej $ax^2 + bx + c = 0$,
2. 2.współczynniki $a$, $b$, $c$,
3. 3.deltę razem ze wzorem,
4. 4.wniosek ze znaku delty,
5. 5.pierwiastki albo informację, że ich nie ma,
6. 6.odpowiedź.

Za poprawny tok możesz dostać punkty nawet przy błędzie rachunkowym na końcu. Jak egzaminatorzy przyznają punkty, opisujemy w poradniku o zasadach oceniania.

Podsumowanie - co musisz umieć

Chcesz poćwiczyć? Rozwiąż zadania z funkcji kwadratowej - większość z nich wymaga obliczenia delty. Zacznij od zadań zamkniętych, potem przejdź do otwartych.

Następny krok Losuj kolejne zadanie