Funkcja kwadratowa

Jak obliczyć deltę - wzór, przykłady i zadania maturalne krok po kroku

Naucz się obliczać deltę (wyróżnik) równania kwadratowego. Wzór, interpretacja, 6 rozwiązanych zadań i typowe błędy. Wszystko czego potrzebujesz na maturę.

18 kwietnia 2026·4 min czytania

Po co ci delta?

Delta (wyróżnik) to klucz do rozwiązywania równań kwadratowych. Bez niej nie ruszysz dalej. Pojawia się na każdej maturze - w zadaniach zamkniętych i otwartych. Jeśli umiesz obliczyć deltę, umiesz rozwiązać równanie kwadratowe. A to oznacza punkty.

Na maturze delta pojawia się nie tylko w czystych równaniach kwadratowych. Potrzebujesz jej też przy funkcji kwadratowej (ile miejsc zerowych ma parabola?), przy nierównościach kwadratowych, a czasem przy geometrii analitycznej (ile punktów wspólnych ma prosta z okręgiem?).

Wzór na deltę

Masz równanie kwadratowe w postaci ogólnej:

ax^2 + bx + c = 0

gdzie $a \neq 0$ .

Delta to:

\Delta = b^2 - 4ac

Trzy litery: $a$ , $b$ , $c$ - współczynniki równania. Wstawiasz je do wzoru i gotowe.

Skąd brać $a$ , $b$ , $c$ ? Wprost z równania:

• $a$ - współczynnik przy $x^2$
• $b$ - współczynnik przy $x$
• $c$ - wyraz wolny (liczba bez $x$ )

Na przykład w równaniu $3x^2 - 5x + 2 = 0$ mamy: $a = 3$ , $b = -5$ , $c = 2$ .

Co mówi delta - interpretacja

Wartość delty decyduje o tym, ile rozwiązań ma równanie:

Delta	Liczba rozwiązań	Co to znaczy geometrycznie
$\Delta > 0$	2 różne rozwiązania	Parabola przecina oś OX w dwóch punktach
$\Delta = 0$	1 rozwiązanie (podwójne)	Parabola dotyka osi OX w jednym punkcie
$\Delta < 0$	Brak rozwiązań rzeczywistych	Parabola nie przecina osi OX

To ważne na maturze! Gdy w zadaniu pytają "ile miejsc zerowych ma funkcja", wystarczy obliczyć deltę. Nie musisz liczyć samych pierwiastków.

Wzory na pierwiastki (rozwiązania)

Gdy $\Delta \geq 0$ , obliczasz rozwiązania:

x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

Gdy $\Delta = 0$ , oba wzory dają ten sam wynik:

x_0 = \frac{-b}{2a}

Przykład 1 - Delta dodatnia

0/6

Funkcja kwadratowa

Rozwiąż równanie: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Odczytaj współczynniki.
$a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$
Krok 2
Oblicz deltę.
$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
$\Delta = 1 > 0$ - dwa rozwiązania.
Krok 3
Oblicz pierwiastki.
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Odpowiedź

$x = 2$ lub $x = 3$ .

Sprawdzenie: Wstaw $x = 2$ : $4 - 10 + 6 = 0$ . Zgadza się. Wstaw $x = 3$ : $9 - 15 + 6 = 0$ . Zgadza się. Zawsze sprawdzaj - to darmowe punkty na maturze. Więcej o metodach sprawdzania odpowiedzi.

Przykład 2 - Delta równa zero

0/6

Funkcja kwadratowa

Rozwiąż równanie: $x^2 - 6x + 9 = 0$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
$a = 1$ , $b = -6$ , $c = 9$
Krok 2
$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$
$\Delta = 0$ - jedno rozwiązanie (podwójne).
Krok 3
$x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Odpowiedź

$x = 3$ .

Zauważ, że $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ . Gdy delta wynosi zero, trójmian jest kwadratem dwumianu. Warto to kojarzyć - przydaje się przy wzorach skróconego mnożenia.

Przykład 3 - Delta ujemna

0/6

Funkcja kwadratowa

Rozwiąż równanie: $2x^2 + x + 3 = 0$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
$a = 2$ , $b = 1$ , $c = 3$
Krok 2
$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$
$\Delta = -23 < 0$ - brak rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Na maturze to też jest prawidłowa odpowiedź. Nie pisz "nie da się rozwiązać" - napisz "równanie nie ma rozwiązań" albo " $\Delta < 0$ , więc brak pierwiastków rzeczywistych".

Przykład 4 - Współczynnik ujemny przy $x^2$

0/6

Funkcja kwadratowa

Rozwiąż równanie: $-x^2 + 4x - 3 = 0$

Tu $a = -1$ . Możesz albo pracować z ujemnym $a$ , albo pomnożyć obie strony przez $-1$ :

x^2 - 4x + 3 = 0

Teraz $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 3$ .

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4

x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź

$x = 1$ lub $x = 3$ .

Przykład 5 - Równanie z ułamkami

0/6

Funkcja kwadratowa

Rozwiąż: $\frac{1}{2}x^2 - 3x + 4 = 0$

Pomnóż obie strony przez 2, żeby pozbyć się ułamka:

x^2 - 6x + 8 = 0

Pokaż rozwiązanie

\Delta = 36 - 32 = 4

x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4

Mnożenie przez liczbę dodatnią nie zmienia znaku nierówności ani rozwiązań równania. Ułamki w równaniu kwadratowym to częsty motyw - nie panikuj, po prostu pomnóż obie strony.

Przykład 6 - Równanie niepełne (brak wyrazu)

0/6

Funkcja kwadratowa

Rozwiąż: $3x^2 - 12 = 0$

Tu $b = 0$ . Możesz użyć delty, ale jest szybszy sposób:

3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2

A z deltą: $\Delta = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 144$ , $\sqrt{\Delta} = 12$ .

Pokaż rozwiązanie

x_1 = \frac{0 - 12}{6} = -2, \quad x_2 = \frac{0 + 12}{6} = 2

Oba sposoby dają to samo. Na maturze wybierz szybszy - oszczędzasz czas. Więcej o szybkich metodach w trikach na zadania zamknięte.

Podobnie gdy $c = 0$ : $ax^2 + bx = 0 \implies x(ax + b) = 0$ , więc $x = 0$ lub $x = -\frac{b}{a}$ .

Typowe pułapki i błędy

Błąd 1: Zapomnienie o minusie w $b$

W równaniu $x^2 - 7x + 10 = 0$ masz $b = -7$ , nie $b = 7$ .

\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \quad \checkmark

Gdybyś wziął $b = 7$ : $\Delta = 49 - 40 = 9$ . Tutaj wychodzi to samo, bo $b$ jest podniesione do kwadratu. Ale uwaga - w wzorze na $x_1$ i $x_2$ masz $-b$ , i tu minus robi różnicę!

Błąd 2: Złe mnożenie ujemnych

$\Delta = b^2 - 4ac$ . Gdy $c < 0$ , to $-4ac$ staje się dodatnie (minus razy minus). Na przykład:

x^2 + 2x - 3 = 0 \implies \Delta = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16

Częsty błąd: zapisanie $4 - 12 = -8$ zamiast $4 + 12 = 16$ . Więcej o typowych błędach rachunkowych.

Błąd 3: Równanie nie jest w postaci ogólnej

Zanim policzysz deltę, równanie musi mieć postać $ax^2 + bx + c = 0$ . Jeśli masz:

x^2 = 3x - 2

Przenieś wszystko na jedną stronę:

x^2 - 3x + 2 = 0

Dopiero teraz odczytuj współczynniki.

Błąd 4: Pominięcie $a \neq 0$

Jeśli $a = 0$ , nie masz równania kwadratowego. Masz liniowe. Nie licz delty - po prostu rozwiąż $bx + c = 0$ .

Delta a wierzchołek paraboli

Jest jeszcze jeden wzór z deltą, który przydaje się na maturze. Współrzędne wierzchołka paraboli:

W = \left(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a}\right)

Wartość $\frac{-\Delta}{4a}$ to y-owa współrzędna wierzchołka. Gdy $a > 0$ (parabola skierowana ramionami do góry), to jest minimum funkcji. Gdy $a < 0$ , to maksimum.

Wzory Viete'a - bonus

Skoro policzyłeś deltę i znasz pierwiastki, sprawdź wynik wzorami Viete'a:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Dla równania $x^2 - 5x + 6 = 0$ : suma powinna wynosić $5$ , iloczyn $6$ . Sprawdź: $2 + 3 = 5$ , $2 \cdot 3 = 6$ . Idealnie.

Podsumowanie - co musisz umieć

Odczytać współczynniki $a$ , $b$ , $c$ z równania kwadratowego
Obliczyć deltę ze wzoru $\Delta = b^2 - 4ac$
Zinterpretować znak delty (ile rozwiązań)
Obliczyć pierwiastki ze wzoru z deltą
Rozpoznać równania niepełne i rozwiązać je szybciej
Sprawdzić wynik przez podstawienie lub wzory Viete'a

Chcesz poćwiczyć? Rozwiąż zadania z funkcji kwadratowej - większość z nich wymaga obliczenia delty. Zacznij od zadań zamkniętych, potem przejdź do otwartych.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Kategoria: Funkcja kwadratowa

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Jak obliczyć deltę - wzór, przykłady i zadania maturalne krok po kroku

Po co ci delta?

Wzór na deltę

Co mówi delta - interpretacja

Wzory na pierwiastki (rozwiązania)

Przykład 1 - Delta dodatnia

Przykład 2 - Delta równa zero

Przykład 3 - Delta ujemna

Przykład 4 - Współczynnik ujemny przy $x^2$

Przykład 5 - Równanie z ułamkami

Przykład 6 - Równanie niepełne (brak wyrazu)

Typowe pułapki i błędy

Błąd 1: Zapomnienie o minusie w $b$

Błąd 2: Złe mnożenie ujemnych

Błąd 3: Równanie nie jest w postaci ogólnej

Błąd 4: Pominięcie $a \neq 0$

Delta a wierzchołek paraboli

Wzory Viete'a - bonus

Podsumowanie - co musisz umieć

Kategoria: Funkcja kwadratowa

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne

Zadania CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Funkcja kwadratowa z parametrem - Vieta i zadania krok po kroku

Po co ci delta?

Wzór na deltę

Co mówi delta - interpretacja

Wzory na pierwiastki (rozwiązania)

Typowe pułapki i błędy

Błąd 1: Zapomnienie o minusie w bbb

Błąd 2: Złe mnożenie ujemnych

Błąd 3: Równanie nie jest w postaci ogólnej

Błąd 4: Pominięcie a≠0a \neq 0a=0

Delta a wierzchołek paraboli

Wzory Viete'a - bonus

Podsumowanie - co musisz umieć

Kategoria: Funkcja kwadratowa

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne

Zadania CKE z funkcji kwadratowej z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Funkcja kwadratowa z parametrem - Vieta i zadania krok po kroku

Błąd 1: Zapomnienie o minusie w $b$

Błąd 4: Pominięcie $a \neq 0$