Jak rozwiązać nierówność kwadratową krok po kroku - metoda paraboli z przykładami

Nierówność kwadratowa to druga po równaniu kwadratowym najczęstsza "technika" z algebry na maturze. Zawsze jest w zadaniach zamkniętych, a często w zadaniach otwartych. Jeśli umiesz rozwiązać równanie kwadratowe z deltą, to do nierówności brakuje Ci tylko jednego kroku: interpretacji znaku trójmianu. I właśnie ten krok jest najbardziej zdradliwy - pomyłka z nawiasem albo ze znakiem kosztuje pełen punkt.

Co to jest nierówność kwadratowa

Nierówność kwadratowa to każda nierówność postaci:
$$ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c \geq 0, \quad ax^2 + bx + c < 0, \quad ax^2 + bx + c \leq 0$$

gdzie $a \ne 0$. Rozwiązujemy tak samo, niezależnie od znaku - tylko w ostatnim kroku patrzymy, czego szukamy.

Metoda paraboli (jedyna, której potrzebujesz)

Schemat w 5 krokach:

1. Sprowadź do postaci standardowej - na jednej stronie trójmian, na drugiej zero.
2. Oblicz deltę $\Delta = b^2 - 4ac$.
3. Znajdź miejsca zerowe (o ile $\Delta \geq 0$).
4. Narysuj szkic paraboli - ramiona w górę gdy $a > 0$, w dół gdy $a < 0$. Zaznacz miejsca zerowe na osi OX.
5. Odczytaj rozwiązanie - zaznacz odpowiednie fragmenty paraboli (nad osią dla $> 0$, pod osią dla $< 0$).

Mnemonika: "parabola się uśmiecha albo smuci"

Przykład 1: Nierówność z deltą dodatnią, $a > 0$

Zadanie. Rozwiąż nierówność $x^2 - 5x + 6 > 0$.

Rozwiązanie.

Krok 1. Postać standardowa - już jest.

Krok 2. $\Delta = 25 - 24 = 1$, $\sqrt{\Delta} = 1$.

Krok 3. Miejsca zerowe:
$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Krok 4. Parabola "uśmiech" ($a = 1 > 0$), miejsca zerowe w 2 i 3.

Krok 5. Szukamy $> 0$ - to znaczy gdzie parabola jest NAD osią OX. Parabola "uśmiech" jest nad osią po krańcach, więc:
$$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$

Odpowiedź: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$.

Zwróć uwagę na okrągłe nawiasy - bo mamy ostrą nierówność ($>$), miejsca zerowe są wyłączone.

Przykład 2: Delta dodatnia, $a > 0$, nierówność "mniejsze niż"

Zadanie. Rozwiąż $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.

Rozwiązanie. Delta i miejsca zerowe jak wcześniej ($x_1 = 2, x_2 = 3$).

Parabola "uśmiech", szukamy $\leq 0$ - czyli gdzie jest POD lub NA osi. Parabola jest pod osią między miejscami zerowymi.

$$x \in \langle 2, 3 \rangle$$

Odpowiedź: $x \in \langle 2, 3 \rangle$.

Uwaga: kwadratowe nawiasy, bo nierówność jest "słaba" ($\leq$), więc miejsca zerowe są WŁĄCZONE do rozwiązania.

Przykład 3: Delta dodatnia, $a < 0$

Zadanie. Rozwiąż $-x^2 + 4x + 5 > 0$.

Rozwiązanie.

Krok 1. $a = -1 < 0$.

Krok 2. $\Delta = 16 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36$, $\sqrt{\Delta} = 6$.

Krok 3. Miejsca zerowe:
$$x_1 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5, \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1$$

Czyli miejsca zerowe: $-1$ i $5$.

Krok 4. Parabola "smutek" ($a < 0$), miejsca zerowe w $-1$ i $5$.

Krok 5. Szukamy $> 0$ - gdzie parabola nad osią. Parabola "smutek" jest nad osią MIĘDZY miejscami zerowymi:
$$x \in (-1, 5)$$

Odpowiedź: $x \in (-1, 5)$.

Kluczowa zasada przy $a < 0$

Zawsze możesz pomnożyć obie strony nierówności przez $-1$ (odwracając znak nierówności), żeby uzyskać $a > 0$. W przykładzie 3:
$$-x^2 + 4x + 5 > 0 \iff x^2 - 4x - 5 < 0$$

Dalej już tak samo - tylko że teraz szukasz $< 0$. Matematycznie równoważne, ale dla wielu uczniów łatwiejsze.

Przykład 4: Delta równa zero

Zadanie. Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 > 0$.

Rozwiązanie.

Krok 1. $\Delta = 36 - 36 = 0$.

Krok 2. Jedno miejsce zerowe: $x_0 = \frac{6}{2} = 3$.

Krok 3. Parabola "uśmiech" dotyka osi OX w punkcie $x = 3$. W tym punkcie wartość wynosi 0, wszędzie indziej jest dodatnia.

Krok 4. Szukamy $> 0$, czyli ściśle dodatnie. Wykluczamy miejsce zerowe:
$$x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$$

Odpowiedź: $x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$ (wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 3).

Przykład 5: Delta zero, nierówność słaba

Zadanie. Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 \geq 0$.

Rozwiązanie. Parabola "uśmiech" ma jedno miejsce zerowe w 3, dotyka osi, nigdzie nie idzie pod oś.

Szukamy $\geq 0$ - czyli wszystkie $x$, bo parabola jest wszędzie $\geq 0$.

$$x \in \mathbb{R}$$

Odpowiedź: $x \in \mathbb{R}$.

Przykład 6: Delta zero, $\leq$

Zadanie. Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 \leq 0$.

Rozwiązanie. Parabola "uśmiech", miejsce zerowe w 3. Parabola NIE schodzi pod oś, tylko dotyka osi w jednym punkcie.

Szukamy $\leq 0$ - to prawda tylko w samym miejscu zerowym.

$$x = 3$$ (jedyne rozwiązanie)

Odpowiedź: $x = 3$.

Przykład 7: Delta ujemna

Zadanie. Rozwiąż $x^2 + 2x + 5 > 0$.

Rozwiązanie.

Krok 1. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$. Brak miejsc zerowych.

Krok 2. Parabola "uśmiech" ($a > 0$) bez miejsc zerowych - leży całkowicie NAD osią OX.

Krok 3. Szukamy $> 0$ - wszędzie prawda.

$$x \in \mathbb{R}$$

Odpowiedź: $x \in \mathbb{R}$.

Podsumowanie przypadków dla $a > 0$

Dla $a < 0$ odwróć wszystkie znaki lub pomnóż nierówność przez $-1$.

Nawiasy: kiedy okrągły, kiedy kwadratowy

Nawias okrągły $($ - miejsce zerowe WYKLUCZONE. Używasz przy nierówności ostrej ($<, >$).

Nawias kwadratowy $\langle$ - miejsce zerowe WŁĄCZONE. Używasz przy nierówności słabej ($\leq, \geq$).

Nieskończoność zawsze ma nawias okrągły - $(-\infty, ...)$ nie $\langle-\infty, ...)$.

To jest jedna z najczęstszych przyczyn straty 0.5 punktu na maturze. Sprawdzaj dwa razy.

Zapis zbioru rozwiązań

Są dwa popularne sposoby:

Oba są poprawne na maturze. Wybierz jeden i trzymaj się go - nie mieszaj.

Typowe pułapki

1. Złe nawiasy - ostra nierówność = okrągłe, słaba = kwadratowe. Co roku się na tym łapie kilkadziesiąt tysięcy osób.
2. Zapomnienie o $a < 0$ - parabola jest wtedy odwrócona. Zawsze sprawdź znak $a$.
3. Delta ujemna i "brak rozwiązania" - pamiętaj, że nie oznacza to automatycznie braku rozwiązań nierówności. Dla $a > 0$ i $f(x) > 0$ rozwiązaniem jest $\mathbb{R}$!
4. Niezredukowanie do postaci standardowej - jeśli nierówność jest $3x^2 > 2x + 5$, najpierw przenieś wszystko na lewą stronę: $3x^2 - 2x - 5 > 0$.
5. Przypisanie miejsc zerowych w złej kolejności - zawsze $x_1 < x_2$, bo od tego zależy poprawność przedziałów.

Zadania z zadaniem

Często nierówności kwadratowe pojawiają się w środku większego zadania, np.:

W każdym takim przypadku układasz nierówność kwadratową z parametrem i rozwiązujesz.

Co musisz umieć na maturę

Powiązane tematy

Ćwicz na zadaniach w dziale równania i nierówności - setki zadań CKE z pełnymi rozwiązaniami.