Równania i nierówności

Jak rozwiązać nierówność kwadratową krok po kroku - metoda paraboli z przykładami

Nierówności kwadratowe krok po kroku metodą paraboli. 7 rozwiązanych przykładów, wszystkie typy (większe, mniejsze, równe), delta ujemna, zerowa i dodatnia, typowe pułapki.

29 kwietnia 2026·5 min czytania

Nierówność kwadratowa to druga po równaniu kwadratowym najczęstsza "technika" z algebry na maturze. Zawsze jest w zadaniach zamkniętych, a często w zadaniach otwartych. Jeśli umiesz rozwiązać równanie kwadratowe z deltą, to do nierówności brakuje Ci tylko jednego kroku: interpretacji znaku trójmianu. I właśnie ten krok jest najbardziej zdradliwy - pomyłka z nawiasem albo ze znakiem kosztuje pełen punkt.

Co to jest nierówność kwadratowa

Nierówność kwadratowa to każda nierówność postaci:

ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c \geq 0, \quad ax^2 + bx + c < 0, \quad ax^2 + bx + c \leq 0

gdzie $a \ne 0$ . Rozwiązujemy tak samo, niezależnie od znaku - tylko w ostatnim kroku patrzymy, czego szukamy.

Metoda paraboli (jedyna, której potrzebujesz)

Schemat w 5 krokach:

1.Sprowadź do postaci standardowej - na jednej stronie trójmian, na drugiej zero.
2.Oblicz deltę $\Delta = b^2 - 4ac$ .
3.Znajdź miejsca zerowe (o ile $\Delta \geq 0$ ).
4.Narysuj szkic paraboli - ramiona w górę gdy $a > 0$ , w dół gdy $a < 0$ . Zaznacz miejsca zerowe na osi OX.
5.Odczytaj rozwiązanie - zaznacz odpowiednie fragmenty paraboli (nad osią dla $> 0$ , pod osią dla $< 0$ ).

Mnemonika: "parabola się uśmiecha albo smuci"

• $a > 0$ - parabola się uśmiecha (U), nad osią = "po krańcach".
• $a < 0$ - parabola się smuci (n), nad osią = "między miejscami zerowymi".

Przykład 1: Nierówność z deltą dodatnią, $a > 0$

0/3

Równania i nierówności

Zadanie. Rozwiąż nierówność $x^2 - 5x + 6 > 0$ .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

Krok 1. Postać standardowa - już jest.

Krok 2. $\Delta = 25 - 24 = 1$ , $\sqrt{\Delta} = 1$ .

Krok 3. Miejsca zerowe:

x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3

Krok 4. Parabola "uśmiech" ( $a = 1 > 0$ ), miejsca zerowe w 2 i 3.

Krok 5. Szukamy

> 0

- to znaczy gdzie parabola jest NAD osią OX. Parabola "uśmiech" jest nad osią po krańcach, więc:

x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)

Odpowiedź

$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$ .

Zwróć uwagę na okrągłe nawiasy - bo mamy ostrą nierówność ( $>$ ), miejsca zerowe są wyłączone.

Przykład 2: Delta dodatnia, $a > 0$ , nierówność "mniejsze niż"

0/3

Równania i nierówności

Zadanie. Rozwiąż $x^2 - 5x + 6 \leq 0$ .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie. Delta i miejsca zerowe jak wcześniej ( $x_1 = 2, x_2 = 3$ ).

Parabola "uśmiech", szukamy $\leq 0$ - czyli gdzie jest POD lub NA osi. Parabola jest pod osią między miejscami zerowymi.

x \in \langle 2, 3 \rangle

Odpowiedź

$x \in \langle 2, 3 \rangle$ .

Przykład 3: Delta dodatnia, $a < 0$

0/3

Równania i nierówności

Zadanie. Rozwiąż $-x^2 + 4x + 5 > 0$ .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

Krok 1. $a = -1 < 0$ .

Krok 2. $\Delta = 16 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36$ , $\sqrt{\Delta} = 6$ .

Krok 3. Miejsca zerowe:

x_1 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5, \quad x_2 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1

Czyli miejsca zerowe: $-1$ i $5$ .

Krok 4. Parabola "smutek" ( $a < 0$ ), miejsca zerowe w $-1$ i $5$ .

Krok 5. Szukamy

> 0

- gdzie parabola nad osią. Parabola "smutek" jest nad osią MIĘDZY miejscami zerowymi:

x \in (-1, 5)

Odpowiedź

$x \in (-1, 5)$ .

Kluczowa zasada przy $a < 0$

Zawsze możesz pomnożyć obie strony nierówności przez

-1

(odwracając znak nierówności), żeby uzyskać

a > 0

. W przykładzie 3:

-x^2 + 4x + 5 > 0 \iff x^2 - 4x - 5 < 0

Dalej już tak samo - tylko że teraz szukasz $< 0$ . Matematycznie równoważne, ale dla wielu uczniów łatwiejsze.

Przykład 4: Delta równa zero

0/4

Równania i nierówności

Zadanie. Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 > 0$ .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

Krok 1. $\Delta = 36 - 36 = 0$ .

Krok 2. Jedno miejsce zerowe: $x_0 = \frac{6}{2} = 3$ .

Krok 3. Parabola "uśmiech" dotyka osi OX w punkcie $x = 3$ . W tym punkcie wartość wynosi 0, wszędzie indziej jest dodatnia.

Krok 4. Szukamy

> 0

, czyli ściśle dodatnie. Wykluczamy miejsce zerowe:

x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}

Odpowiedź

$x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$ (wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 3).

Przykład 5: Delta zero, nierówność słaba

0/4

Równania i nierówności

Zadanie. Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 \geq 0$ .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie. Parabola "uśmiech" ma jedno miejsce zerowe w 3, dotyka osi, nigdzie nie idzie pod oś.

Szukamy $\geq 0$ - czyli wszystkie $x$ , bo parabola jest wszędzie $\geq 0$ .

x \in \mathbb{R}

Odpowiedź

$x \in \mathbb{R}$ .

Przykład 6: Delta zero, $\leq$

0/4

Równania i nierówności

Zadanie. Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 \leq 0$ .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie. Parabola "uśmiech", miejsce zerowe w 3. Parabola NIE schodzi pod oś, tylko dotyka osi w jednym punkcie.

Szukamy $\leq 0$ - to prawda tylko w samym miejscu zerowym.

x = 3

(jedyne rozwiązanie)

Odpowiedź

$x = 3$ .

Przykład 7: Delta ujemna

0/4

Równania i nierówności

Zadanie. Rozwiąż $x^2 + 2x + 5 > 0$ .

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

Krok 1. $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$ . Brak miejsc zerowych.

Krok 2. Parabola "uśmiech" ( $a > 0$ ) bez miejsc zerowych - leży całkowicie NAD osią OX.

Krok 3. Szukamy $> 0$ - wszędzie prawda.

x \in \mathbb{R}

Odpowiedź

$x \in \mathbb{R}$ .

Podsumowanie przypadków dla $a > 0$

Znak	$\Delta > 0$	$\Delta = 0$	$\Delta < 0$
$f(x) > 0$	$(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)$	$\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$	$\mathbb{R}$
$f(x) \geq 0$	$(-\infty, x_1\rangle \cup \langle x_2, +\infty)$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
$f(x) < 0$	$(x_1, x_2)$	$\emptyset$	$\emptyset$
$f(x) \leq 0$	$\langle x_1, x_2 \rangle$	$\{x_0\}$	$\emptyset$

Dla $a < 0$ odwróć wszystkie znaki lub pomnóż nierówność przez $-1$ .

Nawiasy: kiedy okrągły, kiedy kwadratowy

Nawias okrągły $($ - miejsce zerowe WYKLUCZONE. Używasz przy nierówności ostrej ( $<, >$ ).

Nawias kwadratowy $\langle$ - miejsce zerowe WŁĄCZONE. Używasz przy nierówności słabej ( $\leq, \geq$ ).

Nieskończoność zawsze ma nawias okrągły - $(-\infty, ...)$ nie $\langle-\infty, ...)$ .

To jest jedna z najczęstszych przyczyn straty 0.5 punktu na maturze. Sprawdzaj dwa razy.

Zapis zbioru rozwiązań

Są dwa popularne sposoby:

•W przedziałach: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$ .
•Nierównościami: $x < 2 \lor x > 3$ .

Oba są poprawne na maturze. Wybierz jeden i trzymaj się go - nie mieszaj.

Typowe pułapki

1.Złe nawiasy - ostra nierówność = okrągłe, słaba = kwadratowe. Co roku się na tym łapie kilkadziesiąt tysięcy osób.
2.Zapomnienie o $a < 0$ - parabola jest wtedy odwrócona. Zawsze sprawdź znak $a$ .
3.Delta ujemna i "brak rozwiązania" - pamiętaj, że nie oznacza to automatycznie braku rozwiązań nierówności. Dla $a > 0$ i $f(x) > 0$ rozwiązaniem jest $\mathbb{R}$ !
4.Niezredukowanie do postaci standardowej - jeśli nierówność jest $3x^2 > 2x + 5$ , najpierw przenieś wszystko na lewą stronę: $3x^2 - 2x - 5 > 0$ .
5.Przypisanie miejsc zerowych w złej kolejności - zawsze $x_1 < x_2$ , bo od tego zależy poprawność przedziałów.

Zadania z zadaniem

Często nierówności kwadratowe pojawiają się w środku większego zadania, np.:

•"Dla jakich $m$ funkcja ma dwa różne miejsca zerowe?" → $\Delta > 0$ .
•"Dla jakich $m$ funkcja nie ma miejsc zerowych?" → $\Delta < 0$ .
•Dziedzina funkcji z pierwiastkiem: $\sqrt{f(x)}$ wymaga $f(x) \geq 0$ .

W każdym takim przypadku układasz nierówność kwadratową z parametrem i rozwiązujesz.

Co musisz umieć na maturę

[x] Rozpoznać, że to nierówność kwadratowa (doprowadzić do postaci standardowej).
[x] Policzyć deltę i miejsca zerowe.
[x] Narysować szkic paraboli (ramiona w górę / w dół).
[x] Odczytać zbiór rozwiązań dla każdego typu nierówności ( $>, \geq, <, \leq$ ).
[x] Odróżnić nawiasy okrągłe od kwadratowych.
[x] Obsłużyć przypadek $\Delta = 0$ i $\Delta < 0$ .
[x] Zapisać odpowiedź w przedziałach lub nierównościach.

Powiązane tematy

•Jak obliczyć deltę - fundament nierówności kwadratowej
•Nierówności kwadratowe - metoda graficzna - pełny przewodnik
•Jak rozwiązać równanie kwadratowe - to samo, tylko $= 0$
•Funkcja kwadratowa na maturze - szerokie tło teoretyczne
•Jak znaleźć wierzchołek paraboli - przydaje się do szkicu
•Nierówności - liniowe, kwadratowe, z wartością bezwzględną - szerszy widok
•Wzory Viete'a - szybkie znajdowanie miejsc zerowych

Ćwicz na zadaniach w dziale równania i nierówności - setki zadań CKE z pełnymi rozwiązaniami.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Kategoria: Równania i nierówności

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Równanie trzeciego stopnia na maturze - metoda grupowania krok po kroku

Równanie z wielomianem trzeciego stopnia rozwiązujesz przez grupowanie: dwie pary wyrazów, wspólny nawias, iloczyn równy zero. Zobacz schemat w czterech krokach i pięć zadań z arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami.

Rozwiązanie zadania

Równanie iloczynowe - jak rozwiązać, ile ma rozwiązań i zadania maturalne CKE

Równanie iloczynowe rozwiązujesz jedną zasadą: każdy czynnik osobno do zera. Uczymy liczyć rozwiązania z pułapkami (czynnik bez pierwiastków, pierwiastek podwójny, dziedzina przy ułamku) i budować postać iloczynową grupowaniem. 7 zadań CKE krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Równanie kwadratowe niezupełne - jak rozwiązać bez delty i ile ma rozwiązań

Równanie kwadratowe niezupełne rozwiązujesz bez delty: gdy brakuje wyrazu wolnego, wyłączasz x przed nawias, gdy brakuje wyrazu z x, pierwiastkujesz. Oba typy, wzory, sześć zadań z arkuszy CKE i pułapki z równań iloczynowych „ile rozwiązań ma równanie".

Co to jest nierówność kwadratowa

Metoda paraboli (jedyna, której potrzebujesz)

Mnemonika: "parabola się uśmiecha albo smuci"

Kluczowa zasada przy a<0a < 0a<0

Podsumowanie przypadków dla a>0a > 0a>0

Nawiasy: kiedy okrągły, kiedy kwadratowy

Zapis zbioru rozwiązań

Typowe pułapki

Zadania z zadaniem

Co musisz umieć na maturę

Powiązane tematy

Kategoria: Równania i nierówności

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Równanie trzeciego stopnia na maturze - metoda grupowania krok po kroku

Równanie iloczynowe - jak rozwiązać, ile ma rozwiązań i zadania maturalne CKE

Równanie kwadratowe niezupełne - jak rozwiązać bez delty i ile ma rozwiązań

Kluczowa zasada przy $a < 0$

Podsumowanie przypadków dla $a > 0$