Wzory Viete'a na maturze - jak stosować i 6 typów zadań krok po kroku

Wzory Viete'a to najbardziej niedoceniany trik na maturze. Większość uczniów liczy deltę, szuka pierwiastków, a potem sumuje je "ręcznie". A można w 10 sekund odczytać sumę i iloczyn prosto ze współczynników. W tym poradniku pokażę ci, kiedy stosować wzory Viete'a i jakie typy zadań maturalnych są pod nie stworzone.

Co to są wzory Viete'a

Dla równania kwadratowego $ax^2 + bx + c = 0$ z pierwiastkami $x_1$ i $x_2$, wzory Viete'a mówią:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Słowami: suma pierwiastków to minus b przez a. Iloczyn pierwiastków to c przez a.

Ważne: wzory Viete'a działają TYLKO gdy równanie ma pierwiastki rzeczywiste, czyli $\Delta \geq 0$. Zawsze sprawdź deltę, zanim ich użyjesz.

Skąd się bierze wzór

Jeśli $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami, to równanie $ax^2 + bx + c = 0$ można zapisać w postaci iloczynowej:

$$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$$

Po rozwinięciu:

$$a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2) = 0$$ $$ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a \cdot x_1 x_2 = 0$$

Porównując ze standardową postacią $ax^2 + bx + c = 0$:

Stąd wzory Viete'a. Warto znać to wyprowadzenie - pojawiało się w zadaniach dowodowych na maturze rozszerzonej.

Typ 1: Obliczanie sumy i iloczynu bez liczenia pierwiastków

Przykład 1

Dla równania $2x^2 - 6x + 4 = 0$ wyznacz sumę i iloczyn pierwiastków.

Rozwiązanie:

Mamy $a = 2$, $b = -6$, $c = 4$. Sprawdzamy deltę:

$$\Delta = 36 - 32 = 4 > 0$$

Wzory Viete'a:

$$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2} = 3$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{2} = 2$$

Odpowiedź: Suma $= 3$, iloczyn $= 2$.

Typ 2: Suma kwadratów pierwiastków

CKE uwielbia pytanie "oblicz $x_1^2 + x_2^2$" bez liczenia samych pierwiastków. Stosujemy tożsamość:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$$

Przykład 2

Dla równania $x^2 - 5x + 3 = 0$ oblicz $x_1^2 + x_2^2$.

Rozwiązanie:

Sprawdzamy deltę: $\Delta = 25 - 12 = 13 > 0$. OK.

Ze wzorów Viete'a: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 x_2 = 3$.

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 25 - 6 = 19$$

Odpowiedź: $x_1^2 + x_2^2 = 19$.

Typ 3: Suma odwrotności pierwiastków

Inne klasyczne zadanie maturalne: "oblicz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$".

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$$

Przykład 3

Dla równania $3x^2 - 9x + 6 = 0$ oblicz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.

Rozwiązanie:

$\Delta = 81 - 72 = 9 > 0$. OK.

Z Viete'a: $x_1 + x_2 = -\frac{-9}{3} = 3$, $x_1 x_2 = \frac{6}{3} = 2$.

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{2}$$

Odpowiedź: $\frac{3}{2}$.

Typ 4: Różnica pierwiastków

Do różnicy wprost Viete'a nie wystarczy, ale można obliczyć:

$$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$$

Przykład 4

Dla równania $x^2 - 8x + 12 = 0$ oblicz $|x_1 - x_2|$.

Rozwiązanie:

$\Delta = 64 - 48 = 16$. OK.

Z Viete'a: suma $= 8$, iloczyn $= 12$.

$$(x_1 - x_2)^2 = 64 - 48 = 16$$ $$|x_1 - x_2| = \sqrt{16} = 4$$

Odpowiedź: $|x_1 - x_2| = 4$.

Uwaga: $(x_1 - x_2)^2$ to też $\frac{\Delta}{a^2}$. Dla współczynnika $a = 1$ dostajemy $|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta}$.

Typ 5: Wyznaczanie współczynnika z warunku na pierwiastki

To jeden z ulubionych typów CKE. "Dla jakiej wartości parametru $m$ suma pierwiastków wynosi 7?" Odpowiedź: z Viete'a.

Przykład 5

Dla jakich wartości $m$ suma pierwiastków równania $x^2 - (m + 3)x + 2m = 0$ wynosi 10?

Rozwiązanie:

Z Viete'a: $x_1 + x_2 = -\frac{-(m+3)}{1} = m + 3$.

Warunek: $m + 3 = 10 \implies m = 7$.

Sprawdzamy deltę dla $m = 7$:

$$\Delta = (7+3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 100 - 56 = 44 > 0$$

OK, pierwiastki istnieją.

Odpowiedź: $m = 7$.

Przykład 6: Trudniejsze zadanie

Dla jakich wartości $m$ pierwiastki równania $x^2 - 2mx + m + 6 = 0$ są przeciwnych znaków?

Rozwiązanie:

Pierwiastki mają przeciwne znaki, gdy ich iloczyn jest ujemny: $x_1 \cdot x_2 < 0$.

Z Viete'a: $x_1 \cdot x_2 = m + 6$.

Warunek:

$$m + 6 < 0 \implies m < -6$$

Zauważmy też: jeśli $x_1 x_2 < 0$, to jeden pierwiastek jest dodatni, drugi ujemny - wtedy $\Delta > 0$ automatycznie (pierwiastki muszą być różne). Nie trzeba sprawdzać delty osobno.

Odpowiedź: $m < -6$, czyli $m \in (-\infty, -6)$.

Typ 6: Zadania z warunkami na znaki pierwiastków

To klasyczny trik maturalny. Warunki:

To pozwala ominąć cały "taniec z deltą" i rozwiązać zadanie szybciej.

Wzory Viete'a w innych kontekstach

Wzory działają nie tylko dla klasycznych równań kwadratowych:

Sprawdź też pełny przewodnik o funkcji kwadratowej, gdzie Viete'a łączy się z postacią kanoniczną i iloczynową.

Algorytm na maturze

Kiedy stosować Viete'a? Schemat decyzyjny:

1. Czy zadanie pyta o sumę, iloczyn, lub wyrażenie w których występują oba pierwiastki symetrycznie?
- TAK: użyj Viete'a (oszczędność czasu)
- NIE: licz deltę i pierwiastki
2. Czy zadanie pyta o znaki pierwiastków bez wartości?
- TAK: Viete + analiza znaków
3. Czy zadanie pyta o konkretny pierwiastek?
- Zwykle potrzebujesz wzorów na pierwiastki ($x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$)

Typowe błędy

Błąd 1: Zapominanie o warunku $\Delta \geq 0$. Wzory Viete'a działają TYLKO gdy pierwiastki istnieją. Jeśli liczysz sumę/iloczyn pierwiastków, najpierw sprawdź, czy one w ogóle istnieją.

Błąd 2: Mylenie znaku we wzorze na sumę. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, nie $\frac{b}{a}$. Minus jest kluczowy. Dla $x^2 - 5x + 6 = 0$, $b = -5$, suma $= -\frac{-5}{1} = 5$ (dodatnia).

Błąd 3: Ignorowanie $a$. Wzór to $-\frac{b}{a}$, nie tylko $-b$. Dla $2x^2 + 4x - 6 = 0$, suma $= -\frac{4}{2} = -2$, iloczyn $= -\frac{6}{2} = -3$.

Błąd 4: Złe rozwinięcie $(x_1 + x_2)^2$. Tożsamość $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$, stąd $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$. Nie zapomnij odjąć $2 \cdot$ iloczynu.

Błąd 5: Zapominanie o warunku $x_1 x_2 \neq 0$ dla odwrotności. $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ma sens tylko gdy żaden pierwiastek nie jest zerem, czyli $c \neq 0$ (bo $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$).

Co musisz umieć - checklista

Przećwicz na zadaniach z funkcji kwadratowej - mamy ponad 300 zadań maturalnych. Sprawdź też jak obliczyć deltę i równania kwadratowe, żeby w pełni opanować ten dział.