Wzory Viete'a na maturze - jak stosować i 6 typów zadań krok po kroku

Wzory Viete'a wiążą pierwiastki równania kwadratowego $ax^2 + bx + c = 0$ z jego współczynnikami: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ oraz $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, o ile $\Delta \geq 0$. Dzięki nim sumę, iloczyn, sumę kwadratów albo sumę odwrotności pierwiastków liczysz bez wyznaczania samych pierwiastków.

Większość uczniów liczy deltę, szuka pierwiastków, a potem sumuje je "ręcznie". A można odczytać sumę i iloczyn prosto ze współczynników. W tym poradniku pokażę ci, kiedy stosować wzory Viete'a i jakie typy zadań maturalnych są pod nie stworzone.

W skrócie

• Suma pierwiastków to $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, a ich iloczyn to $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.
• Wzorów używasz tylko przy $\Delta \geq 0$, bo bez pierwiastków rzeczywistych nie ma czego sumować.
• Sumę kwadratów liczysz z tożsamości $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.
• Pierwiastki mają przeciwne znaki dokładnie wtedy, gdy $\frac{c}{a} < 0$, i wtedy delty nie musisz osobno sprawdzać.
• Suma miejsc zerowych to podwojona pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli: $x_1 + x_2 = 2p$.

Co to są wzory Viete'a

Dla równania kwadratowego $ax^2 + bx + c = 0$ z pierwiastkami $x_1$ i $x_2$, wzory Viete'a mówią:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Słowami: suma pierwiastków to minus b przez a. Iloczyn pierwiastków to c przez a.

Opisują miejsca zerowe paraboli, więc należą do działu funkcja kwadratowa. Wszystkie zadania maturalne z funkcji kwadratowej znajdziesz w bazie z rozwiązaniami krok po kroku.

Skąd się bierze wzór

Jeśli $x_1$ i $x_2$ są pierwiastkami, to równanie $ax^2 + bx + c = 0$ można zapisać w postaci iloczynowej:

$a(x - x_1)(x - x_2) = 0$

Po rozwinięciu:

$a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2) = 0$ $ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a \cdot x_1 x_2 = 0$

Porównując ze standardową postacią $ax^2 + bx + c = 0$:

• •współczynnik przy $x$: $-a(x_1 + x_2) = b \implies x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
• •wyraz wolny: $a \cdot x_1 x_2 = c \implies x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Stąd wzory Viete'a. Ten sam rachunek dla trzech pierwiastków daje wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia. Warto znać to wyprowadzenie - pojawiało się w zadaniach dowodowych na maturze rozszerzonej.

Typ 1: Obliczanie sumy i iloczynu bez liczenia pierwiastków

Przykład 1

Funkcja kwadratowa

Dla równania $2x^2 - 6x + 4 = 0$ wyznacz sumę i iloczyn pierwiastków.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Mamy $a = 2$, $b = -6$, $c = 4$. Sprawdzamy deltę:

$\Delta = 36 - 32 = 4 > 0$

Wzory Viete'a:

$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{2} = 3$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{4}{2} = 2$

Odpowiedź:

Suma $= 3$, iloczyn $= 2$.

Teraz ty

Spróbuj sam tego samego typu zadania z prawdziwego arkusza CKE: policz sumę miejsc zerowych, zanim wyznaczysz każde z nich osobno.

Matura sierpień 2018Zadanie 11Funkcja kwadratowa1 pkt

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x) = -3(x-2)(x-9)$. Liczby $x_1$, $x_2$ są różnymi miejscami zerowymi funkcji $f$. Zatem

• A. $x_1 + x_2 = 11$
• B. $x_1 + x_2 = -11$
• C. $x_1 + x_2 = 33$
• D. $x_1 + x_2 = -33$

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie wczytuje się po otwarciu. Otwórz w aplikacji.

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Następny krok Losuj kolejne zadanie z działu Funkcja kwadratowa

Typ 2: Suma kwadratów pierwiastków

CKE uwielbia pytanie "oblicz $x_1^2 + x_2^2$" bez liczenia samych pierwiastków. Stosujemy tożsamość:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$

Przykład 2

Funkcja kwadratowa

Dla równania $x^2 - 5x + 3 = 0$ oblicz $x_1^2 + x_2^2$.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Sprawdzamy deltę: $\Delta = 25 - 12 = 13 > 0$. OK.

Ze wzorów Viete'a: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 x_2 = 3$.

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 25 - 6 = 19$

Odpowiedź:

$x_1^2 + x_2^2 = 19$.

Typ 3: Suma odwrotności pierwiastków

Inne klasyczne zadanie maturalne: "oblicz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$".

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$

Przykład 3

Funkcja kwadratowa

Dla równania $3x^2 - 9x + 6 = 0$ oblicz $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

$\Delta = 81 - 72 = 9 > 0$. OK.

Z Viete'a: $x_1 + x_2 = -\frac{-9}{3} = 3$, $x_1 x_2 = \frac{6}{3} = 2$.

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{2}$

Odpowiedź:

$\frac{3}{2}$.

Typ 4: Różnica pierwiastków

Do różnicy wprost Viete'a nie wystarczy, ale można obliczyć:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$

Przykład 4

Funkcja kwadratowa

Dla równania $x^2 - 8x + 12 = 0$ oblicz $|x_1 - x_2|$.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

$\Delta = 64 - 48 = 16$. OK.

Z Viete'a: suma $= 8$, iloczyn $= 12$.

$(x_1 - x_2)^2 = 64 - 48 = 16$ $|x_1 - x_2| = \sqrt{16} = 4$

Odpowiedź:

$|x_1 - x_2| = 4$.

Typ 5: Wyznaczanie współczynnika z warunku na pierwiastki

To jeden z ulubionych typów CKE, a pozostałe znajdziesz w zestawieniu zadań CKE z funkcji kwadratowej według typu. "Dla jakiej wartości parametru $m$ suma pierwiastków wynosi 7?" Odpowiedź: z Viete'a.

Typ 6: Zadania z warunkami na znaki pierwiastków

To klasyczny trik maturalny. Warunki:

• •Oba pierwiastki dodatnie: $x_1 + x_2 > 0$ i $x_1 x_2 > 0$ i $\Delta \geq 0$
• •Oba pierwiastki ujemne: $x_1 + x_2 < 0$ i $x_1 x_2 > 0$ i $\Delta \geq 0$
• •Przeciwne znaki: $x_1 x_2 < 0$ (wystarczy, delta automatycznie > 0)

To pozwala ominąć cały "taniec z deltą" i rozwiązać zadanie szybciej. Więcej takich warunków, także w zadaniach z parametrem, opisuje poradnik o warunkach na położenie pierwiastków funkcji kwadratowej.

Wzory Viete'a w innych kontekstach

Wzory działają nie tylko dla klasycznych równań kwadratowych:

• •Równania dwukwadratowe (np. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$) - po podstawieniu $t = x^2$ możesz zastosować Viete'a do równania w $t$
• •Równania kwadratowe z parametrem - wyznaczanie parametru z warunku na pierwiastki
• •Dowody matematyczne - relacje między pierwiastkami są często potrzebne w zadaniach dowodowych

Sprawdź też pełny przewodnik o funkcji kwadratowej, gdzie Viete'a łączy się z postacią kanoniczną i iloczynową.

Algorytm na maturze

Kiedy stosować Viete'a? Schemat decyzyjny:

1. 1.Czy zadanie pyta o sumę, iloczyn, lub wyrażenie w których występują oba pierwiastki symetrycznie?

- TAK: użyj Viete'a (oszczędność czasu)
- NIE: licz deltę i pierwiastki

1. 2.Czy zadanie pyta o znaki pierwiastków bez wartości?

- TAK: Viete + analiza znaków

1. 3.Czy zadanie pyta o konkretny pierwiastek?

- Zwykle potrzebujesz wzorów na pierwiastki ($x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$)

Typowe błędy

Błąd 1: Zapominanie o warunku $\Delta \geq 0$. Wzory Viete'a działają TYLKO gdy pierwiastki istnieją. Jeśli liczysz sumę/iloczyn pierwiastków, najpierw sprawdź, czy one w ogóle istnieją.

Błąd 2: Mylenie znaku we wzorze na sumę. $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, nie $\frac{b}{a}$. Minus jest kluczowy. Dla $x^2 - 5x + 6 = 0$, $b = -5$, suma $= -\frac{-5}{1} = 5$ (dodatnia).

Błąd 3: Ignorowanie $a$. Wzór to $-\frac{b}{a}$, nie tylko $-b$. Dla $2x^2 + 4x - 6 = 0$, suma $= -\frac{4}{2} = -2$, iloczyn $= -\frac{6}{2} = -3$.

Błąd 4: Złe rozwinięcie $(x_1 + x_2)^2$. Tożsamość $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$, stąd $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$. Nie zapomnij odjąć $2 \cdot$ iloczynu.

Błąd 5: Zapominanie o warunku $x_1 x_2 \neq 0$ dla odwrotności. $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ma sens tylko gdy żaden pierwiastek nie jest zerem, czyli $c \neq 0$ (bo $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$).

Co musisz umieć - checklista

Przećwicz te typy na zadaniach z funkcji kwadratowej z arkuszy CKE. Sprawdź też jak obliczyć deltę i równania kwadratowe, żeby w pełni opanować ten dział.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Najczęstsze pytania