Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział (-∞,-1⟩, a wartość -5 osiąga ona dla dwóch argumentów: 2 i 10.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: f(x)=-1/4 x²+3x-10
Szukamy funkcji kwadratowej w postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c.
## Krok 1: Analiza zbioru wartości
Zbiór wartości to (-∞, -1], co oznacza: - maksymalna wartość funkcji to -1 - funkcja przyjmuje wszystkie wartości mniejsze lub równe -1
Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół, więc a < 0, a wartość w wierzchołku wynosi: y_w = -1
## Krok 2: Wyznaczenie osi symetrii
Funkcja przyjmuje wartość -5 dla argumentów x₁ = 2 i x₂ = 10.
Punkty o tej samej wartości funkcji są symetryczne względem osi symetrii paraboli, więc: p = (x₁ + x₂)/2 = (2 + 10)/2 = 6
## Krok 3: Postać kanoniczna funkcji
Z wierzchołkiem W = (6, -1) postać kanoniczna to: f(x) = a(x - 6)² - 1
## Krok 4: Wyznaczenie parametru a
Korzystamy z warunku f(2) = -5: a(2 - 6)² - 1 = -5 a · 16 - 1 = -5 16a = -4 a = -1/4
## Krok 5: Przekształcenie do postaci ogólnej
f(x) = -1/4(x - 6)² - 1
f(x) = -1/4(x² - 12x + 36) - 1
f(x) = -1/4 x² + 3x - 9 - 1
f(x) = -1/4 x² + 3x - 10
## Sprawdzenie
Sprawdźmy f(10) = -5: f(10) = -1/4 · 100 + 3 · 10 - 10 = -25 + 30 - 10 = -5
Odpowiedź: f(x) = -1/4 x² + 3x - 10
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.