Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne

Wzór funkcji kwadratowej z wykresu wyznaczasz w trzech ruchach: odczytujesz z rysunku punkty charakterystyczne (wierzchołek $W=(p,q)$, miejsca zerowe $x_1, x_2$ albo punkt przecięcia z osią $Oy$), wybierasz postać wzoru dopasowaną do tych danych (kanoniczną $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdy znasz wierzchołek, iloczynową $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, gdy znasz miejsca zerowe), a potem podstawiasz współrzędne jeszcze jednego punktu z wykresu i obliczasz współczynnik $a$. Jeśli zadanie wymaga postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$, na końcu wymnażasz nawiasy.

Ten typ zadania wraca na maturze podstawowej regularnie. W naszej bazie 38 ze 128 zadań CKE z działu Funkcja kwadratowa łączy w treści wykres ze wzorem albo współczynnikami: od jednopunktowych zamkniętych (maj 2020, sierpień 2021) po otwarte za 3-5 punktów (maj 2022, sierpień 2024, czerwiec 2025). Poniżej dostajesz cztery metody, siedem rozwiązanych przykładów z prawdziwych arkuszy i listę pułapek, na których uczniowie tracą punkty.

Trzy postacie funkcji kwadratowej - którą wybrać do odczytu z wykresu

Postać wzoru dobierasz do tego, co widzisz na rysunku. Wierzchołek prowadzi do postaci kanonicznej, miejsca zerowe do iloczynowej, a punkt przecięcia z osią $Oy$ daje od razu współczynnik $c$ w postaci ogólnej. W każdej z tych postaci współczynnik $a$ jest ten sam, więc obliczony raz działa wszędzie.

Między postaciami przechodzisz algebraicznie, co opisaliśmy osobno w poradniku o przekształcaniu funkcji kwadratowej na postać kanoniczną i iloczynową. Tutaj skupiamy się na odwrotnym kierunku: z rysunku do wzoru.

Co odczytać z wykresu paraboli, zanim zaczniesz liczyć

Z rysunku wyciągasz maksymalnie sześć informacji i każda z nich przekłada się na konkretny fragment wzoru. Przejdź tę listę zawsze w tej samej kolejności, a nie przeoczysz danych, które CKE chowa w treści albo na rysunku.

1. 1.Kierunek ramion. Ramiona w górę to $a>0$, ramiona w dół to $a<0$. To pierwszy filtr w zadaniach zamkniętych.
2. 2.Wierzchołek $W=(p,q)$. Najniższy punkt (dla $a>0$) albo najwyższy (dla $a<0$). Od razu znasz oś symetrii $x=p$ i zbiór wartości: $\langle q, +\infty)$ lub $(-\infty, q\rangle$.
3. 3.Miejsca zerowe $x_1$, $x_2$. Punkty przecięcia z osią $Ox$. Leżą symetrycznie względem osi symetrii, więc $p=\frac{x_1+x_2}{2}$.
4. 4.Punkt przecięcia z osią $Oy$. Ma współrzędne $(0,c)$, gdzie $c$ to wyraz wolny postaci ogólnej. Wystarczy odczytać wysokość, na której parabola przebija oś $Oy$.
5. 5.Jeden dodatkowy punkt "na kratce". Punkt o obu współrzędnych całkowitych, przez który wyraźnie przechodzi wykres. To on posłuży do obliczenia $a$.
6. 6.Informacje z treści. CKE często dopisuje "wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mają współrzędne całkowite" albo podaje oś symetrii zamiast wierzchołka. Traktuj to jak dane.

Jeśli którejś z tych rzeczy nie widać na rysunku, zwykle da się ją obliczyć z pozostałych. Jak znaleźć wierzchołek ze wzoru albo z miejsc zerowych, pokazujemy w poradniku o wierzchołku paraboli.

Metoda 1: z wierzchołka i jednego punktu (postać kanoniczna)

Gdy znasz wierzchołek $W=(p,q)$, zapisujesz $f(x)=a(x-p)^2+q$ i masz już wszystko poza $a$. Współczynnik $a$ obliczasz, podstawiając współrzędne dowolnego innego punktu z wykresu. To najczęstsza i najszybsza metoda, bo wierzchołek jest na rysunku zwykle najlepiej widoczny.

Metoda 2: z miejsc zerowych i jednego punktu (postać iloczynowa)

Gdy parabola przecina oś $Ox$ w punktach $x_1$ i $x_2$, zapisujesz $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ i podstawiasz jeszcze jeden punkt, żeby obliczyć $a$. Najwygodniej użyć wierzchołka albo punktu przecięcia z osią $Oy$, bo te dwa są na rysunku najłatwiejsze do odczytania.

Przykład 3: miejsca zerowe i wierzchołek

Matura próbna CKE grudzień 2023Zadanie 11Funkcja kwadratowa

Na rysunku parabola przecina oś $Ox$ w punktach $(2,0)$ i $(6,0)$, a jej wierzchołek to $W=(4,-2)$. Podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej i kanonicznej.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   zapisz postać iloczynową

   $f(x)=a(x-2)(x-6)$
2. Krok 2

   podstaw wierzchołek i oblicz a

   $-2=a(4-2)(4-6)=a\cdot 2\cdot(-2)=-4a \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}$
3. Krok 3

   zapisz postać iloczynową i przejdź do kanonicznej

   $f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)$

   Wierzchołek już znasz, więc postać kanoniczna to:

   $f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$
4. Krok 4

   sprawdź przez wymnożenie

   $\frac{1}{2}(x-2)(x-6)=\frac{1}{2}(x^2-8x+12)=\frac{1}{2}x^2-4x+6$
   $\frac{1}{2}(x-4)^2-2=\frac{1}{2}(x^2-8x+16)-2=\frac{1}{2}x^2-4x+6$

   Obie postacie dają tę samą postać ogólną, a wyraz wolny $c=6$ oznacza, że parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$. W arkuszu dokładnie tak było. To samo zadanie pytało jeszcze o zbiór wartości $\langle -2,+\infty)$ i o przedział, w którym funkcja jest ujemna: $(2,6)$, czyli między miejscami zerowymi, bo ramiona idą w górę. Jak czytać zbiór wartości z wykresu, opisujemy w osobnym poradniku o zbiorze wartości funkcji. Cały arkusz: próbna CKE grudzień 2023.

Metoda 3: z osi symetrii i jednego miejsca zerowego

Oś symetrii $x=p$ i jedno miejsce zerowe $x_1$ wystarczą, żeby znaleźć drugie miejsce zerowe: $x_2=2p-x_1$, bo miejsca zerowe leżą w równej odległości od osi symetrii. Potem działasz jak w Metodzie 2. Ten wariant CKE lubi w zadaniach otwartych, gdzie rysunku nie ma wcale.

Przykład 4: zadanie otwarte bez rysunku

Matura czerwiec 2025Zadanie 13Funkcja kwadratowa

Wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2,15)$. Osią symetrii tego wykresu jest prosta $x=-1$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   znajdź drugie miejsce zerowe

   Miejsce zerowe $x_1=1$ leży $2$ jednostki na prawo od osi $x=-1$, więc drugie leży $2$ jednostki na lewo:

   $x_2=2\cdot(-1)-1=-3$
2. Krok 2

   zapisz postać iloczynową i oblicz a z punktu (2,15)

   $f(x)=a(x-1)(x+3)$
   $15=a(2-1)(2+3)=5a \quad\Rightarrow\quad a=3$
3. Krok 3

   oblicz q, czyli wartość w wierzchołku

   Wierzchołek ma $p=-1$, więc:

   $q=f(-1)=3\cdot(-1-1)\cdot(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot 2=-12$
4. Krok 4

   zapisz postać kanoniczną

   $f(x)=3(x+1)^2-12$

   Sprawdzenie: $f(2)=3\cdot 9-12=15$. Zgadza się. Zadanie było za 3 punkty i wymagało dokładnie tej postaci; uczeń, który zatrzymał się na $f(x)=3(x-1)(x+3)$, tracił ostatni punkt. Treść i schemat punktowania: arkusz z czerwca 2025.

Metoda 4: z trzech punktów (układ równań) i wariant z ukrytym wierzchołkiem

Gdy na rysunku nie ma ani wierzchołka, ani miejsc zerowych, a masz trzy punkty o znanych współrzędnych, podstawiasz je do postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ i rozwiązujesz układ trzech równań. Jeśli jeden z punktów leży na osi $Oy$, dostajesz $c$ za darmo i układ kurczy się do dwóch równań.

Jak ustalić znaki współczynników a, b, c z samego wykresu

Znak $a$ czytasz z kierunku ramion, znak $c$ z punktu przecięcia z osią $Oy$, a znak $b$ z położenia wierzchołka względem osi $Oy$. Wzór $p=-\frac{b}{2a}$ po przekształceniu daje $b=-2ap$, więc $b$ ma znak przeciwny do iloczynu $a\cdot p$. To wystarcza do rozwiązania zadań zamkniętych bez żadnych obliczeń.

Przykład 7: wybór wzoru spośród czterech

Matura sierpień 2021Zadanie 12Funkcja kwadratowa

Na rysunku parabola ma ramiona skierowane w dół, wierzchołek na prawo od osi $Oy$ i przecina oś $Oy$ poniżej osi $Ox$. Który wzór do niej pasuje: A. $x^2-6x+11$, B. $-x^2+x+2$, C. $x^2-6x-7$, D. $-x^2+6x-7$?

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   filtr po znaku a

   Ramiona w dół, więc $a<0$. Zostają B i D.

2. Krok 2

   filtr po znaku c

   Przecięcie z $Oy$ pod osią $Ox$, więc $c<0$. Odpada B ($c=2$). Zostaje D.

3. Krok 3

   kontrola znakiem b

   Dla D: $a=-1<0$, $b=6>0$, więc $p=-\frac{6}{-2}=3>0$. Wierzchołek na prawo od osi $Oy$, jak na rysunku. Odpowiedź: D. Dla pewności $q=f(3)=-9+18-7=2$, czyli wierzchołek $(3,2)$ nad osią $Ox$, więc miejsca zerowe istnieją.

   Podobnie działa zadanie 10 z sierpnia 2017: dla $f(x)=x^2+bx+c$ z wierzchołkiem na prawo od osi $Oy$ i przecięciem osi $Oy$ powyżej zera dostajesz od razu $b<0$ i $c>0$. Więcej zadań tego typu zebraliśmy w bazie zadań CKE z funkcji kwadratowej.

Typowe pułapki przy odczytywaniu wzoru z wykresu

Większość błędów w tym typie zadań to nie brak wiedzy, tylko znaki i pośpiech. Oto lista tego, co najczęściej kosztuje punkty.

• •Znak w postaci kanonicznej. Wierzchołek $W=(-1,2)$ daje $f(x)=a(x+1)^2+2$, nie $a(x-1)^2+2$. Nawias zawiera $x-p$, więc ujemne $p$ zmienia minus na plus.
• •Przyjmowanie $a=1$ bez liczenia. Parabola o wierzchołku $(1,-2)$ i miejscu zerowym $3$ ma $a=\frac{1}{2}$, nie $1$. Szerokość ramion nie jest "standardowa", a $a$ zawsze wynika z dodatkowego punktu.
• •Zgadywanie $a$ z kształtu. "Wąska" parabola nie oznacza $a=2$. Kształt zależy też od skali osi na rysunku. Liczysz, nie oceniasz na oko.
• •Punkt odczytany nie z kratki. Do obliczenia $a$ wybieraj tylko punkty o całkowitych współrzędnych, wyraźnie zaznaczone albo opisane w treści.
• •Postać iloczynowa bez miejsc zerowych. Jeśli parabola nie przecina osi $Ox$ ($\Delta<0$), postaci iloczynowej nie ma. Używasz kanonicznej.
• •Zła postać w odpowiedzi. Jeśli polecenie mówi "w postaci kanonicznej", to wynik $3(x-1)(x+3)$ nie kończy zadania. Doprowadź do $3(x+1)^2-12$.
• •Błąd w wymnażaniu. $(x-4)^2=x^2-8x+16$, nie $x^2-16$. Wzory skróconego mnożenia sprawdzasz w poradniku o wzorach skróconego mnożenia.
• •Pominięcie współczynnika $a$ przy wymnażaniu. W Przykładzie 6 łatwo napisać $f(x)=x^2+2x-15$ i zapomnieć o $-\frac{3}{8}$ przed nawiasem.

Checklista: co musisz umieć

Chcesz odwrotny kierunek, czyli narysować parabolę z gotowego wzoru? Mamy na to osobny poradnik: jak narysować wykres funkcji kwadratowej. A jeśli w zadaniu pojawiają się sumy i iloczyny miejsc zerowych bez ich wartości, sięgnij po wzory Viete'a.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie