Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z wykresu - 4 metody i zadania maturalne

Wzór funkcji kwadratowej z wykresu wyznaczasz w trzech ruchach: odczytujesz z rysunku punkty charakterystyczne (wierzchołek $W=(p,q)$, miejsca zerowe $x_1, x_2$ albo punkt przecięcia z osią $Oy$), wybierasz postać wzoru dopasowaną do tych danych (kanoniczną $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdy znasz wierzchołek, iloczynową $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, gdy znasz miejsca zerowe), a potem podstawiasz współrzędne jeszcze jednego punktu z wykresu i obliczasz współczynnik $a$. Jeśli zadanie wymaga postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$, na końcu wymnażasz nawiasy.

Ten typ zadania wraca na maturze podstawowej regularnie. W naszej bazie 38 ze 128 zadań CKE z działu Funkcja kwadratowa łączy w treści wykres ze wzorem albo współczynnikami: od jednopunktowych zamkniętych (maj 2020, sierpień 2021) po otwarte za 3-5 punktów (maj 2022, sierpień 2024, czerwiec 2025). Poniżej dostajesz cztery metody, siedem rozwiązanych przykładów z prawdziwych arkuszy i listę pułapek, na których uczniowie tracą punkty.

Trzy postacie funkcji kwadratowej - którą wybrać do odczytu z wykresu

Postać wzoru dobierasz do tego, co widzisz na rysunku. Wierzchołek prowadzi do postaci kanonicznej, miejsca zerowe do iloczynowej, a punkt przecięcia z osią $Oy$ daje od razu współczynnik $c$ w postaci ogólnej. W każdej z tych postaci współczynnik $a$ jest ten sam, więc obliczony raz działa wszędzie.

Między postaciami przechodzisz algebraicznie, co opisaliśmy osobno w poradniku o przekształcaniu funkcji kwadratowej na postać kanoniczną i iloczynową. Tutaj skupiamy się na odwrotnym kierunku: z rysunku do wzoru.

Co odczytać z wykresu paraboli, zanim zaczniesz liczyć

Z rysunku wyciągasz maksymalnie sześć informacji i każda z nich przekłada się na konkretny fragment wzoru. Przejdź tę listę zawsze w tej samej kolejności, a nie przeoczysz danych, które CKE chowa w treści albo na rysunku.

1. 1.Kierunek ramion. Ramiona w górę to $a>0$, ramiona w dół to $a<0$. To pierwszy filtr w zadaniach zamkniętych.
2. 2.Wierzchołek $W=(p,q)$. Najniższy punkt (dla $a>0$) albo najwyższy (dla $a<0$). Od razu znasz oś symetrii $x=p$ i zbiór wartości: $\langle q, +\infty)$ lub $(-\infty, q\rangle$.
3. 3.Miejsca zerowe $x_1$, $x_2$. Punkty przecięcia z osią $Ox$. Leżą symetrycznie względem osi symetrii, więc $p=\frac{x_1+x_2}{2}$.
4. 4.Punkt przecięcia z osią $Oy$. Ma współrzędne $(0,c)$, gdzie $c$ to wyraz wolny postaci ogólnej. Wystarczy odczytać wysokość, na której parabola przebija oś $Oy$.
5. 5.Jeden dodatkowy punkt "na kratce". Punkt o obu współrzędnych całkowitych, przez który wyraźnie przechodzi wykres. To on posłuży do obliczenia $a$.
6. 6.Informacje z treści. CKE często dopisuje "wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mają współrzędne całkowite" albo podaje oś symetrii zamiast wierzchołka. Traktuj to jak dane.

Jeśli którejś z tych rzeczy nie widać na rysunku, zwykle da się ją obliczyć z pozostałych. Jak znaleźć wierzchołek ze wzoru albo z miejsc zerowych, pokazujemy w poradniku o wierzchołku paraboli.

Metoda 1: z wierzchołka i jednego punktu (postać kanoniczna)

Gdy znasz wierzchołek $W=(p,q)$, zapisujesz $f(x)=a(x-p)^2+q$ i masz już wszystko poza $a$. Współczynnik $a$ obliczasz, podstawiając współrzędne dowolnego innego punktu z wykresu. To najczęstsza i najszybsza metoda, bo wierzchołek jest na rysunku zwykle najlepiej widoczny.

Przykład 1: wierzchołek i punkt na osi Ox (Matura sierpień 2024, zadanie 15)

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli o wierzchołku $W=(1,-2)$, która przecina oś $Ox$ w punktach $(-1,0)$ i $(3,0)$. Wierzchołek i punkty przecięcia z osią $Ox$ mają współrzędne całkowite. Podaj zbiór wartości funkcji, równanie osi symetrii i wzór funkcji $f$.

Krok 1: zapisz postać kanoniczną z wierzchołkiem

$f(x)=a(x-1)^2-2$

Uwaga na znaki: $p=1$ daje w nawiasie $(x-1)$, a $q=-2$ ląduje na końcu ze swoim minusem.

Krok 2: podstaw drugi punkt i oblicz a

Bierzemy punkt $(3,0)$, bo ma proste współrzędne:

$0=a(3-1)^2-2 \quad\Rightarrow\quad 4a=2 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}$

Krok 3: zapisz wzór i odczytaj resztę

$f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2$

Ramiona są skierowane w górę ($a>0$), więc zbiór wartości to $\langle -2, +\infty)$. Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek: $x=1$. Sprawdzenie drugim miejscem zerowym: $f(-1)=\frac{1}{2}\cdot 4-2=0$. Zgadza się.

W arkuszu ta część zadania była zamknięta: cztery wzory w postaci kanonicznej, wszystkie z $a=\frac{1}{2}$, różniące się tylko znakami przy $1$ w nawiasie i przy $2$ na końcu ($\frac{1}{2}(x-1)^2-2$, $\frac{1}{2}(x+1)^2-2$, $\frac{1}{2}(x-1)^2+2$, $\frac{1}{2}(x+1)^2+2$). CKE sprawdzało więc wyłącznie Krok 1, czyli znaki we wzorze z wierzchołkiem. Pełną treść znajdziesz w arkuszu z sierpnia 2024.

Przykład 2: wierzchołek podany, postać iloczynowa w treści (Matura maj 2020, zadanie 7)

Funkcja kwadratowa jest określona wzorem $f(x)=a(x-1)(x-3)$. Wierzchołkiem paraboli jest punkt $W=(2,1)$. Oblicz $a$.

Krok 1: sprawdź, czy wierzchołek pasuje do miejsc zerowych

Miejsca zerowe to $1$ i $3$, ich środek to $\frac{1+3}{2}=2$. Pierwsza współrzędna wierzchołka się zgadza, więc dane są spójne.

Krok 2: podstaw wierzchołek do wzoru

$1=a(2-1)(2-3)=a\cdot 1\cdot(-1)=-a \quad\Rightarrow\quad a=-1$

Wierzchołek leży nad osią $Ox$, a miejsca zerowe istnieją, więc ramiona muszą iść w dół. Ujemne $a$ potwierdza rysunek. Zadanie za 1 punkt, czas rozwiązania: pół minuty. Możesz je rozwiązać samodzielnie w aplikacji: zadanie 7 z maja 2020.

Metoda 2: z miejsc zerowych i jednego punktu (postać iloczynowa)

Gdy parabola przecina oś $Ox$ w punktach $x_1$ i $x_2$, zapisujesz $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ i podstawiasz jeszcze jeden punkt, żeby obliczyć $a$. Najwygodniej użyć wierzchołka albo punktu przecięcia z osią $Oy$, bo te dwa są na rysunku najłatwiejsze do odczytania.

Przykład 3: miejsca zerowe i wierzchołek (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 11)

Na rysunku parabola przecina oś $Ox$ w punktach $(2,0)$ i $(6,0)$, a jej wierzchołek to $W=(4,-2)$. Podaj wzór funkcji w postaci iloczynowej i kanonicznej.

Krok 1: zapisz postać iloczynową

$f(x)=a(x-2)(x-6)$

Krok 2: podstaw wierzchołek i oblicz a

$-2=a(4-2)(4-6)=a\cdot 2\cdot(-2)=-4a \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}$

Krok 3: zapisz postać iloczynową i przejdź do kanonicznej

$f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)$

Wierzchołek już znasz, więc postać kanoniczna to:

$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$

Krok 4: sprawdź przez wymnożenie

$\frac{1}{2}(x-2)(x-6)=\frac{1}{2}(x^2-8x+12)=\frac{1}{2}x^2-4x+6$
$\frac{1}{2}(x-4)^2-2=\frac{1}{2}(x^2-8x+16)-2=\frac{1}{2}x^2-4x+6$

Obie postacie dają tę samą postać ogólną, a wyraz wolny $c=6$ oznacza, że parabola przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,6)$. W arkuszu dokładnie tak było. To samo zadanie pytało jeszcze o zbiór wartości $\langle -2,+\infty)$ i o przedział, w którym funkcja jest ujemna: $(2,6)$, czyli między miejscami zerowymi, bo ramiona idą w górę. Jak czytać zbiór wartości z wykresu, opisujemy w osobnym poradniku o zbiorze wartości funkcji. Cały arkusz: próbna CKE grudzień 2023.

Metoda 3: z osi symetrii i jednego miejsca zerowego

Oś symetrii $x=p$ i jedno miejsce zerowe $x_1$ wystarczą, żeby znaleźć drugie miejsce zerowe: $x_2=2p-x_1$, bo miejsca zerowe leżą w równej odległości od osi symetrii. Potem działasz jak w Metodzie 2. Ten wariant CKE lubi w zadaniach otwartych, gdzie rysunku nie ma wcale.

Przykład 4: zadanie otwarte bez rysunku (Matura czerwiec 2025, zadanie 13)

Wykres funkcji kwadratowej $f$ przechodzi przez punkt $(2,15)$. Osią symetrii tego wykresu jest prosta $x=-1$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$. Wyznacz wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej.

Krok 1: znajdź drugie miejsce zerowe

Miejsce zerowe $x_1=1$ leży $2$ jednostki na prawo od osi $x=-1$, więc drugie leży $2$ jednostki na lewo:

$x_2=2\cdot(-1)-1=-3$

Krok 2: zapisz postać iloczynową i oblicz a z punktu (2,15)

$f(x)=a(x-1)(x+3)$
$15=a(2-1)(2+3)=5a \quad\Rightarrow\quad a=3$

Krok 3: oblicz q, czyli wartość w wierzchołku

Wierzchołek ma $p=-1$, więc:

$q=f(-1)=3\cdot(-1-1)\cdot(-1+3)=3\cdot(-2)\cdot 2=-12$

Krok 4: zapisz postać kanoniczną

$f(x)=3(x+1)^2-12$

Sprawdzenie: $f(2)=3\cdot 9-12=15$. Zgadza się. Zadanie było za 3 punkty i wymagało dokładnie tej postaci; uczeń, który zatrzymał się na $f(x)=3(x-1)(x+3)$, tracił ostatni punkt. Treść i schemat punktowania: arkusz z czerwca 2025.

Metoda 4: z trzech punktów (układ równań) i wariant z ukrytym wierzchołkiem

Gdy na rysunku nie ma ani wierzchołka, ani miejsc zerowych, a masz trzy punkty o znanych współrzędnych, podstawiasz je do postaci ogólnej $f(x)=ax^2+bx+c$ i rozwiązujesz układ trzech równań. Jeśli jeden z punktów leży na osi $Oy$, dostajesz $c$ za darmo i układ kurczy się do dwóch równań.

Przykład 5: trzy punkty, żaden nie jest wierzchołkiem

Parabola przechodzi przez punkty $(0,1)$, $(1,0)$ i $(2,3)$. Wyznacz wzór funkcji w postaci ogólnej.

Krok 1: podstaw punkt na osi Oy

$f(0)=1 \quad\Rightarrow\quad c=1$

Krok 2: podstaw pozostałe dwa punkty

$f(1)=0: \quad a+b+1=0$
$f(2)=3: \quad 4a+2b+1=3 \quad\Rightarrow\quad 2a+b=1$

Krok 3: rozwiąż układ

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego: $(2a+b)-(a+b)=1-(-1)$, czyli $a=2$. Stąd $b=-1-a=-3$. Jeśli układy to twoja słaba strona, przećwicz metodę podstawiania krok po kroku.

Krok 4: zapisz wzór i sprawdź

$f(x)=2x^2-3x+1$

Kontrola trzecim punktem: $f(2)=8-6+1=3$. Zgadza się. Bonus: $\Delta=9-8=1$, więc miejsca zerowe to $x=\frac{3\pm 1}{4}$, czyli $1$ i $\frac{1}{2}$. Pierwsze z nich to punkt $(1,0)$ z treści.

Przykład 6: wierzchołek ukryty w warunku "dokładnie jeden punkt wspólny" (Matura maj 2022, zadanie 35)

Wykres funkcji $f(x)=ax^2+bx+c$ ma z prostą $y=6$ dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty $A=(-5,0)$ i $B=(3,0)$ należą do wykresu. Oblicz $a$, $b$, $c$.

Krok 1: przetłumacz warunki na dane o wykresie

Punkty $A$ i $B$ leżą na osi $Ox$, więc $x_1=-5$ i $x_2=3$ to miejsca zerowe. Prosta pozioma $y=6$ ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny tylko wtedy, gdy przechodzi przez wierzchołek. Stąd $q=6$.

Krok 2: oblicz p z symetrii miejsc zerowych

$p=\frac{-5+3}{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad W=(-1,6)$

Krok 3: postać iloczynowa i współczynnik a

$f(x)=a(x+5)(x-3)$
$6=a(-1+5)(-1-3)=a\cdot 4\cdot(-4)=-16a \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{8}$

Krok 4: wymnóż do postaci ogólnej

$f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x-15)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}$

Zatem $a=-\frac{3}{8}$, $b=-\frac{3}{4}$, $c=\frac{45}{8}$. Ujemne $a$ ma sens: wierzchołek leży nad osią $Ox$ i jest maksimum. To zadanie za 5 punktów: najwięcej w całym arkuszu z maja 2022, a cała trudność siedzi w Kroku 1. Reszta to Metoda 2.

Jak ustalić znaki współczynników a, b, c z samego wykresu

Znak $a$ czytasz z kierunku ramion, znak $c$ z punktu przecięcia z osią $Oy$, a znak $b$ z położenia wierzchołka względem osi $Oy$. Wzór $p=-\frac{b}{2a}$ po przekształceniu daje $b=-2ap$, więc $b$ ma znak przeciwny do iloczynu $a\cdot p$. To wystarcza do rozwiązania zadań zamkniętych bez żadnych obliczeń.

Przykład 7: wybór wzoru spośród czterech (Matura sierpień 2021, zadanie 12)

Na rysunku parabola ma ramiona skierowane w dół, wierzchołek na prawo od osi $Oy$ i przecina oś $Oy$ poniżej osi $Ox$. Który wzór do niej pasuje: A. $x^2-6x+11$, B. $-x^2+x+2$, C. $x^2-6x-7$, D. $-x^2+6x-7$?

Krok 1: filtr po znaku a

Ramiona w dół, więc $a<0$. Zostają B i D.

Krok 2: filtr po znaku c

Przecięcie z $Oy$ pod osią $Ox$, więc $c<0$. Odpada B ($c=2$). Zostaje D.

Krok 3: kontrola znakiem b

Dla D: $a=-1<0$, $b=6>0$, więc $p=-\frac{6}{-2}=3>0$. Wierzchołek na prawo od osi $Oy$, jak na rysunku. Odpowiedź: D. Dla pewności $q=f(3)=-9+18-7=2$, czyli wierzchołek $(3,2)$ nad osią $Ox$, więc miejsca zerowe istnieją.

Podobnie działa zadanie 10 z sierpnia 2017: dla $f(x)=x^2+bx+c$ z wierzchołkiem na prawo od osi $Oy$ i przecięciem osi $Oy$ powyżej zera dostajesz od razu $b<0$ i $c>0$. Więcej zadań tego typu zebraliśmy w bazie zadań CKE z funkcji kwadratowej.

Typowe pułapki przy odczytywaniu wzoru z wykresu

Większość błędów w tym typie zadań to nie brak wiedzy, tylko znaki i pośpiech. Oto lista tego, co najczęściej kosztuje punkty.

• •Znak w postaci kanonicznej. Wierzchołek $W=(-1,2)$ daje $f(x)=a(x+1)^2+2$, nie $a(x-1)^2+2$. Nawias zawiera $x-p$, więc ujemne $p$ zmienia minus na plus.
• •Przyjmowanie $a=1$ bez liczenia. Parabola o wierzchołku $(1,-2)$ i miejscu zerowym $3$ ma $a=\frac{1}{2}$, nie $1$. Szerokość ramion nie jest "standardowa", a $a$ zawsze wynika z dodatkowego punktu.
• •Zgadywanie $a$ z kształtu. "Wąska" parabola nie oznacza $a=2$. Kształt zależy też od skali osi na rysunku. Liczysz, nie oceniasz na oko.
• •Punkt odczytany nie z kratki. Do obliczenia $a$ wybieraj tylko punkty o całkowitych współrzędnych, wyraźnie zaznaczone albo opisane w treści.
• •Postać iloczynowa bez miejsc zerowych. Jeśli parabola nie przecina osi $Ox$ ($\Delta<0$), postaci iloczynowej nie ma. Używasz kanonicznej.
• •Zła postać w odpowiedzi. Jeśli polecenie mówi "w postaci kanonicznej", to wynik $3(x-1)(x+3)$ nie kończy zadania. Doprowadź do $3(x+1)^2-12$.
• •Błąd w wymnażaniu. $(x-4)^2=x^2-8x+16$, nie $x^2-16$. Wzory skróconego mnożenia sprawdzasz w poradniku o wzorach skróconego mnożenia.
• •Pominięcie współczynnika $a$ przy wymnażaniu. W Przykładzie 6 łatwo napisać $f(x)=x^2+2x-15$ i zapomnieć o $-\frac{3}{8}$ przed nawiasem.

Checklista: co musisz umieć

• •Rozpoznać, którą postać wzoru wybrać: wierzchołek to kanoniczna, miejsca zerowe to iloczynowa, trzy dowolne punkty to ogólna i układ równań.
• •Obliczyć $a$ przez podstawienie dodatkowego punktu. Zawsze. Bez wyjątków.
• •Z osi symetrii i jednego miejsca zerowego wyznaczyć drugie: $x_2=2p-x_1$.
• •Z miejsc zerowych wyznaczyć $p=\frac{x_1+x_2}{2}$, a potem $q=f(p)$.
• •Przetłumaczyć warunek "dokładnie jeden punkt wspólny z prostą $y=k$" na $q=k$.
• •Ustalić znaki $a$, $b$, $c$ z wykresu: ramiona, przecięcie z $Oy$, położenie wierzchołka ($b=-2ap$).
• •Przejść między postaciami: wymnożyć nawiasy i sprawdzić wynik podstawieniem jednego punktu.
• •Podać odpowiedź w postaci, o którą prosi polecenie.

Chcesz odwrotny kierunek, czyli narysować parabolę z gotowego wzoru? Mamy na to osobny poradnik: jak narysować wykres funkcji kwadratowej. A jeśli w zadaniu pojawiają się sumy i iloczyny miejsc zerowych bez ich wartości, sięgnij po wzory Viete'a.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej, mając wierzchołek i jeden punkt?
Zapisz postać kanoniczną $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdzie $(p,q)$ to wierzchołek, podstaw współrzędne drugiego punktu za $x$ i $f(x)$, a potem rozwiąż równanie względem $a$. Na przykład dla wierzchołka $(1,-2)$ i punktu $(3,0)$ dostajesz $0=4a-2$, czyli $a=\frac{1}{2}$ i $f(x)=\frac{1}{2}(x-1)^2-2$.

Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z miejsc zerowych?
Użyj postaci iloczynowej $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ z odczytanymi miejscami zerowymi, a współczynnik $a$ oblicz z jeszcze jednego punktu wykresu, najlepiej z wierzchołka albo z punktu przecięcia z osią $Oy$. Same miejsca zerowe nie wystarczą, bo przez te dwa punkty przechodzi nieskończenie wiele parabol różniących się wartością $a$.

Jak obliczyć współczynnik a z wykresu paraboli?
Podstaw do wybranej postaci wzoru współrzędne jednego punktu, który nie został już wykorzystany (nie wierzchołka w postaci kanonicznej, nie miejsca zerowego w iloczynowej), i rozwiąż równanie z jedną niewiadomą $a$. Znak $a$ możesz sprawdzić kierunkiem ramion: w górę oznacza $a>0$, w dół $a<0$.

Czy da się wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej z samego wierzchołka?
Nie. Wierzchołek ustala $p$ i $q$, ale nie ustala $a$, a przez jeden wierzchołek przechodzi nieskończenie wiele parabol o różnej szerokości ramion. Potrzebujesz jeszcze jednego punktu wykresu albo dodatkowej informacji, na przykład miejsca zerowego lub wartości $f(0)$.

Jak rozpoznać znak współczynnika b z wykresu?
Skorzystaj z zależności $b=-2ap$, gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka. Gdy $a$ i $p$ mają ten sam znak (na przykład ramiona w górę i wierzchołek na prawo od osi $Oy$), to $b<0$; gdy mają różne znaki, to $b>0$; gdy wierzchołek leży na osi $Oy$, to $b=0$.

Co zrobić, gdy parabola nie przecina osi Ox?
Wtedy funkcja nie ma miejsc zerowych i postać iloczynowa nie istnieje, więc pracujesz na postaci kanonicznej z wierzchołkiem albo na postaci ogólnej z trzema punktami. Punkt przecięcia z osią $Oy$ nadal daje ci $c$, a wierzchołek daje $p$ i $q$.

Ile punktów trzeba znać, żeby wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej?
Trzy punkty o znanych współrzędnych zawsze wystarczą, bo dają układ trzech równań z niewiadomymi $a$, $b$, $c$. Jeśli jednym z danych jest wierzchołek albo para miejsc zerowych, wystarczą dwie informacje: ten punkt charakterystyczny i jeden dodatkowy punkt wykresu.