Wykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=ax²+bx+c ma z prostą o równaniu y=6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A=(-5,0) i B=(3,0) należą do wykresu funkcji f. Oblicz wartości współczynników a, b oraz c.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Kluczem do sukcesu jest zauważenie, iż podane punkty A=(-5,0) i B=(3,0) leżą na osi OX, co prowadzi nas wprost do informacji, że miejscami zerowymi tej funkcji są x₁=-5 oraz x₂=3. Ogólnie sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie współrzędnej p wierzchołka paraboli.

Z własności parabol wiemy, że wierzchołek paraboli W=(p;q) znajduje się dokładnie po środku między miejscami zerowymi. To pozwala nam niemalże błyskawicznie obliczyć współrzędną p wierzchołka.

p=(x₁+x₂)/2 p=(-5+3)/2 p=-2/2 p=-1

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej q wierzchołka paraboli.

W treści zadania mamy informację, że prosta y=6 ma tylko jeden punkt wspólny z naszą parabolą (co zresztą widać na rysunku). To oznacza, że ta prosta musi przechodzić przez wierzchołek (nie ma innej możliwości), co z kolei prowadzi nas do wniosku, że w takim razie współrzędna q=6.

Wiemy już zatem, że W=(-1;6).

Krok 4. Obliczenie wartości współczynnika a.

Znając współrzędne wierzchołka paraboli, możemy pokusić się o zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej:

f(x)=a(x-p)²+q

Podstawiając znane współrzędne wierzchołka W=(-1;6), otrzymamy:

f(x)=a(x-(-1))²+6 f(x)=a(x+1)²+6

Do pełni wzoru brakuje nam znajomości współczynnika a. Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonej postaci współrzędne jednego ze znanych punktów, np. A=(-5;0). Podstawiając zatem x=-5 oraz y=0, otrzymamy:

0=a · (-5+1)²+6 0=a · (-4)²+6 0=16a+6 -6=16a a=-3/8

To oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci kanonicznej jest f(x)=-3/8(x+1)²+6

Krok 5. Obliczenie wartości współczynników b oraz c.

Aby rozwiązać nasze zadanie, musimy poznać wzór funkcji w postaci ogólnej (tylko wtedy poznamy wartości brakujących współczynników b oraz c). Póki co, mamy tylko postać kanoniczną, zatem wymnóżmy wszystkie liczby i przekształćmy tym samym zapis do postaci ogólnej:

f(x)=-3/8(x+1)²+6 f(x)=-3/8(x²+2x+1)+6 f(x)=-3/8 x²-6/8 x-3/8+6 f(x)=-3/8 x²-3/4 x+5 5/8

To oznacza, że a=-3/8, b=-3/4 oraz c=5 5/8.