Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości a. Punkty E, F, G, B są wierzchołkami ostrosłupa EFGB (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa EFGB jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.a²
- B.3√(3)/2 a²
- C.3/2 a²
- D.(3+√(3))/2 a²
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: D
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy rozpisać długości krawędzi ostrosłupa EFGB. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku a ma przekątną o długości a√(2). Skoro tak, to krawędzie BE, BG oraz EG będą miały właśnie długość a√(2).
Oprócz tego musimy dostrzec, że krawędzie BF, EF oraz FG mają długość a. Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:
To prowadzi nas do wniosku, że na pole powierzchni całkowitej składać się będzie podstawa, która jest trójkątem równobocznym o boku a√(2) oraz trzy ściany boczne, które są trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych długości a.
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie zapiszemy jako
P_p=(a√(2))²√(3)/4 P_p=a² · 2 · √(3)/4 P_p=a²√(3)/2
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej tworzą trzy trójkąty prostokątne o przyprostokątnych a. Możemy więc zapisać, że:
P_b=3 · 1/2 ah P_b=3 · 1/2 · a · a P_b=3/2 · a²
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mając obliczone P_p oraz P_b możemy zapisać, że:
P_c=a²√(3)/2+3/2 · a² P_c=√(3)/2 · a²+3/2 · a² P_c=(√(3)+3)/2 · a² P_c=(3+√(3))/2 · a²
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.