Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BAC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 72°
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy kąt BAC jako kąt α. Z tego kąta poprowadzono dwusieczną, co prowadzi nas do wniosku, że |∢DAB|=1/2α oraz |∢CAD|=1/2α.
Warto też zauważyć, że skoro jest to trójkąt równoramienny, to także |∢ABC|=α. Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:
Krok 2. Wyznaczenie miary kąta BAC.
Spójrzmy teraz na trójkąt ABD. Jest to trójkąt podobny do trójkąta ABC, czyli także musi być on równoramienny. Kąty przy podstawie takich trójkątów mają jednakową miarę (tutaj jest podstawa BD), zatem |∢ADB|=α. W ten sposób opisaliśmy już symbolami wszystkie kąty w trójkącie ABD. Suma kątów w trójkącie musi być równa 180°, zatem:
1/2α+α+α=180° 2,5α=180° α=72°
Zgodnie z oznaczeniami, miara kąta α jest także miarą poszukiwanego przez nas kąta BAC, zatem:
|∢BAC|=72°
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.