Stosunek pól trójkątów - wspólna wysokość i kąt

Q: Czy stosunek pól trójkątów podobnych to skala czy kwadrat skali?

Kwadrat skali. Jeśli boki jednego trójkąta są k razy dłuższe od boków drugiego, to jego pole jest k² razy większe. Dla skali 1/3 stosunek pól wynosi 1/9. To samo dotyczy każdych figur podobnych, nie tylko trójkątów.

Stosunek pól dwóch trójkątów liczysz bez wyznaczania żadnej wysokości, jeśli trójkąty mają coś wspólnego. Wspólna wysokość (ten sam wierzchołek, podstawy na jednej prostej): stosunek pól równa się stosunkowi podstaw. Wspólny kąt: stosunek pól równa się stosunkowi iloczynów boków obejmujących ten kąt, bo $P = \frac{1}{2} ab \sin\alpha$ . Podobieństwo w skali $k$ : stosunek pól równa się $k^2$ . Na maturze rozszerzonej te trzy fakty rozwiązują większość zadań z poleceniem "oblicz stosunek pól" i "wykaż, że pole trójkąta jest równe".

Ta technika wraca w arkuszach rozszerzonych regularnie, tylko pod różnymi przebraniami: raz jako trójkąt równoboczny z punktem na boku, raz jako kwadrat pocięty przekątną, raz jako dowód o polu trójkąta wyciętego dwiema prostymi równoległymi. W tym wpisie rozbieramy pięć takich zadań z arkuszy CKE, każde za 3 do 5 punktów, i pokazujemy, jak w każdym z nich rozpoznać, który z trzech wzorów wziąć. Na maturze podstawowej ten sam mechanizm pojawia się w prostszej wersji, a jego korzeniem są trójkąty podobne.

Trzy sposoby na stosunek pól bez liczenia pól

Stosunek pól to nie jest "policz oba pola i podziel". W zadaniach rozszerzonych zwykle nie znasz żadnej wysokości i nie masz jej z czego policzyć. Zamiast tego szukasz tego, co oba trójkąty dzielą: wysokości, kąta albo kształtu.

Wspólna wysokość. Jeśli dwa trójkąty mają ten sam wierzchołek, a ich podstawy leżą na jednej prostej, to wysokość opuszczona z tego wierzchołka jest w obu identyczna. Pole to połowa iloczynu podstawy i wysokości, więc wysokość się skraca i zostaje stosunek podstaw. Najczęstszy obraz: punkt $D$ na boku $BC$ trójkąta $ABC$ . Wtedy $\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{|BD|}{|DC|}$ . Szczególny przypadek to środkowa, która dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach. Ten sam fakt siedzi w dowodzie twierdzenia o dwusiecznej.

Wspólny kąt. Jeśli dwa trójkąty mają wspólny kąt (albo kąty równe), to ich pola liczysz z tego samego wzoru $P = \frac{1}{2} ab\sin\alpha$ , a sinus się skraca. Zostaje stosunek iloczynów boków obejmujących kąt. Obraz: punkty $B'$ na boku $AB$ i $C'$ na boku $AC$ . Wtedy $\frac{P_{AB'C'}}{P_{ABC}} = \frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}$ . To wzór, który najczęściej ratuje zadania z kwadratem albo prostokątem pociętym przekątnymi. Wszystkie wzory na pole trójkąta, z których te proporcje wynikają, zebraliśmy we wpisie o ośmiu wzorach na pole trójkąta.

Podobieństwo. Jeśli trójkąty są podobne w skali $k$ , to stosunek ich pól to $k^2$ . W zadaniach podobieństwo bierze się prawie zawsze z prostych równoległych: odcinek równoległy do boku odcina trójkąt podobny do całego, a skalę daje twierdzenie Talesa.

Te trzy narzędzia łączy się w jednym zadaniu. Typowy łańcuch: podobieństwo daje pole małego trójkąta jako ułamek większego, a wspólna wysokość przenosi ten ułamek na cały trójkąt.

Wzory

Stosunek pól przy wspólnej wysokości:

\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{|BD|}{|DC|}

Stosunek pól przy wspólnym kącie:

\frac{P_{AB'C'}}{P_{ABC}} = \frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}

Stosunek pól trójkątów podobnych:

\frac{P_1}{P_2} = k^2

Pole trójkąta z dwóch boków i kąta:

P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma

Podział pola przez środkową:

P_{ABD} = P_{ADC} = \frac{1}{2} P_{ABC} \quad \text{dla } |BD| = |DC|

Jak rozpoznać, który wzór wziąć

Patrzysz na dwa trójkąty, o które pyta zadanie, i zadajesz trzy pytania po kolei. Czy mają wspólny wierzchołek, a podstawy leżą na jednej prostej? Bierzesz stosunek podstaw. Czy mają wspólny kąt, a pozostałe wierzchołki leżą na ramionach tego kąta? Bierzesz iloczyny boków. Czy w zadaniu są proste równoległe? Szukasz trójkątów podobnych i skali z Talesa.

Jeśli w zadaniu pojawia się kąt, którego miary szukasz, stosunek pól zwykle daje ci stosunek odcinków, a dalej wchodzi twierdzenie sinusów albo cosinusów. Dokładnie tak działa pierwszy przykład.

Przykład 1: Kąt z warunku na stosunek pól

0/5

Matura rozszerzona maj 2025Zadanie 3Planimetria

Treść: W trójkącie równobocznym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $BC$ . Stosunek pola trójkąta $ABD$ do pola trójkąta $ADC$ jest równy $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ . Oblicz miarę kąta $DAC$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Wspólna wysokość
Trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólny wierzchołek $A$ , a ich podstawy $BD$ i $DC$ leżą na prostej $BC$ . Wysokość z $A$ jest w obu ta sama, więc stosunek pól to stosunek podstaw.
$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$
Krok 2
Wyraź $|DC|$ przez bok trójkąta
Oznacz bok przez $a$ . Skoro $|BD| + |DC| = a$ oraz $|BD| = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot |DC|$ , to
$|DC| \cdot \left(1 + \frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) = a \quad \Rightarrow \quad |DC| \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = a \quad \Rightarrow \quad |DC| = \frac{2a}{\sqrt{3}+1} = a(\sqrt{3}-1)$
Krok 3
Twierdzenie sinusów w trójkącie $ADC$
Oznacz $|\sphericalangle DAC| = \varphi$ . Kąt przy $C$ ma $60^\circ$ , więc $|\sphericalangle ADC| = 120^\circ - \varphi$ . Naprzeciw $\varphi$ leży $DC$ , naprzeciw kąta $ADC$ leży $AC = a$ .
$\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sin\varphi} = \frac{a}{\sin(120^\circ - \varphi)} \quad \Rightarrow \quad (\sqrt{3}-1)\sin(120^\circ - \varphi) = \sin\varphi$
Krok 4
Rozwiń sinus różnicy
$\sin(120^\circ - \varphi) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\varphi + \frac{1}{2}\sin\varphi$ . Po pomnożeniu przez $\sqrt{3}-1$ :
$\frac{3-\sqrt{3}}{2}\cos\varphi + \frac{\sqrt{3}-1}{2}\sin\varphi = \sin\varphi \quad \Rightarrow \quad \frac{3-\sqrt{3}}{2}\cos\varphi = \frac{3-\sqrt{3}}{2}\sin\varphi$
Stąd $\operatorname{tg}\varphi = 1$ , a kąt $\varphi$ jest ostry, bo mieści się w kącie $BAC$ o mierze $60^\circ$ .

Odpowiedź

$|\sphericalangle DAC| = 45^\circ$ .

Przykład 2: Pole trójkąta z punktu dzielącego bok

0/5

Matura rozszerzona maj 2013Zadanie 9Planimetria

Treść: Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $|AC| = 17$ i $|BC| = 10$ . Na boku $AB$ leży punkt $D$ taki, że $|AD| : |DB| = 3 : 4$ oraz $|DC| = 10$ . Oblicz pole trójkąta $ABC$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Oznacz odcinki i zauważ trójkąt równoramienny
Niech $|AD| = 3x$ i $|DB| = 4x$ . W trójkącie $DBC$ mamy $|DC| = |BC| = 10$ , więc jest równoramienny, a wysokość z $C$ trafia w środek $DB$ . Stąd
$\cos|\sphericalangle BDC| = \frac{2x}{10} = \frac{x}{5}$
Krok 2
Kąt przyległy
Kąty $ADC$ i $BDC$ leżą na jednej prostej, więc sumują się do $180^\circ$ i $\cos|\sphericalangle ADC| = -\frac{x}{5}$ .
Krok 3
Twierdzenie cosinusów w trójkącie $ADC$
$17^2 = (3x)^2 + 10^2 - 2 \cdot 3x \cdot 10 \cdot \left(-\frac{x}{5}\right) \quad \Rightarrow \quad 289 = 9x^2 + 100 + 12x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9$
Zatem $x = 3$ , czyli $|AD| = 9$ , $|DB| = 12$ , $|AB| = 21$ .
Krok 4
Pole trójkąta $DBC$
Wysokość z $C$ w trójkącie równoramiennym o ramieniu $10$ i podstawie $12$ ma długość $\sqrt{100 - 36} = 8$ .
$P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$
Krok 5
Wspólna wysokość
Trójkąty $ABC$ i $DBC$ mają wspólny wierzchołek $C$ , a podstawy $AB$ i $DB$ na jednej prostej. Stosunek pól to stosunek podstaw.
$P_{ABC} = P_{DBC} \cdot \frac{|AB|}{|DB|} = 48 \cdot \frac{21}{12} = 84$

Odpowiedź

$P_{ABC} = 84$ .

Przykład 3: Wspólny kąt w kwadracie

0/5

Matura rozszerzona maj 2024Zadanie 9Planimetria

Treść: Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $a$ . Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$ . Przekątna $BD$ dzieli trójkąt $ACE$ na dwie figury: trójkąt $AGF$ (gdzie $G$ leży na $AC$ , a $F$ na $AE$ ) oraz czworokąt $CEFG$ . Oblicz pola figur $AGF$ oraz $CEFG$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Pole trójkąta $ACE$
Podstawa $CE$ ma długość $\frac{a}{2}$ , a wysokość opuszczona z $A$ na prostą $CD$ to bok kwadratu.
$P_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$
Krok 2
Gdzie leży $G$
Punkt $G$ to przecięcie przekątnych kwadratu, a przekątne dzielą się na połowy. Stąd $|AG| = \frac{1}{2}|AC|$ .
Krok 3
Gdzie leży $F$
Odcinek $DE$ jest równoległy do $AB$ , więc trójkąty $DFE$ i $BFA$ mają równe kąty naprzemianległe i są podobne w skali $\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{1}{2}$ . Zatem $|EF| : |FA| = 1 : 2$ , czyli $|AF| = \frac{2}{3}|AE|$ .
Krok 4
Wspólny kąt przy wierzchołku $A$
Trójkąty $AGF$ i $ACE$ mają wspólny kąt $CAE$ , a $G$ i $F$ leżą na jego ramionach. Stosunek pól to stosunek iloczynów boków przy tym kącie.
$\frac{P_{AGF}}{P_{ACE}} = \frac{|AG| \cdot |AF|}{|AC| \cdot |AE|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad P_{AGF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{12}$
Krok 5
Pole czworokąta
Czworokąt $CEFG$ to reszta trójkąta $ACE$ .
$P_{CEFG} = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{12} = \frac{a^2}{6}$

Odpowiedź

$P_{AGF} = \frac{a^2}{12}$ , $P_{CEFG} = \frac{a^2}{6}$ .

Przykład 4: Podobieństwo i wspólna wysokość razem

0/5

Matura rozszerzona czerwiec 2021Zadanie 7Planimetria

Treść: Dany jest trójkąt $ABC$ . Na boku $AB$ obrano punkty $D$ , $E$ i $F$ tak, że $|AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|$ . Na bokach $AC$ i $BC$ obrano odpowiednio punkty $G$ i $H$ tak, że $DG \parallel EC$ oraz $FH \parallel EC$ . Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $FBH$ jest równe $S$ , to pole trójkąta $ADG$ jest równe $3S$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Oznacz odcinki
Niech $|FB| = x$ . Wtedy $|AD| = |DE| = |EF| = 2x$ , więc $|AE| = 4x$ , $|EB| = 3x$ i $|AB| = 7x$ .
Krok 2
Trójkąt $ADG$ jest podobny do $AEC$
Mają wspólny kąt przy $A$ , a z równoległości $DG \parallel EC$ kąty $ADG$ i $AEC$ są równe jako odpowiadające. Skala podobieństwa to $\frac{|AD|}{|AE|} = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$ .
$P_{ADG} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 P_{AEC} = \frac{1}{4} P_{AEC}$
Krok 3
Trójkąt $FBH$ jest podobny do $EBC$
Ten sam argument z $FH \parallel EC$ i wspólnym kątem przy $B$ . Skala to $\frac{|FB|}{|EB|} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$ .
$P_{FBH} = \frac{1}{9} P_{EBC} \quad \Rightarrow \quad P_{EBC} = 9S$
Krok 4
Wspólna wysokość z wierzchołka $C$
Trójkąty $AEC$ i $EBC$ mają wspólny wierzchołek $C$ , a podstawy $AE$ i $EB$ leżą na prostej $AB$ .
$\frac{P_{AEC}}{P_{EBC}} = \frac{|AE|}{|EB|} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad P_{AEC} = \frac{4}{3} \cdot 9S = 12S$
Krok 5
Złóż wszystko
$P_{ADG} = \frac{1}{4} \cdot 12S = 3S$

Odpowiedź

$P_{ADG} = 3S$ , co należało wykazać.

Przykład 5: Punkt przecięcia dwóch odcinków

0/5

Matura rozszerzona maj 2021Zadanie 8Planimetria

Treść: Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$ . Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano odpowiednio punkty $D$ i $E$ takie, że $|BD| = |AE| = \frac{1}{3}|AB|$ . Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ . Wykaż, że pole trójkąta $DBP$ jest $21$ razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$ .

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Oznacz długości i pole
Przyjmij $|AB| = 3$ i $P_{ABC} = S$ . Wtedy $|BD| = 1$ , $|AD| = 2$ , $|AE| = 1$ , $|EC| = 2$ .
Krok 2
Prosta pomocnicza
Przez punkt $E$ poprowadź prostą równoległą do $CD$ ; niech przecina bok $AB$ w punkcie $F$ . W trójkącie $ADC$ odcinek $FE$ jest równoległy do $DC$ , więc z twierdzenia Talesa
$\frac{|AF|}{|AD|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad |AF| = \frac{2}{3}, \quad |FD| = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$
Krok 3
Stosunek, w jakim $P$ dzieli $BE$
W trójkącie $BFE$ odcinek $DP$ leży na prostej $CD$ , a więc jest równoległy do $FE$ . Z twierdzenia Talesa
$\frac{|BP|}{|PE|} = \frac{|BD|}{|DF|} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{|BP|}{|BE|} = \frac{3}{7}$
Krok 4
Wspólna wysokość z wierzchołka $D$
Trójkąty $DBP$ i $DBE$ mają wspólny wierzchołek $D$ , a podstawy $BP$ i $BE$ leżą na jednej prostej.
$P_{DBP} = \frac{3}{7} P_{DBE}$
Krok 5
Pole trójkąta $DBE$ jako ułamek $S$
Dwa razy wspólna wysokość: z wierzchołka $E$ (podstawy $DB$ i $AB$ ), a potem z wierzchołka $B$ (podstawy $AE$ i $AC$ ).
$P_{DBE} = \frac{|DB|}{|AB|} P_{ABE} = \frac{1}{3} P_{ABE}, \qquad P_{ABE} = \frac{|AE|}{|AC|} P_{ABC} = \frac{1}{3} S \quad \Rightarrow \quad P_{DBE} = \frac{S}{9}$
Krok 6
Wynik
$P_{DBP} = \frac{3}{7} \cdot \frac{S}{9} = \frac{S}{21}$

Odpowiedź

$P_{DBP} = \frac{1}{21} P_{ABC}$ , co należało wykazać.

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Rozpoznać dwa trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem i podstawami na jednej prostej i zapisać stosunek ich pól jako stosunek podstaw.
Zapisać stosunek pól trójkątów o wspólnym kącie jako stosunek iloczynów boków obejmujących ten kąt.
Podnieść skalę podobieństwa do kwadratu, gdy przechodzisz od odcinków do pól.
Wyciągnąć skalę podobieństwa z prostych równoległych przy pomocy twierdzenia Talesa.
Wyrazić pola mniejszych trójkątów jako ułamki pola całego trójkąta oznaczonego jedną literą.
Połączyć stosunek pól z twierdzeniem sinusów albo cosinusów, gdy zadanie pyta o kąt albo długość.
Uzasadnić każdą proporcję w dowodzie jednym zdaniem o wspólnej wysokości, wspólnym kącie albo podobieństwie.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania poniżej pochodzą z arkuszy rozszerzonych i wszystkie stoją na stosunku pól, choć żadne nie mówi tego wprost: kwadrat na przeciwprostokątnej, prostokąt z wysokością na przekątną, trzy styczne okręgi. Więcej zadań z tego działu znajdziesz na stronie planimetrii, a cały arkusz z pierwszego przykładu tutaj: matura rozszerzona maj 2025. Jeśli dopiero układasz plan nauki do rozszerzenia, zacznij od wymagań matury rozszerzonej.

Więcej zadań z działu Planimetria Wylosuj zadanie z tego działu

Następny krok Zobacz wszystkie działy matury rozszerzonej

Najczęstsze pytania

Kiedy stosunek pól trójkątów równa się stosunkowi podstaw?

Wtedy, gdy oba trójkąty mają wspólny wierzchołek, a ich podstawy leżą na jednej prostej. Wysokość opuszczona z tego wierzchołka jest wtedy w obu trójkątach ta sama, skraca się w ilorazie pól i zostaje iloraz podstaw. Najprostszy przypadek to punkt na boku trójkąta łączony z przeciwległym wierzchołkiem.

Jak obliczyć stosunek pól trójkątów o wspólnym kącie?

Pole każdego z nich to połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Sinus wspólnego kąta się skraca, więc stosunek pól to stosunek iloczynów boków obejmujących ten kąt: $\frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}$ . Trzeba pomnożyć oba boki, nie jeden.

Czy stosunek pól trójkątów podobnych to skala czy kwadrat skali?

Kwadrat skali. Jeśli boki jednego trójkąta są $k$ razy dłuższe od boków drugiego, to jego pole jest $k^2$ razy większe. Dla skali $\frac{1}{3}$ stosunek pól wynosi $\frac{1}{9}$ . To samo dotyczy każdych figur podobnych, nie tylko trójkątów.

Jak środkowa dzieli pole trójkąta?

Na dwie równe części. Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, więc powstałe trójkąty mają wspólną wysokość z tego wierzchołka i równe podstawy. Trzy środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach.

Czy stosunek pól trójkątów jest na maturze podstawowej?

Same trzy wzory należą do podstawy: pole z podstawy i wysokości, pole z dwóch boków i sinusa oraz stosunek pól figur podobnych. Na poziomie rozszerzonym różni się konfiguracja: kilka trójkątów naraz, prosta pomocnicza, twierdzenie Talesa albo sinusów w środku rachunku i polecenie "wykaż, że" zamiast "oblicz".

Jak zapisać dowód ze stosunkiem pól, żeby był kompletny?

Oznacz pole całego trójkąta literą, wypisz każdą proporcję razem z jej powodem (wspólna wysokość, wspólny kąt, podobieństwo z równoległości) i doprowadź rachunek do postaci, o którą pyta polecenie. Dowód bez uzasadnienia proporcji jest niekompletny, nawet jeśli wynik się zgadza.

Stosunek pól trójkątów - wspólna wysokość, wspólny kąt i zadania z matury rozszerzonej

Trzy sposoby na stosunek pól bez liczenia pól

Wzory

Jak rozpoznać, który wzór wziąć

Przykład 1: Kąt z warunku na stosunek pól

Przykład 2: Pole trójkąta z punktu dzielącego bok

Przykład 3: Wspólny kąt w kwadracie

Przykład 4: Podobieństwo i wspólna wysokość razem

Przykład 5: Punkt przecięcia dwóch odcinków

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Poćwicz na zadaniach z bazy

Najczęstsze pytania

Kiedy stosunek pól trójkątów równa się stosunkowi podstaw?

Jak obliczyć stosunek pól trójkątów o wspólnym kącie?

Czy stosunek pól trójkątów podobnych to skala czy kwadrat skali?

Jak środkowa dzieli pole trójkąta?

Czy stosunek pól trójkątów jest na maturze podstawowej?

Jak zapisać dowód ze stosunkiem pól, żeby był kompletny?

Kategoria: Planimetria

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Stosunek pól i objętości figur podobnych - skala k, k² i k³ w zadaniach maturalnych

Przekątna kwadratu i prostokąta - wzór, okrąg wpisany i opisany, zadania maturalne

Trapez równoramienny na maturze - własności, kąty, wysokość i zadania