Stosunek pól i objętości figur podobnych - skala k, k² i k³ w zadaniach maturalnych

Jeśli figura jest podobna do innej w skali $k$, to każdy jej odcinek (bok, przekątna, wysokość, promień, obwód) jest $k$ razy dłuższy, każde pole jest $k^2$ razy większe, a każda objętość $k^3$ razy większa. W drugą stronę: ze stosunku pól odczytujesz skalę jako pierwiastek kwadratowy, a ze stosunku objętości jako pierwiastek trzeci. Na maturze ta jedna zależność obsługuje kilka typów zadań naraz: "stosunek pól trójkątów podobnych w skali $\frac{5}{2}$", "trapez o polu $52$ podobny do trapezu o polu $13$, oblicz obwód", "objętości ostrosłupów $64$ i $512$, podaj stosunek pól powierzchni" i "krawędź sześcianu zwiększono o $20\%$, o ile procent wzrosła objętość". Wszystkie rozwiążesz poniżej krok po kroku.

Skala podobieństwa - co dokładnie mnożysz przez k

Figura $F_2$ jest podobna do figury $F_1$ w skali $k$, gdy każdy odcinek $F_2$ jest $k$ razy dłuższy od odpowiadającego mu odcinka $F_1$, a kąty są takie same. Skala to więc liczba, przez którą mnożysz długości: boki, przekątne, wysokości, promienie okręgów wpisanych i opisanych, tworzące, krawędzie brył. Obwód też, bo obwód to suma długości.

Trzy rzeczy, które przy tej okazji warto mieć w głowie:

• •Kąty nie zmieniają się w ogóle. Kwadrat w skali $3$ to dalej kwadrat, trójkąt równoboczny w skali $\frac{1}{2}$ to dalej trójkąt równoboczny.
• •Kierunek skali ma znaczenie. "Trójkąt $ABC$ jest podobny do $A'B'C'$ w skali $\frac{5}{2}$" oznacza $|AB| = \frac{5}{2}|A'B'|$, czyli $ABC$ jest większy. W odwrotną stronę skala wynosi $\frac{2}{5}$.
• •Nie każde dwie figury tego samego typu są podobne. Dwa kwadraty, dwa koła, dwa trójkąty równoboczne, dwa sześciany i dwie kule zawsze są podobne. Dwa prostokąty albo dwa trapezy już nie muszą być; wtedy zadanie samo mówi, że są podobne. Cechy podobieństwa trójkątów (bok-bok-bok, kąt-kąt, bok-kąt-bok) i sposoby wyznaczania skali z boków rozbieramy osobno we wpisie o trójkątach podobnych, a proporcje odcinków na prostych równoległych w twierdzeniu Talesa.

Dlaczego pola rosną k² razy, a objętości k³ razy

Pole figury podobnej w skali $k$ jest $k^2$ razy większe, bo pole liczy się z iloczynu dwóch długości, a każda z nich urosła $k$ razy. Objętość jest $k^3$ razy większa, bo objętość to iloczyn trzech długości. Zobacz to na najprostszych figurach.

Prostokąt o bokach $a$ i $b$ ma pole $ab$. Po powiększeniu w skali $k$ boki mają $ka$ i $kb$:

Prostopadłościan o krawędziach $a$, $b$, $c$ ma objętość $abc$. Po powiększeniu:

To samo działa dla każdej figury i każdej bryły, bo każdą można z dowolną dokładnością wypełnić małymi prostokątami albo prostopadłościanami, a każdy z nich rośnie tak samo. Stąd tabela, którą warto znać na pamięć:

Najczęstszy błąd na maturze bierze się z ostatnich dwóch wierszy: pole powierzchni bryły to pole, więc rośnie $k^2$ razy, nie $k^3$. Sześcian o krawędzi $2$ razy dłuższej ma $4$ razy większe pole powierzchni i $8$ razy większą objętość.

Jak odczytać skalę ze stosunku pól i objętości

Ze stosunku pól skalę wyciągasz pierwiastkiem kwadratowym, ze stosunku objętości pierwiastkiem trzeciego stopnia:

Przykłady:

• •pola $9$ i $25$: $k = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}$, więc boki mają się jak $5 : 3$,
• •pola $25$ i $50$: $k = \sqrt{2}$, czyli skala nie musi być liczbą wymierną,
• •objętości $8$ i $27$: $k = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$, więc pola powierzchni mają się jak $k^2 = \frac{9}{4}$.

Ten ostatni ruch, z objętości przez skalę do pola, to najczęstszy schemat w zadaniach ze stereometrii: $V_2 / V_1 \rightarrow k \rightarrow k^2$. Nie ma drogi na skróty z $k^3$ prosto do $k^2$ bez policzenia $k$.

Zmiana o procent - krawędź większa o 20% to objętość większa o 72,8%

Powiększenie o $p\%$ to skala $k = 1 + \frac{p}{100}$, a pomniejszenie o $p\%$ to skala $k = 1 - \frac{p}{100}$. Potem liczysz $k^2$ albo $k^3$ i odejmujesz jedynkę, żeby wrócić do procentów.

Krawędź większa o $20\%$: $k = 1,2$.

Krawędź mniejsza o $10\%$: $k = 0,9$.

Zwróć uwagę, że procenty nie mnożą się prosto: $20\%$ więcej na krawędzi to nie $60\%$ więcej objętości, tylko $72,8\%$. Jeśli rachunek na procentach idzie ci opornie, powtórz zmianę procentową i procent z liczby przed dalszą częścią.

Więcej zadań tego typu w bazie

W bazie zadań z planimetrii i stereometrii znajdziesz jeszcze kilka zadań na ten sam schemat, m.in. dwa prostopadłościany podobne o objętościach $V$ i $27V$ (skala $3$, więc pole powierzchni rośnie $9$ razy), walec podobny w skali $2$ do walca o polu całkowitym $12\pi$ i objętości $4\pi$ (pole $48\pi$, objętość $32\pi$) oraz trójkąty prostokątne podobne o przyprostokątnych $5$ i $12$, z których drugi ma przeciwprostokątną $26$ (skala $2$, pole $4 \cdot 30 = 120$). Do tego ostatniego przydaje się twierdzenie Pitagorasa, żeby najpierw policzyć przeciwprostokątną $13$ mniejszego trójkąta.

Sprawdź się

Typowe pułapki

• •Stosunek pól brany za skalę. Pola $25$ i $50$ nie dają skali $2$, tylko $\sqrt{2}$. Zawsze pierwiastkuj.
• •Pole powierzchni bryły liczone jak objętość. Pole całkowite ostrosłupa czy walca to pole, więc $k^2$. Tylko objętość idzie z $k^3$.
• •Skok z $k^3$ do $k^2$ bez policzenia $k$. Ze stosunku objętości $8$ nie wynika stosunek pól $\frac{8}{?}$; trzeba przejść przez $k = 2$ i dopiero wtedy $k^2 = 4$.
• •Pomylony kierunek skali. "$A$ jest podobny do $B$ w skali $k$" znaczy, że długości $A$ są $k$ razy większe niż w $B$. Przy dwóch skalach naraz (zadanie 113) rozpisz każdą relację osobno.
• •Obwód dzielony przez $k^2$. Obwód to długość, skaluje się jak bok. Trapez o czterokrotnie mniejszym polu ma dwukrotnie mniejszy obwód.
• •Procenty dodawane zamiast mnożone. Krawędź większa o $20\%$ to objętość większa o $72,8\%$, nie o $60\%$. Licz $k^3$, potem odejmij jedynkę.
• •Prostokąty i trapezy "na oko" uznane za podobne. Podobieństwo prostokątów trzeba sprawdzić z proporcji boków. Kwadraty, koła, trójkąty równoboczne, sześciany i kule są podobne zawsze.

Checklista - co musisz umieć

1. 1.Wiedzieć, że skala $k$ mnoży długości, obwody, przekątne, wysokości i promienie.
2. 2.Mnożyć pola figur i pola powierzchni brył przez $k^2$, a objętości przez $k^3$.
3. 3.Odczytać skalę z pól pierwiastkiem kwadratowym, a z objętości pierwiastkiem trzeciego stopnia.
4. 4.Przejść ścieżką $V \rightarrow k \rightarrow P$ i odwrotnie $P \rightarrow k \rightarrow V$ bez pomijania środkowego kroku.
5. 5.Zamienić zmianę o $p\%$ na skalę $1 \pm \frac{p}{100}$ i wrócić do procentów przez odjęcie jedynki.
6. 6.Rozpoznać kierunek skali z treści ("$A$ podobny do $B$ w skali $k$") i przy dwóch skalach rozpisać każdą relację osobno.
7. 7.Odróżnić, które figury są podobne zawsze, a które tylko wtedy, gdy zadanie tak mówi.

Wzory na pola figur płaskich zebraliśmy w jednym miejscu we wpisie pole i obwód figur na maturze, a wzory na objętości i pola powierzchni brył we wpisie objętość i pole powierzchni brył. Więcej zadań z całego działu masz w bazie zadań CKE z planimetrii.

Najczęstsze pytania