Jak obliczyć procent z liczby, liczbę z procentu i zmianę procentową - wszystko, co musisz umieć

Procenty to najbardziej "życiowy" dział matematyki. Używasz ich przy zakupach, wynagrodzeniach, podatkach, kredytach, a na maturze z matematyki pojawiają się praktycznie w każdym arkuszu. Jeśli utkniesz na zadaniu z procentami, stracisz pewne punkty, które były do wzięcia "na start". Dobra wiadomość: wszystko sprowadza się do trzech typów obliczeń. Nauczysz się ich raz i będziesz używać do końca życia.

Co to jest procent

Procent to po prostu inna nazwa ułamka o mianowniku 100. Jeden procent ($1\%$) to $\frac{1}{100} = 0{,}01$. Kiedy mówisz "25 procent", masz na myśli $\frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

Kluczowy zamian:

Gdy widzisz w zadaniu procent, zamieniaj go na ułamek lub liczbę dziesiętną. To upraszcza obliczenia.

Trzy podstawowe pytania o procenty

Wszystkie zadania z procentami dadzą się zredukować do jednego z trzech pytań:

1. Ile to jest $p\%$ z liczby $a$? (procent z liczby)
2. Jaki procent liczby $a$ stanowi liczba $b$? (liczba z procentu, odwrotnie)
3. O ile procent zmieniła się liczba? (zmiana procentowa)

Nauczmy się każdego typu po kolei.

Typ 1: Procent z liczby

Wzór: Aby obliczyć $p\%$ z $a$, pomnóż:
$$\text{wynik} = a \cdot \frac{p}{100} = a \cdot 0{,}01 \cdot p$$

Przykład 1: 15% z 200

Zadanie. Ile to jest 15% z 200?

Rozwiązanie.
$$200 \cdot \frac{15}{100} = 200 \cdot 0{,}15 = 30$$

Odpowiedź: 15% z 200 to 30.

Przykład 2: Zadanie z treścią (obniżka)

Zadanie. Telefon kosztował 1200 zł. Został przeceniony o 20%. Ile kosztuje po przecenie?

Rozwiązanie.

Sposób 1 (dwuetapowy):

Sposób 2 (skrócony - zalecany): Po obniżce o 20% zostaje 80% ceny początkowej:
$$1200 \cdot 0{,}80 = 960$$

Odpowiedź: 960 zł.

Dlaczego sposób 2 jest lepszy? Jeden mnożnik, mniej rachunków, mniejsze ryzyko błędu. Na maturze zawsze używaj tego sposobu.

Przykład 3: Podwyżka

Zadanie. Pensja wzrosła o 8%. Była 3500 zł. Ile jest teraz?

Rozwiązanie. Po podwyżce o 8% dostajesz 108% pensji początkowej:
$$3500 \cdot 1{,}08 = 3780$$

Odpowiedź: 3780 zł.

Typ 2: Liczba z procentu (odwrotny)

Pytanie: Jaki procent liczby $a$ stanowi liczba $b$?

Wzór:
$$p = \frac{b}{a} \cdot 100\%$$

Przykład 4: Jaki procent stanowi

Zadanie. W klasie jest 30 uczniów, w tym 12 dziewcząt. Jaki procent klasy stanowią dziewczęta?

Rozwiązanie.
$$p = \frac{12}{30} \cdot 100\% = 0{,}4 \cdot 100\% = 40\%$$

Odpowiedź: Dziewczęta stanowią 40% klasy.

Przykład 5: Wyznaczanie całości z części

Zadanie. Uczeń zdobył 72 punkty, co stanowiło 80% maksymalnej liczby punktów. Ile punktów można było maksymalnie zdobyć?

Rozwiązanie. Mamy: $80\% \cdot x = 72$, gdzie $x$ to maksimum.
$$0{,}80 \cdot x = 72 \implies x = \frac{72}{0{,}80} = 90$$

Odpowiedź: Maksymalnie można było zdobyć 90 punktów.

Szybki trik: "przez ile razy"

Jeśli widzisz "X to p% z Y" i szukasz Y, to:
$$Y = \frac{X}{p\%} = \frac{X \cdot 100}{p}$$

Dla 80% to $\div 0{,}80$ albo $\cdot \frac{5}{4}$. Dla 25% to $\cdot 4$. Dla 10% to $\cdot 10$. Poznaj kilka typowych przeliczeń i będziesz liczyć w pamięci.

Typ 3: Zmiana procentowa (o ile procent wzrosło lub zmalało)

Wzór:
$$\text{zmiana} = \frac{\text{nowa wartość} - \text{stara wartość}}{\text{stara wartość}} \cdot 100\%$$

Jeśli wynik dodatni = wzrost. Ujemny = spadek.

Przykład 6: O ile procent wzrosło

Zadanie. Cena biletu wzrosła z 40 zł na 50 zł. O ile procent wzrosła cena?

Rozwiązanie.
$$\frac{50 - 40}{40} \cdot 100\% = \frac{10}{40} \cdot 100\% = 25\%$$

Odpowiedź: Cena wzrosła o 25%.

Przykład 7: O ile procent zmalało

Zadanie. Towar przeceniony z 80 zł na 60 zł. O ile procent zmalała cena?

Rozwiązanie.
$$\frac{60 - 80}{80} \cdot 100\% = \frac{-20}{80} \cdot 100\% = -25\%$$

Odpowiedź: Cena spadła o 25%.

Kluczowa zasada: WZGLĘDEM CZEGO

Zmiana procentowa zawsze odnosi się do wartości początkowej. Spadek o 25% z 80 zł daje 60 zł. Ale wzrost o 25% z 60 zł daje 75 zł, nie 80! Operacje z procentami nie są symetryczne.

Przykład 8: Niesymetria procentów

Zadanie. Cena najpierw wzrosła o 20%, potem zmalała o 20%. Jak zmieniła się w porównaniu do ceny początkowej?

Rozwiązanie. Niech cena początkowa to 100 zł.

Odpowiedź: Cena zmalała o 4% względem ceny początkowej.

Wniosek do zapamiętania: Wzrost i spadek o ten sam procent NIE znoszą się. Zawsze kończymy niżej od startu, bo drugi ruch jest liczony od wyższej kwoty.

Punkty procentowe vs procenty

To bardzo ważne rozróżnienie, które co roku łapie maturzystów.

Przykład: Bezrobocie wzrosło z 5% do 7%.

Zdanie "bezrobocie wzrosło o 2 punkty procentowe" jest dokładne. Zdanie "bezrobocie wzrosło o 40%" też jest prawdziwe, ale oznacza, że wzrosło o 40% swojej poprzedniej wartości. Nie myl tych dwóch!

Procent składany (krótki wstęp)

Kiedy kapitał procentuje co okres i odsetki są doliczane do kapitału na kolejny okres, mówimy o procencie składanym. Wzór po $n$ okresach o stopie $p\%$ w okresie:

$$K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$$

Szczegółowo o tym jest osobny post o procencie składanym - warto zajrzeć przed maturą.

Typowe pułapki

1. Mylenie procentu z punktem procentowym - klasyczne zadanie z maturą, które kosztuje pełen punkt.
2. Mnożenie przez $p$ zamiast przez $\frac{p}{100}$ - jeśli piszesz "20% z 50", nie liczysz $20 \cdot 50 = 1000$, tylko $0{,}2 \cdot 50 = 10$.
3. Odejmowanie zamiast dzielenia - pytają "o ile procent wzrosło", a Ty liczysz różnicę bezwzględną.
4. Niesymetria - po wzroście o 50% musisz zmaleć o $\frac{1}{3}$, nie o 50%, żeby wrócić do początku.
5. Zamiana "przeceniono o 30%" z "przeceniono do 30%" - pierwsze znaczy "obniżono o 30% poprzedniej ceny", drugie znaczy "nowa cena to 30% poprzedniej". Zupełnie co innego.

Zadania z VAT

VAT to podatek doliczany do ceny netto. Standardowa stawka to 23%.

Przykład: Towar netto 200 zł. Cena brutto? $200 \cdot 1{,}23 = 246$ zł.

Nie pisz nigdy "VAT 23%" dodawane do 100% daje 130%. To klasyczny błąd.

Co musisz umieć na maturę

Powiązane tematy

Ćwicz na prawdziwych zadaniach: zadania CKE z procentów czekają na Ciebie.