Pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny ABC jest równe 36π. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta ABC jest równe
Odpowiedzi do wyboru
- A.27√(3)
- B.54√(3)
- C.108√(3)
- D.216√(3)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2026-26.png]
Oznaczmy bok trójkąta równobocznego jako a.
Krok 2: Znalezienie promienia okręgu wpisanego
Z pola koła wpisanego: πr² = 36π r² = 36 r = 6
Krok 3: Związek między promieniem okręgu wpisanego a bokiem trójkąta
Dla trójkąta równobocznego promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem: r = a√(3)/6
gdzie a to długość boku trójkąta.
Krok 4: Obliczenie długości boku
Podstawiamy r = 6: 6 = a√(3)/6 36 = a√(3) a = 36/√(3) = 36√(3)/3 = 12√(3)
Krok 5: Obliczenie pola trójkąta równobocznego
Pole trójkąta równobocznego o boku a: P = a²√(3)/4
Podstawiamy a = 12√(3): P = (12√(3))² · √(3)/4 P = 144 · 3 · √(3)/4 P = 432√(3)/4 P = 108√(3)
Odpowiedź: C
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.