Funkcja wykładnicza f jest określona wzorem f(x)=(1/3)^x+2 dla każdej liczby rzeczywistej x. a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f przyjmuje dla argumentu (-2) wartość: A. 7/3 B. 19/9 C. 5 D. 11 b) Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja g(x)=f(x-3) ma miejsce zerowe. P F Funkcja g(x)=f(x)-3 ma miejsce zerowe. P F
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) D b) FP
## Zbiór wartości funkcji
Funkcja dana jest wzorem: f(x) = (1/3)^x + 2
Funkcja bazowa g(x) = (1/3)^x jest malejąca (podstawa 1/3 < 1) i przyjmuje wartości dodatnie: g(x) > 0 dla każdego x ∈ R.
Zatem f(x) = g(x) + 2 > 2 dla każdego x. Zbiór wartości funkcji f to (2, +∞).
a) Oblicza się f(-2):
f(-2) = (1/3)^(-2) + 2 = 3² + 2 = 9 + 2 = 11
Odpowiedź: D
b) Zdanie 1: Funkcja g(x) = f(x - 3) ma miejsce zerowe.
Miejsce zerowe oznacza g(x) = 0, czyli f(x - 3) = 0.
Oznaczając t = x - 3, potrzebujemy f(t) = 0.
Ale wiemy, że f(t) > 2 dla każdego t ∈ R. Funkcja f nigdy nie przyjmuje wartości 0.
Zatem funkcja g(x) = f(x - 3) nie ma miejsca zerowego.
Zdanie 1: FAŁSZ (F)
Zdanie 2: Funkcja g(x) = f(x) - 3 ma miejsce zerowe.
Miejsce zerowe oznacza g(x) = 0, czyli f(x) - 3 = 0, czyli f(x) = 3.
Rozwiązuje się: (1/3)^x + 2 = 3 (1/3)^x = 1 (1/3)^x = (1/3)⁰ x = 0
Sprawdzenie: f(0) = 1 + 2 = 3, więc g(0) = 3 - 3 = 0. Miejsce zerowe istnieje.
Zdanie 2: PRAWDA (P)
Odpowiedź: FP
Funkcja wykładnicza: Własności funkcji wykładniczej, porównywanie potęg o tej samej podstawie i modele wzrostu oraz zaniku.