Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, w którym a₄=√(2) oraz a₈=5√(2). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy
Odpowiedzi do wyboru
- A.2
- B.2√(2)
- C.3√(2)
- D.√(2)/2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Wyznacza się różnicę ciągu arytmetycznego, a następnie szósty wyraz.
Krok 1: Zapisuje się wzór ogólny ciągu arytmetycznego
Dla ciągu arytmetycznego: a_n = a₁ + (n-1)r
gdzie r to różnica ciągu.
Krok 2: Wykorzystuje się dane a₄ = √(2) i a₈ = 5√(2)
Wyraża się oba wyrazy przez a₁ i r: a₄ = a₁ + 3r = √(2) a₈ = a₁ + 7r = 5√(2)
Krok 3: Wyznacza się różnicę r
Odejmuje się pierwsze równanie od drugiego: a₈ - a₄ = (a₁ + 7r) - (a₁ + 3r) = 4r
5√(2) - √(2) = 4r
4√(2) = 4r
r = √(2)
Krok 4: Wyznacza się a₆
Korzysta się z własności ciągu arytmetycznego. Ponieważ a₆ jest dokładnie w połowie między a₄ a a₈:
a₆ = a₄ + 2r = √(2) + 2 · √(2) = √(2) + 2√(2) = 3√(2)
Alternatywnie: a₆ = a₄ + (6-4)r = √(2) + 2√(2) = 3√(2)
Odpowiedź: C
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.