Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie S. Kąt ABD ma miarę 50°, a kąt BDC ma miarę 60° (zobacz rysunek). a) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta BSC jest równa A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° b) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jeżeli promień okręgu opisanego na czworokącie ABCD ma długość r, to wówczas długość łuku BC jest równa A. 55/360 · 2πr B. 60/360 · 2πr C. 110/360 · 2πr D. 120/360 · 2πr
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a) B b) D
## Dane
Czworokąt ABCD wpisany w okrąg. Przekątne przecinają się w punkcie S. ∠ABD = 50°, ∠BDC = 60°.
## a) Miara kąta BSC
Krok 1: Korzysta się z własności kątów wpisanych.
Kąt ∠ABD = 50° jest kątem wpisanym opartym na łuku AD. Kąt ∠ACD jest również oparty na łuku AD, więc: ∠ACD = ∠ABD = 50°
Krok 2: Kąt ∠BDC = 60° jest kątem wpisanym opartym na łuku BC. Kąt ∠BAC jest również oparty na łuku BC, więc: ∠BAC = ∠BDC = 60°
Krok 3: W trójkącie ABS (gdzie S jest przecięciem przekątnych):
Kąt ∠ABS = ∠ABD = 50° i ∠BAS = ∠BAC = 60°.
∠ASB = 180° - 50° - 60° = 70°
Kąt ∠BSC i ∠ASB są kątami przyległymi (tworzą kąt półpełny na prostej AC): ∠BSC = 180° - ∠ASB = 180° - 70° = 110°
Odpowiedź: B
## b) Długość łuku BC
Krok 1: Kąt wpisany ∠BDC = 60° jest oparty na łuku BC.
Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od kąta wpisanego: ∠_(środkowy) = 2 · 60° = 120°
Krok 2: Długość łuku BC stanowi część obwodu okręgu proporcjonalną do kąta środkowego: l_(BC) = 120°/360° · 2πr = 120/360 · 2πr
Odpowiedź: D
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.