Kalkulator trójkąta: boki, kąty, pole
Trójkąt wyznaczają trzy dane: trzy boki, dwa boki z kątem leżącym między nimi albo bok z dwoma kątami do niego przyległymi. Brakujące elementy liczy się twierdzeniem cosinusów albo sinusów, a pole wzorem Herona lub przez połowę iloczynu dwóch boków i sinusa kąta. Kalkulator wyżej robi to naraz i pokazuje każde podstawienie.
Boki: a = 3, b = 4, c = 5
Kąty: α ≈ 36,87°, β ≈ 53,13°, γ = 90°
Obwód: L = 12
Pole: P = 6
Trójkąt różnoboczny i prostokątny.
- Twierdzenie cosinusów dla kąta αcosα= (b² + c² - a²)/(2bc) = (4² + 5² - 3²)/(2 · 4 · 5) = 4/5, α ≈ 36,87°
- Twierdzenie cosinusów dla kąta βcosβ= (a² + c² - b²)/(2ac) = 3/5, β ≈ 53,13°
- Twierdzenie cosinusów dla kąta γcosγ= (a² + b² - c²)/(2ab) = 0, γ= 90°
- Wzór Heronap = (a + b + c)/2 = 6, P = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √(36) = 6
- ObwódL = a + b + c = 12
Jak to policzyć
- Sprawdź, które trzy dane maszTrójkąt jest wyznaczony jednoznacznie przez trzy boki, przez dwa boki z kątem leżącym między nimi albo przez jeden bok i dwa kąty do niego przyległe. Dwa boki i kąt leżący naprzeciw jednego z nich to układ inny: bywa, że pasują do niego dwa różne trójkąty, więc na poziomie podstawowym się go nie stosuje i kalkulator też go nie ma.
- Sprawdź warunek istnieniaPrzy trzech bokach musi zachodzić nierówność trójkąta, czyli najdłuższy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych. Przy dwóch kątach ich suma musi być mniejsza od kąta półpełnego, bo na trzeci kąt również musi zostać miejsce. Bez tego sprawdzenia dalszy rachunek daje liczby, którym nie odpowiada żaden trójkąt.
- Policz brakujące boki i kątyTwierdzenie cosinusów wiąże trzy boki z jednym kątem, więc z trzech boków wyznacza każdy kąt, a z dwóch boków i kąta między nimi trzeci bok. Twierdzenie sinusów wiąże bok z kątem leżącym naprzeciw niego i przydaje się wtedy, gdy znasz już dwa kąty. Trzeci kąt zawsze dopełnia sumę miar do kąta półpełnego.
- Wyznacz pole i sklasyfikuj trójkątMając trzy boki, użyj wzoru Herona z połową obwodu. Mając dwa boki i kąt między nimi, policz połowę ich iloczynu pomnożoną przez sinus tego kąta. Na koniec nazwij trójkąt: po bokach jest równoboczny, równoramienny albo różnoboczny, a po kątach ostrokątny, prostokątny albo rozwartokątny.
Przykład z matury
Trzy twierdzenia, które wystarczają na maturze
Cała rachunkowa część planimetrii trójkąta stoi na trzech twierdzeniach. Twierdzenie Pitagorasa działa wyłącznie w trójkącie prostokątnym i jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów: dla kąta prostego cosinus wynosi zero, więc człon z iloczynem boków znika. Twierdzenie cosinusów wiąże trzy boki z jednym kątem i dlatego rozwiązuje dwa najczęstsze układy danych: trzy boki oraz dwa boki z kątem między nimi.
Twierdzenie sinusów mówi, że stosunek boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego jest ten sam dla wszystkich trzech par, a wspólną wartością jest średnica okręgu opisanego. To ostatnie zdanie bywa całym rozwiązaniem zadania o promieniu okręgu opisanego, bo pozwala pominąć rysunek. W zadaniach maturalnych rachunek najczęściej zaczyna się od cosinusów, a kończy sinusami.
Jak czytać klasyfikację trójkąta
Nazwa trójkąta niesie dwie niezależne informacje i obie bywają punktowane. Podział ze względu na boki daje trójkąt równoboczny, równoramienny albo różnoboczny, a podział ze względu na kąty ostrokątny, prostokątny albo rozwartokątny. Te podziały nie wykluczają się nawzajem: trójkąt równoramienny bywa i ostrokątny, i prostokątny, i rozwartokątny, a równoboczny jest zawsze ostrokątny, bo każdy jego kąt ma 60 stopni.
Rodzaj trójkąta rozstrzyga się bez liczenia kątów. Wystarczy porównać kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych: mniejszy oznacza trójkąt ostrokątny, równy prostokątny, a większy rozwartokątny. Ten test wynika wprost z twierdzenia cosinusów i jest szybszy od liczenia miar, bo nie wymaga funkcji odwrotnych, których na kalkulatorze prostym i tak nie ma.
Trójkąty o kątach 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90
Dwa trójkąty prostokątne wracają w arkuszach tak często, że ich zależności warto znać z pamięci. W trójkącie o kątach 30, 60 i 90 stopni krótsza przyprostokątna to połowa przeciwprostokątnej, a dłuższa to ta połowa pomnożona przez pierwiastek z trzech. W trójkącie o kątach 45, 45 i 90 stopni obie przyprostokątne są równe, a przeciwprostokątna jest od nich pierwiastek z dwóch razy dłuższa.
Te same liczby wychodzą z połowy trójkąta równobocznego i z przekątnej kwadratu, więc nie trzeba ich zapamiętywać osobno. Kalkulator liczy oba przypadki dokładnie, bez przybliżeń dziesiętnych, dzięki czemu widać, że wynik ma postać z pierwiastkiem. Pełne wyprowadzenie razem z zadaniami znajdziesz we wpisie o zależnościach boków w trójkątach o kątach 30, 60, 90 i 45, 45, 90.
Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi
Pole trójkąta o bokach 5, 6 i 7 to sześć pierwiastków z sześciu, czyli w przybliżeniu 14,7. Na arkuszu punktowana jest postać dokładna, dlatego kalkulator podaje obie i wyraźnie oddziela znak równości od znaku przybliżenia.
Pułapki maturalne
Twierdzenie sinusów gubi kąt rozwarty
Sinus kąta ostrego i sinus jego dopełnienia do kąta półpełnego mają tę samą wartość, więc z samego sinusa nie wynika, czy kąt jest ostry, czy rozwarty. Kalkulator liczy brakujące kąty twierdzeniem cosinusów właśnie dlatego: cosinus kąta rozwartego jest ujemny, więc rozstrzyga rodzaj kąta jednoznacznie. Licząc ręcznie, sprawdź, czy kąt naprzeciw najdłuższego boku nie wyszedł podejrzanie mały.
Wysokość to nie jest ramię trójkąta
We wzorze na pole z podstawą i wysokością wysokość jest odcinkiem prostopadłym do podstawy, a nie bokiem trójkąta. W trójkącie rozwartokątnym spodek wysokości leży poza podstawą, więc rysunek bywa mylący. Podstawienie ramienia zamiast wysokości to najczęstszy błąd w tym dziale i nie daje ani jednego punktu, mimo że dalszy rachunek jest poprawny.
Zaokrąglony wynik pośredni psuje wynik końcowy
Jeżeli kąt wyszedł niewymierny i zapiszesz go z dokładnością do dwóch miejsc, a potem podstawisz to przybliżenie do wzoru na pole, wynik potrafi się rozjechać na drugim miejscu po przecinku. Rachunek prowadzi się na wartościach dokładnych do samego końca, a zaokrągla dopiero odpowiedź, i to tylko wtedy, gdy polecenie o przybliżenie prosi.
Najczęściej zadawane pytania
Kwadrat szukanego boku to suma kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszona o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi. Dla boków 4 i 6 oraz kąta 60 stopni wychodzi 16 plus 36 minus 24, czyli 28, więc bok równa się dwa pierwiastki z siedmiu.
Twierdzenie sinusów stosuje się wtedy, gdy w zadaniu występuje para: bok i kąt leżący naprzeciw niego. Twierdzenie cosinusów wtedy, gdy dane są trzy boki albo dwa boki i kąt między nimi. W praktyce cosinusy zaczynają rachunek, a sinusy go domykają.
Suma dwóch krótszych odcinków musi być większa od najdłuższego. Dla długości 1, 2 i 3 suma dwóch krótszych jest równa trzeciemu, więc powstaje odcinek, a nie trójkąt. Warunek wystarczy sprawdzić dla najdłuższego boku, bo dla pozostałych zachodzi wtedy sam z siebie.
Wzorem Herona: policz połowę obwodu, odejmij od niej po kolei każdy bok, pomnóż cztery otrzymane liczby i wyciągnij pierwiastek kwadratowy. Dla boków 3, 4 i 5 połowa obwodu to 6, iloczyn czterech czynników to 36, a pole równa się 6.
Nie. Na egzaminie masz tablice ze wzorami i kalkulator prosty, który nie liczy funkcji trygonometrycznych. To narzędzie służy do sprawdzenia własnego rachunku po rozwiązaniu zadania i do zobaczenia pełnego podstawienia, a nie do liczenia w trakcie egzaminu.