Kalkulator trygonometryczny: sin, cos, tg, ctg
Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni trzeba znać na pamięć, bo do nich sprowadza się każdy inny kąt tablicowy. Wzór redukcyjny sprowadza kąt do pierwszej ćwiartki, a znak bierze się z ćwiartki, w której kąt leży. Kalkulator wyżej podaje sinus, cosinus, tangens i cotangens naraz, w postaci dokładnej i dziesiętnej.
Dowolna liczba, także większa od 360 albo ujemna.
Kąt 30° leży w I ćwiartce, a kąt odniesienia to 30°.
sin 30° = 1/2 ≈ 0,5
cos 30° = √3/2 ≈ 0,866
tg 30° = √3/3 ≈ 0,5774
ctg 30° = √3 ≈ 1,7321
Sprawdzenie jedynką trygonometryczną: sin² 30° + cos² 30° = 1/4 + 3/4 = 1
- Tangens jako iloraztg 30° = sin 30°cos 30° = 1/2/(√(3)/2) = √(3)/3
- Cotangens jako iloraz odwrotnyctg 30° = cos 30°sin 30° = √(3)/2/(1/2) = √(3)
Jak to policzyć
- Sprowadź kąt do przedziału od 0 do 360 stopniFunkcje trygonometryczne są okresowe, więc kąt 750 stopni ma dokładnie te same wartości co kąt 30 stopni, bo różnią się o dwa pełne obroty. Odejmij albo dodaj tyle razy 360 stopni, ile trzeba, żeby zostać w jednym obrocie. Dopiero na takim kącie mają sens dalsze wzory, a rysunek w układzie współrzędnych przestaje być zgadywanką.
- Ustal ćwiartkę i kąt odniesieniaKąt odniesienia to kąt ostry między ramieniem końcowym a osią poziomą. Dla drugiej ćwiartki jest to 180 stopni minus kąt, dla trzeciej kąt minus 180 stopni, dla czwartej 360 stopni minus kąt. Ćwiartka nie zmienia wartości bezwzględnej wyniku, rozstrzyga wyłącznie o jego znaku, i to jest cała treść wzorów redukcyjnych.
- Odczytaj wartość dla kąta odniesieniaJeśli kąt odniesienia to 0, 30, 45, 60 albo 90 stopni, wartość jest dokładna i stoi w tablicach maturalnych. Sinus rośnie od zera do jedynki, cosinus maleje od jedynki do zera, a ich wartości dla 30 i 60 stopni są zamienione miejscami. Kąt spoza tej listy da wyłącznie przybliżenie dziesiętne.
- Dopisz znak i policz tangens z ilorazuZnak weź z ćwiartki: w pierwszej wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, w czwartej cosinus. Tangens to iloraz sinusa przez cosinus, a cotangens iloraz odwrotny, więc nie trzeba pamiętać ich osobno. Na koniec sprawdź wynik jedynką trygonometryczną.
Przykład z matury
Cztery funkcje i dwie definicje tego samego
W trójkącie prostokątnym sinus kąta ostrego to iloraz przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta przez przeciwprostokątną, cosinus to iloraz przyprostokątnej przyległej przez przeciwprostokątną, a tangens iloraz obu przyprostokątnych. Ta definicja obsługuje wyłącznie kąty ostre, bo w trójkącie prostokątnym innych po prostu nie ma.
Druga definicja, przez współrzędne punktu na okręgu o promieniu jeden, obejmuje każdy kąt: sinus to druga współrzędna tego punktu, cosinus pierwsza. Obie definicje dają dla kątów ostrych identyczne liczby, więc to nie są dwa różne sinusy. Arkusz maturalny korzysta z pierwszej w zadaniach o trójkątach i z drugiej wszędzie tam, gdzie pojawia się kąt rozwarty albo ćwiartka układu współrzędnych. Zadania o kącie rozwartym rozpoznasz po zwrocie o kącie zaznaczonym w kartezjańskim układzie współrzędnych.
| Kąt | sin | cos | tg | ctg |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | nie istnieje |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
| 90° | 1 | 0 | nie istnieje | 0 |
Wzory redukcyjne bez uczenia się całej tabeli
Wzorów redukcyjnych jest kilkanaście, ale zapamiętać trzeba dwie rzeczy zamiast całej listy. Po pierwsze, przy kątach zapisanych jako 180 stopni plus lub minus kąt oraz 360 stopni minus kąt nazwa funkcji zostaje bez zmian, a przy kątach zapisanych przez 90 albo 270 stopni zamienia się na kofunkcję, czyli sinus na cosinus i tangens na cotangens. Po drugie, znak bierze się z ćwiartki, w której leży kąt wyjściowy.
Stąd bierze się cały rachunek dla kąta 150 stopni: to jest 180 stopni minus 30 stopni, więc nazwa funkcji zostaje, kąt leży w drugiej ćwiartce, gdzie dodatni jest tylko sinus, i dlatego cosinus tego kąta jest liczbą przeciwną do cosinusa kąta 30 stopni. Kalkulator wyżej rozpisuje to podstawienie w krokach, a komplet wzorów razem z tabelą znaków znajdziesz na stronie o wzorach redukcyjnych.
Jedynka trygonometryczna w zadaniach CKE
Najczęstsze zadanie z tego działu podaje jedną wartość, na przykład cosinus kąta ostrego równy 24 przez 25, i pyta o drugą albo o wartość wyrażenia zbudowanego z obu. Rozwiązanie zaczyna się zawsze od jedynki trygonometrycznej: suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa jeden, więc kwadrat brakującej wartości wychodzi przez odjęcie. Zostaje pierwiastek, a wraz z nim decyzja o znaku.
Tu leży punkt, który przepada najczęściej. Jeśli treść mówi o kącie ostrym, obie funkcje są dodatnie i pierwiastek bierzemy ze znakiem plus. Jeśli treść mówi o kącie rozwartym, sinus zostaje dodatni, ale cosinus i tangens są ujemne, więc znak trzeba zmienić ręcznie. Rozpisane przykłady z arkuszy z ostatnich lat znajdziesz we wpisie o trygonometrii na maturze, a pełną tablicę wartości na stronie tabeli trygonometrycznej.
Odpowiedź z pierwiastkiem, na przykład cosinus kąta 150 stopni równy minus pierwiastek z trzech przez dwa, jest na arkuszu punktowana, a jej przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator podaje obie postacie po to, żeby było widać, którą przepisać do zeszytu.
Pułapki maturalne
Znak bierze się z ćwiartki, a nie z tablic
Tablice maturalne podają wartości wyłącznie dla kątów od 0 do 90 stopni, czyli same liczby nieujemne. Dla kąta rozwartego albo kąta z trzeciej ćwiartki trzeba dopisać znak samodzielnie, wprost z rysunku albo z zasady ćwiartek. Przepisanie liczby z tablic bez zmiany znaku to najczęstszy błąd w tym dziale i kosztuje cały punkt, mimo że wartość bezwzględna wyniku jest poprawna.
Tangens 90 stopni i cotangens 0 stopni nie istnieją
Tangens to iloraz sinusa przez cosinus, a cosinus kąta 90 stopni jest równy zeru, więc dzielenie nie ma sensu. Kalkulator programowy, na komputerze albo w przeglądarce, pokazuje tu zwykle ogromną liczbę rzędu 10 do szesnastej, bo liczy na przybliżeniu liczby pi, i uczy w ten sposób błędu. Poprawna odpowiedź brzmi: wartość nie istnieje. To samo dotyczy cotangensa dla kątów 0 i 180 stopni.
Sinus nie wyznacza kąta jednoznacznie
Z równości mówiącej, że sinus kąta jest równy jednej drugiej, nie wynika, że kąt ma 30 stopni. W przedziale od 0 do 180 stopni pasuje także kąt 150 stopni, bo sinus przyjmuje te same wartości w pierwszej i drugiej ćwiartce. Jeśli zadanie nie mówi wprost, że kąt jest ostry, trzeba podać oba rozwiązania. Cosinus takiej dwuznaczności nie ma, bo maleje na całym tym przedziale.
Najczęściej zadawane pytania
Sinus kąta 30 stopni jest równy jednej drugiej, czyli 0,5. To jedna z pięciu wartości, które trzeba znać na pamięć. Cosinus tego samego kąta to pierwiastek z trzech przez dwa, w przybliżeniu 0,866.
Kąt 150 stopni zapisujemy jako 180 stopni minus 30 stopni. Wzór redukcyjny zostawia nazwę funkcji bez zmian, a ponieważ kąt leży w drugiej ćwiartce, cosinus jest ujemny. Wynik to liczba przeciwna do cosinusa kąta 30 stopni, czyli minus pierwiastek z trzech przez dwa.
Tangens jest zdefiniowany jako iloraz sinusa przez cosinus, a cosinus kąta 90 stopni jest równy zeru. Dzielenie przez zero nie jest wykonalne, więc tangens tego kąta nie ma wartości. Tak samo cotangens nie istnieje dla kątów 0 i 180 stopni, bo tam zeruje się sinus.
Kąt pełny to 360 stopni albo dwa pi radianów, więc 180 stopni odpowiada pi radianom. Żeby przejść ze stopni na radiany, mnożymy przez pi i dzielimy przez 180. Kąt 30 stopni to pi przez sześć, a 45 stopni to pi przez cztery. Kalkulator wyżej przyjmuje oba zapisy.
Na egzaminie maturalnym z matematyki dozwolony jest wyłącznie kalkulator prosty, bez funkcji trygonometrycznych. Wartości odczytuje się z tablic dołączonych do arkusza, a wynik zapisuje w postaci dokładnej. Dlatego to narzędzie pokazuje każde podstawienie: służy do sprawdzenia własnego rachunku, a nie do zastąpienia go.