Planimetria na maturze - trójkąty, czworokąty i okrąg z wzorami i zadaniami

Planimetria na maturze - zakres i znaczenie

Planimetria (geometria płaska) to jeden z fundamentalnych działów matematyki maturalnej. Zadania z planimetrii pojawiają się na każdym egzaminie - zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym. Dobra wiadomość: wzory są skończone i można je opanować!

---

Trójkąty - wzory i właściwości

Pole trójkąta - trzy podstawowe wzory

Ze wzoru podstawowego (podstawa i wysokość):
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$ Ze wzoru sinusowego (dwa boki i kąt między nimi):
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$ Ze wzoru Herona (gdy znamy trzy boki):
$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$, $b$ i przeciwprostokątnej $c$:
$$a^2 + b^2 = c^2$$

Często używana odwrotność: Jeśli boki trójkąta spełniają $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie cosinusów (uogólnienie Pitagorasa)

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

Przydatne, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi i szukamy trzeciego boku.

Twierdzenie sinusów

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Specjalne trójkąty

Trójkąt równoboczny o boku $a$:
$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Trójkąt 30-60-90 (połowa trójkąta równobocznego):
Jeśli przeciwprostokątna = $2a$, to krótka przyprostokątna = $a$, długa = $a\sqrt{3}$.

Trójkąt 45-45-90 (połowa kwadratu):
Jeśli przyprostokątna = $a$, to przeciwprostokątna = $a\sqrt{2}$.

---

Czworokąty - pola i właściwości

Kwadrat o boku $a$

$$P = a^2, \quad Ob = 4a, \quad d = a\sqrt{2}$$

Prostokąt o bokach $a$ i $b$

$$P = ab, \quad Ob = 2(a+b), \quad d = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Romb o boku $a$ i przekątnych $d_1$, $d_2$

$$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a \cdot h, \quad Ob = 4a$$

Przekątne rombu są prostopadle i wzajemnie się dzielą na połowy.

Trapez o podstawach $a$, $b$ i wysokości $h$

$$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$

Równoległobok o bokach $a$, $b$ i kącie $\alpha$

$$P = a \cdot b \cdot \sin \alpha = a \cdot h$$

---

Okrąg i koło

Okrąg to linia - zbiór punktów w odległości $r$ od środka.
Koło to wnętrze - zbiór punktów w odległości nie większej niż $r$ od środka.

Pole koła: $P = \pi r^2$

Obwód okręgu (długość): $l = 2\pi r$

Wycinek koła o kącie środkowym $\alpha$ (w stopniach):
$$P_{wycinka} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$$
$$l_{łuku} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$

Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie

Promień okręgu wpisanego ($r$) w trójkąt o bokach $a$, $b$, $c$:
$$r = \frac{P}{s}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$

gdzie $P$ to pole trójkąta.

Promień okręgu opisanego ($R$) na trójkącie:
$$R = \frac{abc}{4P}$$

---

Geometria układu współrzędnych - kluczowe wzory

Na maturze planimetria łączy się często z geometrią analityczną. Podstawowe wzory:

Odległość między punktami $A(x_1, y_1)$ i $B(x_2, y_2)$:
$$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$ Środek odcinka $AB$:
$$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

---

Zadania maturalne z planimetrii z rozwiązaniami

Zadanie 1 - Pole trójkąta ze wzoru sinusowego

W trójkącie $ABC$ bok $a = 6$ cm, bok $b = 8$ cm, kąt $C = 60°$. Oblicz pole trójkąta.

Rozwiązanie:
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

Zadanie 2 - Trapez i okrąg

Trapez prostokątny ma podstawy $a = 10$ cm i $b = 6$ cm. Ramię prostopadłe do podstaw ma długość $h = 8$ cm. Oblicz pole trapeza i długość ramienia ukośnego.

Rozwiązanie:
Pole: $P = \frac{(10+6) \cdot 8}{2} = 64 \text{ cm}^2$

Różnica podstaw: $10 - 6 = 4$ cm. Ramię ukośne to przeciwprostokątna w trójkącie o przyprostokątnych 4 i 8:
$$l = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ cm}$$

Zadanie 3 - Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a = 3$ cm i $b = 4$ cm. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Rozwiązanie:
Pole trójkąta: $P = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$
Przeciwprostokątna: $c = \sqrt{9+16} = 5$ cm
Półobwód: $s = \frac{3+4+5}{2} = 6$
$$r = \frac{P}{s} = \frac{6}{6} = 1 \text{ cm}$$

Ciekawa zależność: dla trójkąta prostokątnego $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3+4-5}{2} = 1$ cm - zgadza się!

---

Jak ćwiczyć planimetrię przed maturą

Planimetria pojawia się na maturze jako zadania rysunkowe - zawsze RYSUJ. Nawet pobieżny szkic pomaga zobaczyć, który wzór zastosować i czy warto szukać pomocniczego trójkąta prostokątnego.

Na SprawnaMatura.pl znajdziesz ponad 200 zadań z planimetrii z różnych arkuszy CKE. Polecam też artykuł o trygonometrii na maturze, bo te działy mocno się przenikają.

---

Podsumowanie najważniejszych wzorów

Zanim pójdziesz na egzamin, upewnij się, że znasz: