Planimetria na maturze - trójkąty, czworokąty i okrąg z wzorami i zadaniami

Planimetria na maturze - zakres i znaczenie

Planimetria (geometria płaska) to jeden z fundamentalnych działów matematyki maturalnej. Zadania z planimetrii pojawiają się na każdym egzaminie - zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym. Dobra wiadomość: wzory są skończone i można je opanować!

---

Trójkąty - wzory i właściwości

Pole trójkąta - trzy podstawowe wzory

Ze wzoru podstawowego (podstawa i wysokość):
$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ Ze wzoru sinusowego (dwa boki i kąt między nimi):
$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$ Ze wzoru Herona (gdy znamy trzy boki):
$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a$, $b$ i przeciwprostokątnej $c$:
$a^2 + b^2 = c^2$

Często używana odwrotność: Jeśli boki trójkąta spełniają $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny.

Trójki pitagorejskie warto rozpoznawać od razu: $3, 4, 5$ (i wielokrotności, na przykład $6, 8, 10$ albo $9, 12, 15$) oraz $5, 12, 13$, bo $25 + 144 = 169$. Gdy w zadaniu widzisz dwie z tych liczb, trzecią znasz bez liczenia.

Twierdzenie cosinusów (uogólnienie Pitagorasa)

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Przydatne, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi i szukamy trzeciego boku.

Twierdzenie sinusów

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

gdzie $R$ to promień okręgu opisanego na trójkącie.

Specjalne trójkąty

Trójkąt równoboczny o boku $a$:
$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Trójkąt 30-60-90 (połowa trójkąta równobocznego):
Jeśli przeciwprostokątna = $2a$, to krótka przyprostokątna = $a$, długa = $a\sqrt{3}$.

Trójkąt 45-45-90 (połowa kwadratu):
Jeśli przyprostokątna = $a$, to przeciwprostokątna = $a\sqrt{2}$.

---

Czworokąty - pola i właściwości

Kwadrat o boku $a$

$P = a^2, \quad Ob = 4a, \quad d = a\sqrt{2}$

Gdy znasz tylko przekątną: $P = \frac{d^2}{2}$.

Prostokąt o bokach $a$ i $b$

$P = ab, \quad Ob = 2(a+b), \quad d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Romb o boku $a$ i przekątnych $d_1$, $d_2$

$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a \cdot h, \quad Ob = 4a$

Przekątne rombu są prostopadle i wzajemnie się dzielą na połowy.

Trapez o podstawach $a$, $b$ i wysokości $h$

$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$

Równoległobok o bokach $a$, $b$ i kącie $\alpha$

$P = a \cdot b \cdot \sin \alpha = a \cdot h$

---

Okrąg i koło

Okrąg to linia - zbiór punktów w odległości $r$ od środka.
Koło to wnętrze - zbiór punktów w odległości nie większej niż $r$ od środka.

Pole koła: $P = \pi r^2$

Obwód okręgu (długość): $l = 2\pi r$

Wycinek koła o kącie środkowym $\alpha$ (w stopniach):
$P_{wycinka} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$
$l_{łuku} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$

Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie

Promień okręgu wpisanego ($r$) w trójkąt o bokach $a$, $b$, $c$:
$r = \frac{P}{s}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$

gdzie $P$ to pole trójkąta.

Promień okręgu opisanego ($R$) na trójkącie:
$R = \frac{abc}{4P}$

Z twierdzenia sinusów wychodzi też $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$, gdzie $\alpha$ to kąt naprzeciw boku $a$.

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Jeśli bok trójkąta jest średnicą okręgu opisanego, trójkąt jest prostokątny. Na maturze ta własność bywa jedynym kluczem do zadania.

---

Podobieństwo figur

Dwa trójkąty są podobne, gdy spełniają jedną z cech:

• •KKK: mają dwie pary równych kątów (trzecia para wynika z sumy kątów),
• •BBB: trzy pary boków są proporcjonalne,
• •BKB: dwie pary boków są proporcjonalne, a kąty między nimi równe.

Jeśli skala podobieństwa wynosi $k$, to odpowiadające sobie boki i obwody mają stosunek $k$, a pola $k^2$. Trójkąty podobne w skali $3$ mają więc pola w stosunku $9 : 1$.

---

Geometria układu współrzędnych - kluczowe wzory

Na maturze planimetria łączy się często z geometrią analityczną. Podstawowe wzory:

Odległość między punktami $A(x_1, y_1)$ i $B(x_2, y_2)$:
$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ Środek odcinka $AB$:
$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

---

Zadania maturalne z planimetrii z rozwiązaniami

Zadanie 1 - Pole trójkąta ze wzoru sinusowego

W trójkącie $ABC$ bok $a = 6$ cm, bok $b = 8$ cm, kąt $C = 60°$. Oblicz pole trójkąta.

Rozwiązanie:
$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Zadanie 2 - Trapez i okrąg

Trapez prostokątny ma podstawy $a = 10$ cm i $b = 6$ cm. Ramię prostopadłe do podstaw ma długość $h = 8$ cm. Oblicz pole trapeza i długość ramienia ukośnego.

Rozwiązanie:
Pole: $P = \frac{(10+6) \cdot 8}{2} = 64 \text{ cm}^2$

Różnica podstaw: $10 - 6 = 4$ cm. Ramię ukośne to przeciwprostokątna w trójkącie o przyprostokątnych 4 i 8:
$l = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ cm}$

Zadanie 3 - Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne $a = 3$ cm i $b = 4$ cm. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Rozwiązanie:
Pole trójkąta: $P = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2$
Przeciwprostokątna: $c = \sqrt{9+16} = 5$ cm
Półobwód: $s = \frac{3+4+5}{2} = 6$
$r = \frac{P}{s} = \frac{6}{6} = 1 \text{ cm}$

Ciekawa zależność: dla trójkąta prostokątnego $r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3+4-5}{2} = 1$ cm - zgadza się!

Zadanie 4 - Trapez równoramienny

W trapezie równoramiennym $ABCD$ podstawy mają długości $AB = 14$ cm i $CD = 6$ cm, a ramię $AD = 5$ cm. Oblicz pole trapezu.

Rozwiązanie:
Różnica podstaw $14 - 6 = 8$ rozkłada się po równo na obie strony, po $4$ cm. Wysokość opuszczona z $D$ tworzy trójkąt prostokątny z przyprostokątną $4$ i przeciwprostokątną $5$:
$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$
To trójka pitagorejska $3, 4, 5$. Pole:
$P = \frac{(14 + 6) \cdot 3}{2} = 30 \text{ cm}^2$

Zadanie 5 - Pola trójkątów podobnych

Trójkąty $ABC$ i $DEF$ są podobne, $AB = 6$, $DE = 9$, a pole trójkąta $ABC$ wynosi $20$. Oblicz pole trójkąta $DEF$.

Rozwiązanie:
Skala podobieństwa $k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$, więc pola mają stosunek $k^2 = \frac{9}{4}$:
$P_{DEF} = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$

Zadanie 6 - Kąt rozwarty we wzorze z sinusem

Dwa boki trójkąta mają długości $8$ cm i $12$ cm, a kąt między nimi $150°$. Oblicz pole trójkąta.

Rozwiązanie:
$\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$, więc:
$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 24 \text{ cm}^2$

Zadanie 7 - Kąt oparty na średnicy

Punkt $C$ leży na okręgu o średnicy $AB = 10$, a $AC = 6$. Oblicz $BC$.

Rozwiązanie:
Kąt $ACB$ jest wpisany i oparty na średnicy, więc jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa:
$BC = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$

---

Najczęstsze błędy

Mylenie wysokości z bokiem. Wysokość trójkąta jest prostopadła do podstawy. W trójkącie rozwartokątnym może wypaść poza figurę.

Zgubiona połowa. Pole trójkąta i pole trapezu dzielisz przez $2$. Pod presją czasu ta dwójka znika najczęściej.

Brak trójkąta prostokątnego. W trapezach, równoległobokach i wielokątach prawie zawsze da się go zbudować, opuszczając wysokość albo prowadząc przekątną. To zwykle pierwszy krok rozwiązania.

---

Jak ćwiczyć planimetrię przed maturą

Planimetria pojawia się na maturze jako zadania rysunkowe - zawsze RYSUJ. Nawet pobieżny szkic pomaga zobaczyć, który wzór zastosować i czy warto szukać pomocniczego trójkąta prostokątnego.

Na SprawnaMatura.pl znajdziesz ponad 200 zadań z planimetrii z różnych arkuszy CKE. Polecam też artykuł o trygonometrii na maturze, bo te działy mocno się przenikają.

---

Podsumowanie najważniejszych wzorów

Zanim pójdziesz na egzamin, upewnij się, że znasz:

• •Pole trójkąta: 3 wzory (z wysokości, z sinusa, Heron)
• •Twierdzenie Pitagorasa i jego odwrotność
• •Twierdzenie cosinusów i sinusów
• •Cechy podobieństwa trójkątów i stosunek pól figur podobnych
• •Pola czworokątów: kwadrat, prostokąt, romb, trapez, równoległobok
• •Wzory na koło: pole i obwód, wycinek i łuk
• •Wzory analityczne: odległość, środek

Następny krok Losuj kolejne zadanie