Kalkulator pól i obwodów figur
Pole figury płaskiej liczy się z wymiarów, które ją wyznaczają: boku, przekątnych, podstawy z wysokością albo promienia. Obwód to długość brzegu, więc czasem wynika z tych samych danych, a czasem trzeba dołożyć kolejne. Kalkulator wyżej obsługuje osiem figur, pokazuje wzór, całe podstawienie i wynik w postaci dokładnej.
Pole: P = 20
Obwodu nie da się policzyć z podstawy i wysokości: to samo pole ma nieskończenie wiele trójkątów o różnych bokach. Obwód wyznaczysz dopiero z trzech boków albo z dwóch boków i kąta między nimi.
- Podstawienie do wzoru na poleP = a · h/2 = 8 · 5/2 = 20
Jak to policzyć
- Nazwij figurę i wypisz daneZacznij od rozstrzygnięcia, co dokładnie masz: prostokąt czy równoległobok, romb czy kwadrat, koło czy okrąg. Nazwa figury wybiera wzór, a wypisane dane rozstrzygają, czy tego wzoru da się użyć wprost, czy trzeba najpierw wyznaczyć brakujący wymiar z twierdzenia Pitagorasa albo z trygonometrii.
- Wybierz wzór pasujący do danychTa sama figura ma zwykle kilka wzorów na pole i różnią się one danymi, a nie wynikiem. Pole rombu policzysz z przekątnych albo z boku i wysokości, a pole trójkąta z podstawy z wysokością, ze wzoru Herona albo z dwóch boków i kąta między nimi. Wybierz ten wzór, do którego masz komplet liczb.
- Podstaw i pilnuj jednostekWszystkie wymiary muszą być wyrażone w tej samej jednostce, zanim cokolwiek pomnożysz. Pole wychodzi w jednostkach kwadratowych, a obwód w liniowych, więc odpowiedź bez jednostki albo z jednostką liniową przy polu nie dostaje pełnej punktacji, nawet gdy sama liczba jest poprawna.
- Sprawdź, czy obwód wynika z danychObwód kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku i koła wynika z tych samych danych, co pole. Obwód trójkąta z podstawy i wysokości oraz obwód trapezu z podstaw i wysokości nie wynikają, bo tych samych danych ma nieskończenie wiele różnych figur. Wtedy potrzebne są długości pozostałych boków.
Przykład z matury
Czworokąty i wzory, które je odróżniają
Czworokąty maturalne tworzą drabinę: trapez ma jedną parę boków równoległych, równoległobok dwie, romb to równoległobok o równych bokach, prostokąt to równoległobok o kątach prostych, a kwadrat ma jedno i drugie. Każdy szczebel dziedziczy wzory z poprzedniego, więc pole rombu można policzyć wzorem równoległoboku, a pole kwadratu wzorem rombu z przekątnych.
Warto pamiętać o dwóch wzorach, które działają tylko wyżej na drabinie. Pole z połowy iloczynu przekątnych wymaga, żeby przekątne przecinały się pod kątem prostym, co zachodzi w rombie i w kwadracie, ale nie w każdym równoległoboku. Obwód z podwojonej sumy dwóch sąsiednich boków wymaga równoległoboku i w trapezie nie działa. Więcej przykładów zebraliśmy we wpisie o planimetrii na maturze.
Koło i okrąg to nie to samo
Okrąg jest linią, czyli zbiorem punktów odległych od środka o promień, a koło jest obszarem, czyli okręgiem razem z jego wnętrzem. Dlatego mówi się o długości okręgu i o polu koła, a nie odwrotnie, i dlatego zadanie o obwodzie figury złożonej z odcinków i łuku wymaga długości łuku, a nie pola wycinka.
Oba wzory zawierają liczbę pi i to ona decyduje o postaci odpowiedzi. Pole koła o promieniu 3 wynosi dokładnie dziewięć pi, a nie 28,27, i właśnie ten zapis jest na arkuszu punktowany. Przybliżenie dziesiętne podaje się tylko wtedy, gdy polecenie prosi o wynik z określoną dokładnością. Kalkulator pokazuje obie postacie i oddziela je znakiem przybliżenia.
Wielokąt foremny na maturze
Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe, więc daje się wpisać w okrąg i opisać na okręgu. Kąt wewnętrzny wielokąta o n bokach ma miarę równą sumie kątów podzielonej przez n, a kąt środkowy oparty na jednym boku ma miarę pełnego kąta podzieloną przez n. Te dwie miary sumują się do kąta półpełnego i ta obserwacja rozwiązuje większość zadań zamkniętych z tego tematu.
Pole liczy się przez podział na n przystających trójkątów równoramiennych o wspólnym wierzchołku w środku okręgu opisanego. Dla trójkąta, kwadratu i sześciokąta foremnego wynik ma postać dokładną z pierwiastkiem z trzech albo bez pierwiastka, i takich właśnie wielokątów dotyczą zadania maturalne. Ośmiokąt i dwunastokąt też mają wzory dokładne, tyle że dwuczłonowe: pole ośmiokąta to kwadrat boku pomnożony przez dwa plus dwa pierwiastki z dwóch, a pole dwunastokąta kwadrat boku pomnożony przez sześć plus trzy pierwiastki z trzech. Kalkulator zapisuje wartość dokładną jako jeden człon postaci liczba razy pierwiastek, więc sumy części wymiernej i niewymiernej nie uniesie i podaje przybliżenie. Przy pięciokącie i dziesięciokącie dochodzi jeszcze pierwiastek pod pierwiastkiem, którego ten zapis też nie obejmuje.
Pole rombu z przekątnych i pole koła
Wysokość równoległoboku nie może być dłuższa od boku, na który ją opuszczono z sąsiedniego wierzchołka: wysokość jest przyprostokątną, a bok przeciwprostokątną tego samego trójkąta prostokątnego. Kalkulator odrzuca takie dane, zamiast liczyć pole figury, która nie istnieje.
Pułapki maturalne
Wysokość trapezu to nie ramię
W trapezie prostokątnym jedno ramię jest jednocześnie wysokością i stąd bierze się przyzwyczajenie, które w trapezie równoramiennym daje wynik zawyżony. Wysokość zawsze jest odcinkiem prostopadłym do obu podstaw. Gdy w zadaniu podane jest ramię i kąt przy podstawie, wysokość trzeba najpierw wyliczyć z sinusa tego kąta.
Pole z liczbą pi zostaje z liczbą pi
Zamiana dziewięciu pi na 28,27 w połowie rozwiązania sprawia, że wszystkie kolejne wyniki są przybliżeniami, a ostatni bywa już poza tolerancją oceniającego. Liczbę pi traktuje się jak zwykły symbol i przenosi przez cały rachunek. Zaokrągla się dopiero odpowiedź i tylko wtedy, gdy polecenie tego wymaga.
Skala pola to kwadrat skali podobieństwa
Jeżeli figury są podobne w skali k, to ich obwody są w stosunku k, ale pola w stosunku k do kwadratu. Zadania z arkuszy lubią właśnie ten przeskok: podają skalę i pole jednej figury, a pytają o pole drugiej. Pomnożenie pola przez samą skalę zamiast przez jej kwadrat to błąd, który wygląda jak rachunkowy, a jest merytoryczny.
Najczęściej zadawane pytania
Najprościej z przekątnych: pole to połowa ich iloczynu. Dla przekątnych 8 i 6 wychodzi 24. Jeżeli zamiast przekątnych masz bok i wysokość, użyj wzoru dla równoległoboku, czyli pomnóż bok przez wysokość opuszczoną na ten bok.
Dodaj obie podstawy, podziel sumę przez dwa i pomnóż przez wysokość. Dla podstaw 10 i 6 oraz wysokości 4 wychodzi 32. Wysokość musi być odcinkiem prostopadłym do podstaw, a nie ramieniem trapezu.
Dokładnie dziewięć pi, czyli w przybliżeniu 28,27. Długość okręgu o tym samym promieniu to sześć pi, czyli około 18,85. W odpowiedzi zapisuje się postać z liczbą pi, chyba że polecenie prosi o przybliżenie.
Bo to samo pole ma nieskończenie wiele trójkątów o różnych bokach. Podstawa i wysokość wyznaczają pole, ale nie wyznaczają pozostałych dwóch boków. Obwód policzysz dopiero z trzech boków albo z dwóch boków i kąta między nimi.
Tablice CKE zawierają wzory na pole trójkąta, w tym wzór Herona i wzór z sinusem kąta, oraz pola czworokątów, koła i wycinka koła. Nie ma tam gotowego wzoru na pole wielokąta foremnego, więc ten przypadek rozwiązuje się przez podział na trójkąty.