Kalkulator pól i obwodów figur

Czworokąty maturalne tworzą drabinę: trapez ma jedną parę boków równoległych, równoległobok dwie, romb to równoległobok o równych bokach, prostokąt to równoległobok o kątach prostych, a kwadrat ma jedno i drugie. Każdy szczebel dziedziczy wzory z poprzedniego, więc pole rombu można policzyć wzorem równoległoboku, a pole kwadratu wzorem rombu z przekątnych.

Warto pamiętać o dwóch wzorach, które działają tylko wyżej na drabinie. Pole z połowy iloczynu przekątnych wymaga, żeby przekątne przecinały się pod kątem prostym, co zachodzi w rombie i w kwadracie, ale nie w każdym równoległoboku. Obwód z podwojonej sumy dwóch sąsiednich boków wymaga równoległoboku i w trapezie nie działa. Więcej przykładów zebraliśmy we wpisie o planimetrii na maturze.

Okrąg jest linią, czyli zbiorem punktów odległych od środka o promień, a koło jest obszarem, czyli okręgiem razem z jego wnętrzem. Dlatego mówi się o długości okręgu i o polu koła, a nie odwrotnie, i dlatego zadanie o obwodzie figury złożonej z odcinków i łuku wymaga długości łuku, a nie pola wycinka.

Oba wzory zawierają liczbę pi i to ona decyduje o postaci odpowiedzi. Pole koła o promieniu 3 wynosi dokładnie dziewięć pi, a nie 28,27, i właśnie ten zapis jest na arkuszu punktowany. Przybliżenie dziesiętne podaje się tylko wtedy, gdy polecenie prosi o wynik z określoną dokładnością. Kalkulator pokazuje obie postacie i oddziela je znakiem przybliżenia.

Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe, więc daje się wpisać w okrąg i opisać na okręgu. Kąt wewnętrzny wielokąta o n bokach ma miarę równą sumie kątów podzielonej przez n, a kąt środkowy oparty na jednym boku ma miarę pełnego kąta podzieloną przez n. Te dwie miary sumują się do kąta półpełnego i ta obserwacja rozwiązuje większość zadań zamkniętych z tego tematu.

Pole liczy się przez podział na n przystających trójkątów równoramiennych o wspólnym wierzchołku w środku okręgu opisanego. Dla trójkąta, kwadratu i sześciokąta foremnego wynik ma postać dokładną z pierwiastkiem z trzech albo bez pierwiastka, i takich właśnie wielokątów dotyczą zadania maturalne. Ośmiokąt i dwunastokąt też mają wzory dokładne, tyle że dwuczłonowe: pole ośmiokąta to kwadrat boku pomnożony przez dwa plus dwa pierwiastki z dwóch, a pole dwunastokąta kwadrat boku pomnożony przez sześć plus trzy pierwiastki z trzech. Kalkulator zapisuje wartość dokładną jako jeden człon postaci liczba razy pierwiastek, więc sumy części wymiernej i niewymiernej nie uniesie i podaje przybliżenie. Przy pięciokącie i dziesięciokącie dochodzi jeszcze pierwiastek pod pierwiastkiem, którego ten zapis też nie obejmuje.