Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe 15√(3)/4. Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α, takim, że cos α=1/3. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: h=2√(10), V=5√(30)/2
## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2026-34.png]
Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.
## Dane z zadania
- Pole podstawy: P_(podst) = 15√(3)/4 - Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy: cos α= 1/3
## Krok 2: Wyznaczenie długości krawędzi podstawy
Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a. Wzór na pole trójkąta równobocznego: P = a²√(3)/4
Przyrównuje się do danego pola: a²√(3)/4 = 15√(3)/4
a² = 15
a = √(15)
## Krok 3: Wyznaczenie promienia okręgu opisanego na podstawie
Dla trójkąta równobocznego promień okręgu opisanego wynosi: R = a/√(3) = √(15)/√(3) = √(15/3) = √(5)
## Krok 4: Analiza kąta nachylenia krawędzi bocznej
W ostrosłupie prawidłowym: - S — wierzchołek ostrosłupa - O — środek podstawy (środek okręgu opisanego) - A — wierzchołek podstawy - h — wysokość ostrosłupa
Krawędź boczna SA jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α.
Rzut krawędzi SA na podstawę to odcinek OA = R = √(5).
## Krok 5: Obliczenie wysokości ostrosłupa
W trójkącie prostokątnym SOA: - OA = √(5) (przyprostokątna — rzut na podstawę) - SO = h (przyprostokątna — wysokość) - SA (przeciwprostokątna — krawędź boczna) - ∠SAO = α (kąt przy podstawie)
Z definicji cosinusa: cos α= OA/SA = √(5)/SA
Podstawia się cos α= 1/3: 1/3 = √(5)/SA
SA = 3√(5)
Z twierdzenia Pitagorasa: h² + (√(5))² = (3√(5))²
h² + 5 = 45
h² = 40
h = 2√(10)
## Krok 6: Obliczenie objętości
Wzór na objętość ostrosłupa: V = 1/3 · P_(podst) · h
V = 1/3 · 15√(3)/4 · 2√(10)
V = 15√(3) · 2√(10)/12 = 30√(30)/12 = 5√(30)/2
## Odpowiedź
h = 2√(10) V = 5√(30)/2
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.