W trójkącie prostokątnym BCA poprowadzono wysokość CD z wierzchołka kąta prostego C, która podzieliła przeciwprostokątną BA na odcinki BD = 3 i DA = 9 (zobacz rysunek). Oblicz pole i obwód trójkąta BCA. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P = 18√(3), O = 18 + 6√(3)
## Dane i oznaczenia
W trójkącie prostokątnym BCA kąt prosty jest przy wierzchołku C. Wysokość CD dzieli przeciwprostokątną BA na odcinki: - BD = 3 - DA = 9
## Krok 1: Długość przeciwprostokątnej
BA = BD + DA = 3 + 9 = 12
## Krok 2: Długość wysokości CD
W trójkącie prostokątnym wysokość z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną spełnia zależność: CD² = BD · DA
CD² = 3 · 9 = 27
CD = √(27) = 3√(3)
## Krok 3: Długości przyprostokątnych
Dla przyprostokątnej BC: BC² = BD · BA = 3 · 12 = 36 BC = 6
Dla przyprostokątnej CA: CA² = DA · BA = 9 · 12 = 108 CA = √(108) = 6√(3)
## Krok 4: Pole trójkąta
P = 1/2 · BC · CA = 1/2 · 6 · 6√(3) = 18√(3)
## Krok 5: Obwód trójkąta
O = BA + BC + CA = 12 + 6 + 6√(3) = 18 + 6√(3)
Odpowiedź: P = 18√(3), O = 18 + 6√(3)
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.