Trójkąt równoramienny na maturze - własności, wysokość, kąty, pole i zadania

Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma co najmniej dwa boki równej długości. Równe boki nazywasz ramionami, trzeci bok podstawą, a kąt między ramionami kątem przy wierzchołku. Najważniejsze własności: kąty przy podstawie są równe, a wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części i jest jednocześnie środkową, dwusieczną kąta między ramionami oraz osią symetrii. Jeśli podstawa ma długość $a$, a ramię $b$, to wysokość liczysz z twierdzenia Pitagorasa: $h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$, a pole ze wzoru $P = \frac{1}{2} a h$.

Na maturze podstawowej trójkąt równoramienny pojawia się w dwóch rolach: jako samodzielne zadanie (wysokość, pole, kąty, warunek istnienia trójkąta) i jako fragment większej figury (przekrój osiowy stożka, trapez równoramienny, trójkąt wpisany w okrąg). W bazie sprawnamatura znajdziesz takie zadania między innymi w arkuszach z maja 2010, 2012, 2014, 2016 i 2022, w arkuszu próbnym z grudnia 2014 oraz w zestawie treningowym CKE. Wszystkie sprowadzają się do jednego rysunku i jednego twierdzenia, więc poniżej robimy to raz porządnie, a potem rozwiązujemy siedem zadań krok po kroku.

Własności trójkąta równoramiennego

Trójkąt równoramienny o podstawie $a$ i ramionach $b$ ma trzy własności, z których korzystasz w każdym zadaniu: kąty przy podstawie są równe, wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy oraz ta sama wysokość jest osią symetrii trójkąta. Z tych trzech faktów wynika wszystko inne.

Rozpiszmy je dokładniej. Oznacz trójkąt $ABC$, gdzie $|AC| = |BC| = b$ to ramiona, $|AB| = a$ to podstawa, a $D$ to spodek wysokości z wierzchołka $C$.

• •Kąty przy podstawie są równe: $|\sphericalangle CAB| = |\sphericalangle CBA| = \alpha$. Kąt między ramionami ma wtedy miarę $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$. Działa to też w drugą stronę: jeśli trójkąt ma dwa równe kąty, to jest równoramienny.
• •Wysokość na podstawę to cztery odcinki w jednym: $CD$ jest wysokością, środkową ($|AD| = |DB| = \frac{a}{2}$), dwusieczną kąta $ACB$ i osią symetrii. Dlatego trójkąt $ADC$ jest prostokątny i to w nim liczysz wszystko z twierdzenia Pitagorasa albo z funkcji trygonometrycznych.
• •Uwaga na pozostałe wysokości: wysokości opuszczone na ramiona są sobie równe, ale nie dzielą ramion na połowy. Ta własność dotyczy wyłącznie wysokości na podstawę.
• •Warunek istnienia: trójkąt o bokach $a, b, b$ istnieje tylko wtedy, gdy $2b > a$. Ramiona muszą razem "sięgnąć" dalej niż podstawa.
• •Przypadki szczególne: trójkąt równoboczny jest równoramienny (każdy bok może być podstawą), a trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ i przeciwprostokątną $a\sqrt{2}$. Zależności w trójkącie 45-45-90 i 30-60-90 warto znać na pamięć.

Wzory: wysokość, pole, obwód i kąty

Wszystkie wzory na trójkąt równoramienny wynikają z trójkąta prostokątnego $ADC$, w którym przyprostokątne to $h$ i $\frac{a}{2}$, a przeciwprostokątna to ramię $b$. Stąd $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$, pole to $P = \frac{1}{2} a h$, obwód $L = a + 2b$, a funkcje trygonometryczne kąta przy podstawie czytasz wprost z boków: $\sin\alpha = \frac{h}{b}$, $\cos\alpha = \frac{a}{2b}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2h}{a}$.

Wysokość opuszczona na podstawę (z twierdzenia Pitagorasa):

Ten sam wzór przekształcasz, gdy brakuje innej wielkości: $a = 2\sqrt{b^2 - h^2}$ albo $b = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$.

Pole trójkąta równoramiennego - trzy wersje, zależnie od danych:

Pierwszy wzór to podstawa razy wysokość, drugi to dwa ramiona i kąt między nimi, trzeci to podstawa, ramię i kąt przy podstawie. Więcej wariantów (w tym wzór Herona) znajdziesz w zestawieniu wzorów na pole trójkąta.

Obwód: $L = a + 2b$.

Kąty: jeśli znasz kąt przy podstawie $\alpha$, to kąt między ramionami wynosi $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$. Jeśli znasz $\gamma$, to $\alpha = \frac{180^\circ - \gamma}{2}$.

Okrąg opisany i wpisany: promień okręgu opisanego to $R = \frac{b^2}{2h}$, a promień okręgu wpisanego to $r = \frac{ah}{a + 2b}$. Oba wynikają z ogólnych wzorów $R = \frac{abc}{4P}$ i $r = \frac{P}{p}$, gdzie $p$ to połowa obwodu. Wyprowadzenia znajdziesz w artykule o promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie. Środek okręgu opisanego zawsze leży na osi symetrii, czyli na prostej zawierającej wysokość $CD$.

Jak rozwiązać zadanie z trójkątem równoramiennym - schemat

Każde zadanie z trójkątem równoramiennym zaczynasz od rysunku z zaznaczoną wysokością na podstawę, potem oznaczasz połowę podstawy jako $\frac{a}{2}$, a następnie zapisujesz twierdzenie Pitagorasa albo funkcję trygonometryczną w trójkącie prostokątnym $ADC$. Dopiero z tego wychodzisz na szukaną wielkość.

Krok 1: Rysunek i oznaczenia. Zaznacz ramiona, podstawę i wysokość na podstawę. Podpisz $\frac{a}{2}$ przy spodku wysokości.

Krok 2: Wybór trójkąta prostokątnego. Prawie zawsze pracujesz w $ADC$ (połowa podstawy, wysokość, ramię).

Krok 3: Równanie. Pitagoras, gdy znasz dwa z trzech boków tego trójkąta; sinus, cosinus lub tangens, gdy znasz kąt.

Krok 4: Wynik i sprawdzenie. Odrzuć wartości ujemne, sprawdź warunek $2b > a$ i upewnij się, że wynik pasuje do rysunku.

Typowe pułapki

• •Dzielisz nie ten bok. Wysokość dzieli na połowy podstawę, nie ramię. Jeśli w trójkącie o bokach $5, 5, 6$ weźmiesz jako podstawę ramię, wysokość na nie wyjdzie inna i nie policzysz jej z Pitagorasa "na skróty".
• •Bierzesz kąt przy podstawie jako kąt między ramionami. W przykładzie 6 pole liczysz z $\sin 45^\circ$, nie z $\sin 67{,}5^\circ$. Sprawdź zawsze, między którymi bokami leży kąt, który wstawiasz do wzoru $\frac{1}{2} ab \sin\gamma$.
• •Zapominasz podwoić połowę podstawy. Wynik z Pitagorasa to $|AD|$, a pytanie brzmi o $|AB|$.
• •Nie sprawdzasz nierówności trójkąta. Równe boki to za mało, patrz przykłady 4 i 5. Odcinki $4, 4, 10$ trójkąta nie tworzą.
• •Dodajesz kwadraty zamiast odejmować. Ramię jest przeciwprostokątną, więc $h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$, nigdy plus.
• •Mylisz trójkąt równoramienny z równobocznym. Wzór $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ działa tylko dla trójkąta równobocznego. W równoramiennym liczysz wysokość osobno.

Co musisz umieć - checklista

Najczęstsze pytania