Trójkąt równoramienny na maturze - własności, wysokość, kąty, pole i zadania

Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma co najmniej dwa boki równej długości. Równe boki nazywasz ramionami, trzeci bok podstawą, a kąt między ramionami kątem przy wierzchołku. Najważniejsze własności: kąty przy podstawie są równe, a wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części i jest jednocześnie środkową, dwusieczną kąta między ramionami oraz osią symetrii. Jeśli podstawa ma długość $a$, a ramię $b$, to wysokość liczysz z twierdzenia Pitagorasa: $h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$, a pole ze wzoru $P = \frac{1}{2} a h$.

Na maturze podstawowej trójkąt równoramienny pojawia się w dwóch rolach: jako samodzielne zadanie (wysokość, pole, kąty, warunek istnienia trójkąta) i jako fragment większej figury (przekrój osiowy stożka, trapez równoramienny, trójkąt wpisany w okrąg). W bazie sprawnamatura znajdziesz takie zadania między innymi w arkuszach z maja 2010, 2012, 2014, 2016 i 2022, w arkuszu próbnym z grudnia 2014 oraz w zestawie treningowym CKE. Wszystkie sprowadzają się do jednego rysunku i jednego twierdzenia, więc poniżej robimy to raz porządnie, a potem rozwiązujemy siedem zadań krok po kroku.

Własności trójkąta równoramiennego

Trójkąt równoramienny o podstawie $a$ i ramionach $b$ ma trzy własności, z których korzystasz w każdym zadaniu: kąty przy podstawie są równe, wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy oraz ta sama wysokość jest osią symetrii trójkąta. Z tych trzech faktów wynika wszystko inne.

Rozpiszmy je dokładniej. Oznacz trójkąt $ABC$, gdzie $|AC| = |BC| = b$ to ramiona, $|AB| = a$ to podstawa, a $D$ to spodek wysokości z wierzchołka $C$.

• •Kąty przy podstawie są równe: $|\sphericalangle CAB| = |\sphericalangle CBA| = \alpha$. Kąt między ramionami ma wtedy miarę $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$. Działa to też w drugą stronę: jeśli trójkąt ma dwa równe kąty, to jest równoramienny.
• •Wysokość na podstawę to cztery odcinki w jednym: $CD$ jest wysokością, środkową ($|AD| = |DB| = \frac{a}{2}$), dwusieczną kąta $ACB$ i osią symetrii. Dlatego trójkąt $ADC$ jest prostokątny i to w nim liczysz wszystko z twierdzenia Pitagorasa albo z funkcji trygonometrycznych.
• •Uwaga na pozostałe wysokości: wysokości opuszczone na ramiona są sobie równe, ale nie dzielą ramion na połowy. Ta własność dotyczy wyłącznie wysokości na podstawę.
• •Warunek istnienia: trójkąt o bokach $a, b, b$ istnieje tylko wtedy, gdy $2b > a$. Ramiona muszą razem "sięgnąć" dalej niż podstawa.
• •Przypadki szczególne: trójkąt równoboczny jest równoramienny (każdy bok może być podstawą), a trójkąt prostokątny równoramienny ma kąty $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ i przeciwprostokątną $a\sqrt{2}$. Zależności w trójkącie 45-45-90 i 30-60-90 warto znać na pamięć.

Wzory: wysokość, pole, obwód i kąty

Wszystkie wzory na trójkąt równoramienny wynikają z trójkąta prostokątnego $ADC$, w którym przyprostokątne to $h$ i $\frac{a}{2}$, a przeciwprostokątna to ramię $b$. Stąd $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$, pole to $P = \frac{1}{2} a h$, obwód $L = a + 2b$, a funkcje trygonometryczne kąta przy podstawie czytasz wprost z boków: $\sin\alpha = \frac{h}{b}$, $\cos\alpha = \frac{a}{2b}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2h}{a}$.

Wysokość opuszczona na podstawę (z twierdzenia Pitagorasa):

Ten sam wzór przekształcasz, gdy brakuje innej wielkości: $a = 2\sqrt{b^2 - h^2}$ albo $b = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}$.

Pole trójkąta równoramiennego - trzy wersje, zależnie od danych:

Pierwszy wzór to podstawa razy wysokość, drugi to dwa ramiona i kąt między nimi, trzeci to podstawa, ramię i kąt przy podstawie. Więcej wariantów (w tym wzór Herona) znajdziesz w zestawieniu wzorów na pole trójkąta.

Obwód: $L = a + 2b$.

Kąty: jeśli znasz kąt przy podstawie $\alpha$, to kąt między ramionami wynosi $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$. Jeśli znasz $\gamma$, to $\alpha = \frac{180^\circ - \gamma}{2}$.

Okrąg opisany i wpisany: promień okręgu opisanego to $R = \frac{b^2}{2h}$, a promień okręgu wpisanego to $r = \frac{ah}{a + 2b}$. Oba wynikają z ogólnych wzorów $R = \frac{abc}{4P}$ i $r = \frac{P}{p}$, gdzie $p$ to połowa obwodu. Wyprowadzenia znajdziesz w artykule o promieniu okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie. Środek okręgu opisanego zawsze leży na osi symetrii, czyli na prostej zawierającej wysokość $CD$.

Jak rozwiązać zadanie z trójkątem równoramiennym - schemat

Każde zadanie z trójkątem równoramiennym zaczynasz od rysunku z zaznaczoną wysokością na podstawę, potem oznaczasz połowę podstawy jako $\frac{a}{2}$, a następnie zapisujesz twierdzenie Pitagorasa albo funkcję trygonometryczną w trójkącie prostokątnym $ADC$. Dopiero z tego wychodzisz na szukaną wielkość.

Krok 1: Rysunek i oznaczenia. Zaznacz ramiona, podstawę i wysokość na podstawę. Podpisz $\frac{a}{2}$ przy spodku wysokości.

Krok 2: Wybór trójkąta prostokątnego. Prawie zawsze pracujesz w $ADC$ (połowa podstawy, wysokość, ramię).

Krok 3: Równanie. Pitagoras, gdy znasz dwa z trzech boków tego trójkąta; sinus, cosinus lub tangens, gdy znasz kąt.

Krok 4: Wynik i sprawdzenie. Odrzuć wartości ujemne, sprawdź warunek $2b > a$ i upewnij się, że wynik pasuje do rysunku.

Przykład 1: wysokość z podstawy i ramienia (matura maj 2010, zadanie 16)

Treść: Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość $6$, a ramię ma długość $5$. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość: A) $3$, B) $4$, C) $\sqrt{34}$, D) $\sqrt{61}$.

Krok 1: Rysunek. Wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki po $3$. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $3$ i $h$ oraz przeciwprostokątnej $5$.

Krok 2: Twierdzenie Pitagorasa.

Odpowiedź: B, wysokość ma długość $4$. To trójkąt o bokach 3-4-5, który warto rozpoznawać bez liczenia. Odpowiedź $\sqrt{61}$ to pułapka dla osób, które dodały kwadraty zamiast odjąć.

Przykład 2: podstawa z ramienia i wysokości (matura maj 2012, zadanie 12)

Treść: W trójkącie równoramiennym $ABC$ dane są $|AC| = |BC| = 5$ oraz wysokość $|CD| = 2$. Podstawa $AB$ tego trójkąta ma długość: A) $6$, B) $2\sqrt{21}$, C) $2\sqrt{29}$, D) $14$.

Krok 1: Rysunek. Wysokość $CD$ dzieli podstawę na połowy, więc $|AD| = |DB|$. Liczysz $|AD|$ w trójkącie prostokątnym $ADC$, a potem podwajasz.

Krok 2: Twierdzenie Pitagorasa dla połowy podstawy.

Krok 3: Cała podstawa.

Odpowiedź: B. Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zapomnienie o podwojeniu. Samego $\sqrt{21}$ nie ma wśród odpowiedzi, ale w zadaniu otwartym taki wynik kosztowałby punkt.

Przykład 3: pole trójkąta równoramiennego (zestaw treningowy CKE)

Treść: Oblicz pole trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AB| = 24$ i $|AC| = |BC| = 13$.

Krok 1: Wysokość na podstawę. Połowa podstawy to $12$, ramię to $13$:

Krok 2: Pole.

Odpowiedź: $P = 60$. Trójka 5-12-13 to kolejna trójka pitagorejska, którą warto znać na pamięć. Jeśli chcesz sprawdzić wynik inaczej, użyj wzoru Herona: $p = 25$, $P = \sqrt{25 \cdot 1 \cdot 12 \cdot 12} = \sqrt{3600} = 60$. Inne sposoby na wysokość trójkąta opisuję w osobnym artykule.

Przykład 4: które liczby mogą być bokami (zestaw treningowy CKE)

Treść: Liczby $4, 10, c$ są długościami boków trójkąta równoramiennego. Oblicz $c$.

Krok 1: Rozpisz przypadki. W trójkącie równoramiennym dwa boki są równe, więc $c = 4$ albo $c = 10$.

Krok 2: Sprawdź nierówność trójkąta w każdym przypadku.

• •$c = 4$: boki $4, 4, 10$. Suma ramion $4 + 4 = 8$ nie jest większa od $10$, więc taki trójkąt nie istnieje.
• •$c = 10$: boki $4, 10, 10$. Suma ramion $10 + 10 = 20 > 4$, a także $4 + 10 = 14 > 10$. Trójkąt istnieje.

Odpowiedź: $c = 10$.

To zadanie ma bliźniaka: dla boków $6, 10, c$ oba przypadki przechodzą test ($6 + 6 = 12 > 10$ oraz $6 + 10 = 16 > 10$), więc poprawna odpowiedź to $c = 6$ lub $c = 10$. Sprawdź to samodzielnie w zadaniu z bokami 6, 10, c. Wniosek: zawsze sprawdzaj oba przypadki i nie zakładaj z góry, że odpowiedź jest jedna.

Przykład 5: boki zapisane wyrażeniami (matura maj 2016, zadanie 18)

Treść: Z odcinków o długościach $5$, $2a + 1$, $a - 1$ można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że: A) $a = 6$, B) $a = 4$, C) $a = 3$, D) $a = 2$.

Krok 1: Trzy sposoby na równe boki.

• •$2a + 1 = 5$, czyli $a = 2$. Boki: $5, 5, 1$.
• •$a - 1 = 5$, czyli $a = 6$. Boki: $5, 13, 5$.
• •$2a + 1 = a - 1$, czyli $a = -2$. Odpada, bo długość $a - 1$ byłaby ujemna.

Krok 2: Nierówność trójkąta.

• •$a = 2$: $5 + 1 = 6 > 5$. Trójkąt istnieje.
• •$a = 6$: $5 + 5 = 10 < 13$. Ramiona nie sięgają, trójkąt nie istnieje.

Odpowiedź: D, $a = 2$. Odpowiedź A to klasyczna pułapka: $a = 6$ daje równe boki, ale nie daje trójkąta. Bez sprawdzenia nierówności trójkąta zadanie wygląda na dwuznaczne, a nie jest.

Przykład 6: pole z ramienia i kąta przy podstawie (matura próbna grudzień 2014, zadanie 17)

Treść: Dany jest trójkąt równoramienny, w którym ramię o długości $20$ tworzy z podstawą kąt $67{,}5^\circ$. Pole tego trójkąta jest równe: A) $100\sqrt{3}$, B) $100\sqrt{2}$, C) $200\sqrt{3}$, D) $200\sqrt{2}$.

Krok 1: Kąt między ramionami. Oba kąty przy podstawie mają po $67{,}5^\circ$:

Krok 2: Pole z dwóch ramion i kąta między nimi.

Odpowiedź: B. Kąta $67{,}5^\circ$ nie ma w tablicach i nie musi być: liczy się kąt między ramionami, a ten wychodzi tablicowy. Gdybyś chciał iść przez wysokość, potrzebowałbyś $\sin 67{,}5^\circ$, którego nie znasz, więc wybór wzoru z kątem $\gamma$ to nie wygoda, tylko jedyna droga na kalkulatorze prostym.

Przykład 7: kąty, dwusieczna i podobieństwo (matura maj 2022, zadanie 33)

Treść: Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w takim punkcie $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne. Oblicz miarę kąta $BAC$.

Krok 1: Oznaczenia. Niech $|\sphericalangle BAC| = \alpha$. Skoro $|AC| = |BC|$, to kąt przy podstawie $AB$ przy wierzchołku $B$ też ma miarę $\alpha$: $|\sphericalangle ABC| = \alpha$, a kąt między ramionami $|\sphericalangle ACB| = 180^\circ - 2\alpha$. Dwusieczna kąta dzieli $\alpha$ na pół, więc $|\sphericalangle DAB| = \frac{\alpha}{2}$.

Krok 2: Kąty trójkąta $BDA$. Przy $B$ ma $\alpha$ (to ten sam kąt co w dużym trójkącie), przy $A$ ma $\frac{\alpha}{2}$, a przy $D$:

Krok 3: Warunek podobieństwa. Trójkąty podobne mają takie same zestawy kątów. Duży trójkąt ma kąty $\alpha, \alpha, 180^\circ - 2\alpha$, mały ma $\alpha, \frac{\alpha}{2}, 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}$. Kąt $\frac{\alpha}{2}$ nie może być równy $\alpha$, więc musi być równy trzeciemu kątowi dużego trójkąta:

Krok 4: Sprawdzenie. Dla $\alpha = 72^\circ$ mały trójkąt ma kąty $72^\circ, 36^\circ, 72^\circ$, a duży $72^\circ, 72^\circ, 36^\circ$. Zestawy się zgadzają, a przy okazji oba trójkąty są równoramienne.

Odpowiedź: $|\sphericalangle BAC| = 72^\circ$. To zadanie za 2 punkty pokazuje, po co jest własność "równe kąty przy podstawie": bez niej nie da się nawet oznaczyć kątów na rysunku.

Poćwicz na zadaniach z bazy

Trzy zadania z arkuszy CKE na tę samą własność, ale w innym opakowaniu: boki opisane wyrażeniem z niewiadomą, trójkąt równoramienny wpisany w okrąg i dowód o dwóch trójkątach prostokątnych równoramiennych. Rozwiąż je w aplikacji, a w razie potrzeby zajrzyj do pełnych rozwiązań krok po kroku.

Więcej znajdziesz w dziale Planimetria, a wszystkie zadania z konkretnego arkusza, na przykład z matury maj 2022, przejrzysz na stronie egzaminu.

Typowe pułapki

• •Dzielisz nie ten bok. Wysokość dzieli na połowy podstawę, nie ramię. Jeśli w trójkącie o bokach $5, 5, 6$ weźmiesz jako podstawę ramię, wysokość na nie wyjdzie inna i nie policzysz jej z Pitagorasa "na skróty".
• •Bierzesz kąt przy podstawie jako kąt między ramionami. W przykładzie 6 pole liczysz z $\sin 45^\circ$, nie z $\sin 67{,}5^\circ$. Sprawdź zawsze, między którymi bokami leży kąt, który wstawiasz do wzoru $\frac{1}{2} ab \sin\gamma$.
• •Zapominasz podwoić połowę podstawy. Wynik z Pitagorasa to $|AD|$, a pytanie brzmi o $|AB|$.
• •Nie sprawdzasz nierówności trójkąta. Równe boki to za mało, patrz przykłady 4 i 5. Odcinki $4, 4, 10$ trójkąta nie tworzą.
• •Dodajesz kwadraty zamiast odejmować. Ramię jest przeciwprostokątną, więc $h^2 = b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$, nigdy plus.
• •Mylisz trójkąt równoramienny z równobocznym. Wzór $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ działa tylko dla trójkąta równobocznego. W równoramiennym liczysz wysokość osobno.

Co musisz umieć - checklista

• •Oznaczyć na rysunku podstawę, ramiona, wysokość na podstawę i połowę podstawy $\frac{a}{2}$.
• •Zapisać twierdzenie Pitagorasa w trójkącie $ADC$: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$.
• •Policzyć pole na trzy sposoby: $\frac{1}{2} a h$, $\frac{1}{2} b^2 \sin\gamma$, $\frac{1}{2} a b \sin\alpha$.
• •Przejść między kątem przy podstawie a kątem między ramionami: $\gamma = 180^\circ - 2\alpha$.
• •Sprawdzić, czy trzy liczby są bokami trójkąta równoramiennego (dwa przypadki plus nierówność trójkąta).
• •Rozpoznać trójki pitagorejskie 3-4-5 i 5-12-13 bez liczenia.

Najczęstsze pytania