Cięciwa okręgu - długość, odległość od środka, kąt ze styczną i zadania maturalne

Cięciwa okręgu to odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu; najdłuższa cięciwa przechodzi przez środek i nazywa się średnicą. Trzy własności załatwiają niemal każde zadanie maturalne z cięciwą: prosta poprowadzona ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli ją na połowy, więc cięciwa w odległości $d$ od środka okręgu o promieniu $r$ ma długość $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$; kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (czyli połowie kąta środkowego); a gdy dwie cięciwy $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $P$, to $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$.

Cięciwa wraca w arkuszach CKE częściej, niż się wydaje. W naszej bazie 15 z 269 zadań z planimetrii ma cięciwę w treści, w tym zadania z matur: maj 2016, sierpień 2021, maj 2022, sierpień 2022, dwa zadania z próbnej CKE z grudnia 2023 i jedno z próbnej CKE z marca 2026. Prawie wszystkie są za 1-2 punkty, czyli to punkty do wzięcia w kilka minut, jeśli znasz trzy własności z akapitu wyżej. Poniżej: teoria z dowodami na poziomie podstawowym, siedem przykładów z prawdziwych arkuszy i pułapki.

Co to jest cięciwa okręgu i czym różni się od średnicy, łuku i siecznej

Cięciwa to odcinek o obu końcach na okręgu. Średnica to szczególna cięciwa przechodząca przez środek, o długości $2r$. Łuk to fragment samego okręgu między końcami cięciwy (krzywa, nie odcinek). Sieczna to cała prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach, a cięciwa jest jej fragmentem "w środku" okręgu.

Każda cięciwa wyznacza dwa łuki: krótszy i dłuższy. Kąt środkowy oparty na krótszym łuku ma mniej niż $180^\circ$, a kąt wpisany oparty na tym łuku ma połowę tej miary. Dokładnie z tej zależności korzystają zadania o kątach w okręgu; jeśli potrzebujesz jej odświeżenia, przeczytaj najpierw poradnik o kącie wpisanym i środkowym, bo tutaj traktujemy ją jako narzędzie.

Własność 1: odległość cięciwy od środka i wzór na jej długość

Odcinek łączący środek okręgu $S$ ze środkiem cięciwy $M$ jest prostopadły do cięciwy, a trójkąt $SMA$ jest prostokątny z przeciwprostokątną $r$. Z twierdzenia Pitagorasa $\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2+d^2=r^2$, skąd długość cięciwy to $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$, a jej odległość od środka to $d=\sqrt{r^2-\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2}$.

Dlaczego $SM$ dzieli cięciwę na połowy: trójkąt $SAB$ jest równoramienny ($|SA|=|SB|=r$), a w trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową. To cała teoria. Dwa wnioski, które często ratują zadanie:

• •Cięciwy równej długości leżą w równej odległości od środka (i odwrotnie).
• •Im cięciwa bliżej środka, tym dłuższa; w odległości $d=0$ staje się średnicą o długości $2r$.

Jeśli zamiast odległości znasz kąt środkowy $\alpha$ oparty na cięciwie, to z połówkowego trójkąta prostokątnego $SMA$ (kąt przy $S$ równy $\frac{\alpha}{2}$) dostajesz:

$|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}, \qquad d=r\cos\frac{\alpha}{2}$

Na przykład cięciwa oparta na kącie środkowym $60^\circ$ ma długość $2r\sin 30^\circ=r$ (trójkąt $SAB$ jest wtedy równoboczny), a oparta na kącie $90^\circ$ ma długość $2r\sin 45^\circ=r\sqrt{2}$. Definicje i wartości funkcji trygonometrycznych dla tych kątów masz w poradniku o sinusie, cosinusie i tangensie.

Własność 2: kąt między styczną a cięciwą

Kąt między styczną do okręgu w punkcie $A$ a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku $AB$ leżącym wewnątrz tego kąta, czyli połowie kąta środkowego $ASB$ opartego na tym łuku. W praktyce: jeśli kąt środkowy ma $100^\circ$, kąt między styczną a cięciwą ma $50^\circ$.

Dowód na poziomie podstawowym mieści się w trzech linijkach. Trójkąt $SAB$ jest równoramienny, więc jeśli kąt środkowy $|\sphericalangle ASB|=\beta$, to kąty przy podstawie mają po $\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ-\frac{\beta}{2}$. Styczna jest prostopadła do promienia $SA$, więc kąt między styczną a cięciwą to $90^\circ-\left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\beta}{2}$. To zarazem miara kąta wpisanego opartego na łuku $AB$. Warunek prostopadłości stycznej do promienia w wersji analitycznej (odległość środka od prostej równa $r$) opisaliśmy w poradniku o równaniu stycznej do okręgu.

Własność 3: przecinające się cięciwy, czyli twierdzenie o cięciwach

Jeżeli cięciwy $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $P$ wewnątrz okręgu, to iloczyny odcinków każdej z nich są równe: $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$. Mnożysz dwa kawałki tej samej cięciwy, nie "na krzyż" między cięciwami.

Skąd to się bierze: trójkąty $APC$ i $DPB$ są podobne. Kąty $APC$ i $DPB$ są wierzchołkowe, a kąty $CAB$ i $CDB$ to kąty wpisane oparte na tym samym łuku $CB$, więc równe. Z podobieństwa $\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|}$, co po wymnożeniu daje tezę. Cechy podobieństwa i zapis proporcji powtórzysz w poradniku o trójkątach podobnych. W zadaniu otwartym nie powołuj się na ten wzór jak na gotowe twierdzenie z karty wzorów, tylko zapisz podobieństwo trójkątów: dokładnie tak wygląda modelowe rozwiązanie CKE w przykładzie niżej.

Cięciwa w układzie współrzędnych

Gdy prosta przecina okrąg o równaniu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, długość odciętej cięciwy liczysz bez szukania punktów przecięcia: obliczasz odległość $d$ środka $(a,b)$ od prostej i podstawiasz do $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$. To ta sama Własność 1, tylko odległość bierzesz ze wzoru na odległość punktu od prostej.

Przykład 8: długość cięciwy odciętej przez prostą

Planimetria

Oblicz długość cięciwy, którą prosta $y=3$ odcina z okręgu $x^2+y^2=25$.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

1. Krok 1

   odczytaj środek i promień

   Środek $(0,0)$, promień $r=5$. Jak czytać te dane z równania ogólnego, pokazujemy w poradniku o równaniu okręgu.

2. Krok 2

   odległość środka od prostej

   Prosta $y=3$ jest pozioma, więc $d=3$. Dla prostej ukośnej użyj wzoru z poradnika o odległości punktu od prostej.

3. Krok 3

   długość cięciwy

   $|AB|=2\sqrt{25-9}=2\cdot 4=8$

   Kontrola: podstawiając $y=3$ do równania okręgu, dostajesz $x^2=16$, czyli końce cięciwy $(-4,3)$ i $(4,3)$, odległe o $8$. Zgadza się.

Typowe pułapki w zadaniach z cięciwą

• •Połowa zamiast całości. Z trójkąta $SMA$ wychodzi połowa cięciwy. Pomnóż przez $2$, zanim zapiszesz odpowiedź.
• •Sinus czy cosinus. Szukany odcinek leży naprzeciw kąta: sinus. Przy kącie: cosinus. W zadaniu z maja 2016 kąt $31^\circ$ był przy $A$, a odległość $|SM|$ leżała naprzeciw niego, stąd sinus.
• •Styczna i promień. Kąt między styczną a promieniem poprowadzonym do punktu styczności ma zawsze $90^\circ$. Bez tego faktu nie policzysz żadnego kąta ze styczną.
• •Kąt ze styczną a kąt środkowy. Kąt między styczną a cięciwą to połowa kąta środkowego, nie cały kąt środkowy i nie jego dopełnienie do $180^\circ$.
• •Mnożenie "na krzyż" w twierdzeniu o cięciwach. Poprawnie: $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$, czyli dwa odcinki tej samej cięciwy po każdej stronie równości.
• •Cięciwa a łuk. Długość łuku liczysz z proporcji kąta środkowego do $360^\circ$ i obwodu $2\pi r$, nie z Pitagorasa. Różnicę między nimi wyjaśnia poradnik o długości łuku i polu wycinka.
• •Kąt wpisany oparty na "złym" łuku. Kąty wpisane są równe tylko wtedy, gdy opierają się na tym samym łuku. Przed napisaniem równości nazwij łuk, na którym leżą oba kąty.
• •Założenie, że punkt przecięcia to środek. Średnica przecinająca cięciwę dzieli ją na połowy tylko wtedy, gdy jest do niej prostopadła. W Przykładzie 6 $|PC|=8$ i $|PD|=5$, więc $P$ nie był środkiem cięciwy.

Checklista: co musisz umieć

Więcej zadań z okręgiem, w tym z promieniem okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie, znajdziesz w poradniku o promieniu okręgu wpisanego i opisanego, a pełną listę zadań CKE z tego działu w bazie zadań z planimetrii.

Najczęstsze pytania

Następny krok Losuj kolejne zadanie