Cięciwa okręgu - długość, odległość od środka, kąt ze styczną i zadania maturalne

Cięciwa okręgu - długość, odległość od środka, kąt ze styczną i zadania maturalne

Cięciwa okręgu to odcinek łączący dwa punkty leżące na okręgu; najdłuższa cięciwa przechodzi przez środek i nazywa się średnicą. Trzy własności załatwiają niemal każde zadanie maturalne z cięciwą: prosta poprowadzona ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli ją na połowy, więc cięciwa w odległości $d$ od środka okręgu o promieniu $r$ ma długość $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$; kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (czyli połowie kąta środkowego); a gdy dwie cięciwy $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $P$, to $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$.

Cięciwa wraca w arkuszach CKE częściej, niż się wydaje. W naszej bazie 15 z 269 zadań z planimetrii ma cięciwę w treści, w tym zadania z matur: maj 2016, sierpień 2021, maj 2022, sierpień 2022, dwa zadania z próbnej CKE z grudnia 2023 i jedno z próbnej CKE z marca 2026. Prawie wszystkie są za 1-2 punkty, czyli to punkty do wzięcia w kilka minut, jeśli znasz trzy własności z akapitu wyżej. Poniżej: teoria z dowodami na poziomie podstawowym, siedem przykładów z prawdziwych arkuszy i pułapki.

Co to jest cięciwa okręgu i czym różni się od średnicy, łuku i siecznej

Cięciwa to odcinek o obu końcach na okręgu. Średnica to szczególna cięciwa przechodząca przez środek, o długości $2r$. Łuk to fragment samego okręgu między końcami cięciwy (krzywa, nie odcinek). Sieczna to cała prosta przecinająca okrąg w dwóch punktach, a cięciwa jest jej fragmentem "w środku" okręgu.

Każda cięciwa wyznacza dwa łuki: krótszy i dłuższy. Kąt środkowy oparty na krótszym łuku ma mniej niż $180^\circ$, a kąt wpisany oparty na tym łuku ma połowę tej miary. Dokładnie z tej zależności korzystają zadania o kątach w okręgu; jeśli potrzebujesz jej odświeżenia, przeczytaj najpierw poradnik o kącie wpisanym i środkowym, bo tutaj traktujemy ją jako narzędzie.

Własność 1: odległość cięciwy od środka i wzór na jej długość

Odcinek łączący środek okręgu $S$ ze środkiem cięciwy $M$ jest prostopadły do cięciwy, a trójkąt $SMA$ jest prostokątny z przeciwprostokątną $r$. Z twierdzenia Pitagorasa $\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2+d^2=r^2$, skąd długość cięciwy to $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$, a jej odległość od środka to $d=\sqrt{r^2-\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2}$.

Dlaczego $SM$ dzieli cięciwę na połowy: trójkąt $SAB$ jest równoramienny ($|SA|=|SB|=r$), a w trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest jednocześnie środkową. To cała teoria. Dwa wnioski, które często ratują zadanie:

• •Cięciwy równej długości leżą w równej odległości od środka (i odwrotnie).
• •Im cięciwa bliżej środka, tym dłuższa; w odległości $d=0$ staje się średnicą o długości $2r$.

Jeśli zamiast odległości znasz kąt środkowy $\alpha$ oparty na cięciwie, to z połówkowego trójkąta prostokątnego $SMA$ (kąt przy $S$ równy $\frac{\alpha}{2}$) dostajesz:

$|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}, \qquad d=r\cos\frac{\alpha}{2}$

Na przykład cięciwa oparta na kącie środkowym $60^\circ$ ma długość $2r\sin 30^\circ=r$ (trójkąt $SAB$ jest wtedy równoboczny), a oparta na kącie $90^\circ$ ma długość $2r\sin 45^\circ=r\sqrt{2}$. Definicje i wartości funkcji trygonometrycznych dla tych kątów masz w poradniku o sinusie, cosinusie i tangensie.

Przykład 1: długość cięciwy z promienia i odległości

W okręgu o promieniu $13$ poprowadzono cięciwę w odległości $5$ od środka. Oblicz jej długość.

Krok 1: zapisz trójkąt prostokątny

Połowa cięciwy, odległość $d=5$ i promień $r=13$ tworzą trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną $13$.

Krok 2: zastosuj twierdzenie Pitagorasa

$\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2=13^2-5^2=169-25=144 \quad\Rightarrow\quad \frac{|AB|}{2}=12$

Krok 3: podaj długość całej cięciwy

$|AB|=24$

Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $12$. Pitagoras daje połowę cięciwy, nie całą. W drugą stronę liczy się tak samo: cięciwa o długości $16$ w okręgu o promieniu $10$ leży w odległości $d=\sqrt{100-64}=6$ od środka. Inne zastosowania tego trójkąta znajdziesz w poradniku o twierdzeniu Pitagorasa na maturze.

Przykład 2: odległość cięciwy od środka z kąta (Matura maj 2016, zadanie 13)

W okręgu o środku $S$ poprowadzono cięciwę $AB$, która tworzy z promieniem $AS$ kąt $31^\circ$. Promień ma długość $10$. Odległość punktu $S$ od cięciwy $AB$ jest liczbą z przedziału: A. $\langle\frac{9}{2};\frac{11}{2}\rangle$, B. $(\frac{11}{2};\frac{13}{2}\rangle$, C. $(\frac{13}{2};\frac{19}{2}\rangle$, D. $(\frac{19}{2};\frac{37}{2}\rangle$.

Krok 1: znajdź trójkąt prostokątny

Niech $M$ będzie spodkiem prostopadłej z $S$ na $AB$. W trójkącie $SMA$ kąt przy $M$ jest prosty, przeciwprostokątna $|SA|=10$, a szukana odległość to przyprostokątna $|SM|$ leżąca naprzeciw kąta $31^\circ$.

Krok 2: użyj sinusa

$\sin 31^\circ=\frac{|SM|}{|SA|} \quad\Rightarrow\quad |SM|=10\cdot\sin 31^\circ\approx 10\cdot 0{,}5150=5{,}15$

Krok 3: dopasuj przedział

$5{,}15\in\langle 4{,}5;\,5{,}5\rangle$, czyli odpowiedź A. Wartość $\sin 31^\circ$ odczytujesz z tablic trygonometrycznych w karcie wzorów CKE. Pułapka: gdyby kąt $31^\circ$ był kątem przy $S$ (między promieniem a prostopadłą), użyłbyś cosinusa. Zawsze sprawdź, naprzeciw którego kąta leży szukany bok. Pełny arkusz: matura maj 2016.

Przykład 3: cięciwa i średnica w jednym trójkącie (zbiór CKE 2015-2023 PP, zadanie 70)

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o środku $O$ i promieniu $r$. Cięciwa $AC$ ma długość $r\sqrt{3}$. Które zdanie jest prawdziwe: A. $|\sphericalangle AOC|=130^\circ$, B. $|\sphericalangle ABC|=90^\circ$, C. $|\sphericalangle BOC|=60^\circ$, D. $|\sphericalangle BAC|=45^\circ$?

Krok 1: wykorzystaj średnicę

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc $|\sphericalangle ACB|=90^\circ$ (to kąt przy $C$, nie przy $B$, więc odpowiedź B odpada).

Krok 2: oblicz drugą cięciwę z Pitagorasa

$|BC|^2=|AB|^2-|AC|^2=(2r)^2-(r\sqrt{3})^2=4r^2-3r^2=r^2 \quad\Rightarrow\quad |BC|=r$

Krok 3: rozpoznaj trójkąt równoboczny

W trójkącie $BOC$ wszystkie boki mają długość $r$ ($|OB|=|OC|=r$ jako promienie, $|BC|=r$ z Kroku 2), więc $|\sphericalangle BOC|=60^\circ$. Odpowiedź C.

Kontrola drugą metodą: z twierdzenia cosinusów w trójkącie $AOC$ o bokach $r$, $r$, $r\sqrt{3}$ dostajesz $\cos\sphericalangle AOC=\frac{r^2+r^2-3r^2}{2r^2}=-\frac{1}{2}$, czyli $120^\circ$, a kąt przyległy $BOC$ ma $60^\circ$. Zadanie możesz rozwiązać w aplikacji: zadanie 70 ze zbioru CKE 2015-2023. Kiedy sięgać po cosinusy, a kiedy po Pitagorasa, opisujemy w poradniku o twierdzeniu sinusów i cosinusów.

Własność 2: kąt między styczną a cięciwą

Kąt między styczną do okręgu w punkcie $A$ a cięciwą $AB$ jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku $AB$ leżącym wewnątrz tego kąta, czyli połowie kąta środkowego $ASB$ opartego na tym łuku. W praktyce: jeśli kąt środkowy ma $100^\circ$, kąt między styczną a cięciwą ma $50^\circ$.

Dowód na poziomie podstawowym mieści się w trzech linijkach. Trójkąt $SAB$ jest równoramienny, więc jeśli kąt środkowy $|\sphericalangle ASB|=\beta$, to kąty przy podstawie mają po $\frac{180^\circ-\beta}{2}=90^\circ-\frac{\beta}{2}$. Styczna jest prostopadła do promienia $SA$, więc kąt między styczną a cięciwą to $90^\circ-\left(90^\circ-\frac{\beta}{2}\right)=\frac{\beta}{2}$. To zarazem miara kąta wpisanego opartego na łuku $AB$. Warunek prostopadłości stycznej do promienia w wersji analitycznej (odległość środka od prostej równa $r$) opisaliśmy w poradniku o równaniu stycznej do okręgu.

Przykład 4: kąt środkowy dany, kąt ze styczną szukany (Matura sierpień 2022, zadanie 19)

Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $S$. Kąt środkowy $ASB$ ma miarę $100^\circ$. Prosta $l$ jest styczna do okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ kąt $\alpha$. Wtedy: A. $40^\circ$, B. $45^\circ$, C. $50^\circ$, D. $60^\circ$.

Krok 1: kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego

$|\sphericalangle SAB|=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ$

Krok 2: prostopadłość stycznej do promienia

$\alpha=90^\circ-40^\circ=50^\circ$

Odpowiedź C. Skrót z twierdzenia: $\alpha=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ$. Na maturze warto znać obie drogi: skrót daje odpowiedź w pięć sekund, a rozpisanie trójkąta ratuje, gdy zapomnisz twierdzenia. Treść z rysunkiem: matura sierpień 2022.

Przykład 5: kąt ze styczną dany, kąt środkowy szukany (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 26)

Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu o środku $O$. Prosta $k$ jest styczna do okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ kąt $32^\circ$. Odcinek $AC$ jest średnicą. Oblicz miarę kąta rozwartego $BOC$.

Krok 1: kąt między promieniem a cięciwą

Styczna jest prostopadła do promienia $OA$, więc:

$|\sphericalangle OAB|=90^\circ-32^\circ=58^\circ$

Krok 2: kąt środkowy AOB z trójkąta równoramiennego

Trójkąt $OAB$ ma $|OA|=|OB|=r$, więc kąty przy podstawie $AB$ są równe $58^\circ$:

$|\sphericalangle AOB|=180^\circ-2\cdot 58^\circ=64^\circ$

Krok 3: kąt przyległy wzdłuż średnicy

Punkty $A$, $O$, $C$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AOB$ i $BOC$ są przyległe:

$|\sphericalangle BOC|=180^\circ-64^\circ=116^\circ$

Kontrola twierdzeniem: kąt między styczną a cięciwą $AB$ to $32^\circ$, więc kąt środkowy $AOB$ ma $64^\circ$ i znów $|\sphericalangle BOC|=116^\circ$. Ten i inne sposoby przechodzenia między kątami w okręgu zebraliśmy w poradniku o kątach w figurach.

Własność 3: przecinające się cięciwy, czyli twierdzenie o cięciwach

Jeżeli cięciwy $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $P$ wewnątrz okręgu, to iloczyny odcinków każdej z nich są równe: $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$. Mnożysz dwa kawałki tej samej cięciwy, nie "na krzyż" między cięciwami.

Skąd to się bierze: trójkąty $APC$ i $DPB$ są podobne. Kąty $APC$ i $DPB$ są wierzchołkowe, a kąty $CAB$ i $CDB$ to kąty wpisane oparte na tym samym łuku $CB$, więc równe. Z podobieństwa $\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|}$, co po wymnożeniu daje tezę. Cechy podobieństwa i zapis proporcji powtórzysz w poradniku o trójkątach podobnych. W zadaniu otwartym nie powołuj się na ten wzór jak na gotowe twierdzenie z karty wzorów, tylko zapisz podobieństwo trójkątów: dokładnie tak wygląda modelowe rozwiązanie CKE w przykładzie niżej.

Przykład 6: promień z odcinków cięciw (Matura próbna CKE grudzień 2023, zadanie 28)

Średnica $AB$ okręgu o środku $S$ przecina cięciwę $CD$ w punkcie $P$. Dane: $|PB|=4$, $|PC|=8$, $|PD|=5$. Oblicz promień okręgu.

Krok 1: uzasadnij podobieństwo trójkątów

Kąty $APC$ i $DPB$ są wierzchołkowe. Kąty $CAB$ i $CDB$ są wpisane i oparte na tym samym łuku $CB$, więc mają równe miary. Trójkąty $APC$ i $DPB$ są podobne (cecha kąt-kąt).

Krok 2: zapisz proporcję i oblicz |PA|

$\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|} \quad\Rightarrow\quad \frac{|PA|}{5}=\frac{8}{4} \quad\Rightarrow\quad |PA|=10$

To samo daje wzór: $|PA|\cdot 4=8\cdot 5$, czyli $|PA|=10$.

Krok 3: średnica i promień

$|AB|=|PA|+|PB|=10+4=14 \quad\Rightarrow\quad r=7$

Zadanie za 2 punkty: jeden za podobieństwo (albo poprawne użycie wzoru z uzasadnieniem), drugi za wynik. Całość w próbnej CKE z grudnia 2023.

Przykład 7: kąty przy przecięciu cięciw (Matura sierpień 2021, zadanie 19)

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$ leżą na okręgu. Cięciwy $DB$ i $AC$ przecinają się w punkcie $E$. Wiadomo, że $|\sphericalangle ACB|=55^\circ$ oraz $|\sphericalangle AEB|=140^\circ$. Oblicz miarę kąta $DAC$.

Krok 1: kąt przyległy w punkcie przecięcia

$|\sphericalangle CEB|=180^\circ-140^\circ=40^\circ$

Krok 2: trzeci kąt trójkąta CEB

$|\sphericalangle EBC|=180^\circ-40^\circ-55^\circ=85^\circ$

Punkt $E$ leży na cięciwie $DB$, więc $|\sphericalangle DBC|=85^\circ$.

Krok 3: kąty wpisane oparte na tym samym łuku

Kąty $DAC$ i $DBC$ są wpisane i oparte na łuku $DC$, więc $|\sphericalangle DAC|=85^\circ$. Odpowiedź D.

Ten sam schemat (kąt przyległy, suma kątów w trójkącie, równe kąty wpisane) rozwiązuje zadanie 17 z maja 2022, gdzie cięciwa $AC$ przecina średnicę z punktu $B$: kąt środkowy $BSC=\alpha$ daje kąt wpisany $BAC=\frac{\alpha}{2}$, a z trójkąta $ABD$ wychodzi $|\sphericalangle ABD|=180^\circ-\frac{\alpha}{2}-\gamma$. Spróbuj samodzielnie: zadanie 17 z maja 2022, a potem zadanie 23 z próbnej CKE marzec 2026, które jest jego bliźniakiem z konkretnymi liczbami.

Cięciwa w układzie współrzędnych

Gdy prosta przecina okrąg o równaniu $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$, długość odciętej cięciwy liczysz bez szukania punktów przecięcia: obliczasz odległość $d$ środka $(a,b)$ od prostej i podstawiasz do $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$. To ta sama Własność 1, tylko odległość bierzesz ze wzoru na odległość punktu od prostej.

Przykład 8: długość cięciwy odciętej przez prostą

Oblicz długość cięciwy, którą prosta $y=3$ odcina z okręgu $x^2+y^2=25$.

Krok 1: odczytaj środek i promień

Środek $(0,0)$, promień $r=5$. Jak czytać te dane z równania ogólnego, pokazujemy w poradniku o równaniu okręgu.

Krok 2: odległość środka od prostej

Prosta $y=3$ jest pozioma, więc $d=3$. Dla prostej ukośnej użyj wzoru z poradnika o odległości punktu od prostej.

Krok 3: długość cięciwy

$|AB|=2\sqrt{25-9}=2\cdot 4=8$

Kontrola: podstawiając $y=3$ do równania okręgu, dostajesz $x^2=16$, czyli końce cięciwy $(-4,3)$ i $(4,3)$, odległe o $8$. Zgadza się.

Typowe pułapki w zadaniach z cięciwą

• •Połowa zamiast całości. Z trójkąta $SMA$ wychodzi połowa cięciwy. Pomnóż przez $2$, zanim zapiszesz odpowiedź.
• •Sinus czy cosinus. Szukany odcinek leży naprzeciw kąta: sinus. Przy kącie: cosinus. W zadaniu z maja 2016 kąt $31^\circ$ był przy $A$, a odległość $|SM|$ leżała naprzeciw niego, stąd sinus.
• •Styczna i promień. Kąt między styczną a promieniem poprowadzonym do punktu styczności ma zawsze $90^\circ$. Bez tego faktu nie policzysz żadnego kąta ze styczną.
• •Kąt ze styczną a kąt środkowy. Kąt między styczną a cięciwą to połowa kąta środkowego, nie cały kąt środkowy i nie jego dopełnienie do $180^\circ$.
• •Mnożenie "na krzyż" w twierdzeniu o cięciwach. Poprawnie: $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$, czyli dwa odcinki tej samej cięciwy po każdej stronie równości.
• •Cięciwa a łuk. Długość łuku liczysz z proporcji kąta środkowego do $360^\circ$ i obwodu $2\pi r$, nie z Pitagorasa. Różnicę między nimi wyjaśnia poradnik o długości łuku i polu wycinka.
• •Kąt wpisany oparty na "złym" łuku. Kąty wpisane są równe tylko wtedy, gdy opierają się na tym samym łuku. Przed napisaniem równości nazwij łuk, na którym leżą oba kąty.
• •Założenie, że punkt przecięcia to środek. Średnica przecinająca cięciwę dzieli ją na połowy tylko wtedy, gdy jest do niej prostopadła. W Przykładzie 6 $|PC|=8$ i $|PD|=5$, więc $P$ nie był środkiem cięciwy.

Checklista: co musisz umieć

• •Powiedzieć, czym cięciwa różni się od średnicy, łuku i siecznej.
• •Narysować trójkąt prostokątny $SMA$ (środek, środek cięciwy, koniec cięciwy) i zapisać $\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2+d^2=r^2$.
• •Obliczyć długość cięciwy z promienia i odległości od środka, i odwrotnie.
• •Obliczyć długość cięciwy z kąta środkowego: $|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}$.
• •Zastosować prostopadłość stycznej do promienia i twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą.
• •Uzasadnić podobieństwo trójkątów przy przecinających się cięciwach i zapisać $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$.
• •Przejść od kąta środkowego do wpisanego i z powrotem, wskazując łuk, na którym się opierają.
• •W układzie współrzędnych policzyć cięciwę z odległości środka okręgu od prostej.

Więcej zadań z okręgiem, w tym z promieniem okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie, znajdziesz w poradniku o promieniu okręgu wpisanego i opisanego, a pełną listę zadań CKE z tego działu w bazie zadań z planimetrii.

Najczęstsze pytania

Co to jest cięciwa okręgu?
Cięciwa okręgu to odcinek, którego oba końce leżą na okręgu. Każda cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki, a prosta przechodząca przez środek okręgu i prostopadła do cięciwy dzieli ją na dwie równe części.

Czy średnica jest cięciwą?
Tak, średnica to najdłuższa cięciwa okręgu: przechodzi przez środek i ma długość $2r$. Każda inna cięciwa jest krótsza od średnicy, a im dalej od środka leży, tym jest krótsza.

Jak obliczyć długość cięciwy, znając promień i odległość od środka?
Ze wzoru $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$, który wynika z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie o bokach: połowa cięciwy, odległość $d$ i promień $r$. Na przykład dla $r=13$ i $d=5$ cięciwa ma długość $2\sqrt{169-25}=24$.

Jak obliczyć odległość cięciwy od środka okręgu?
Z tego samego trójkąta prostokątnego: $d=\sqrt{r^2-\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2}$. Jeśli zamiast długości cięciwy znasz kąt $\varphi$ między cięciwą a promieniem poprowadzonym do jej końca, to $d=r\cdot\sin\varphi$, jak w zadaniu z matury z maja 2016.

Jak obliczyć długość cięciwy z kąta środkowego?
Jeśli cięciwa $AB$ jest oparta na kącie środkowym $\alpha$, to $|AB|=2r\sin\frac{\alpha}{2}$. Dla $\alpha=60^\circ$ cięciwa ma długość $r$, dla $\alpha=90^\circ$ długość $r\sqrt{2}$, a dla $\alpha=120^\circ$ długość $r\sqrt{3}$.

Ile wynosi kąt między styczną a cięciwą?
Kąt między styczną w punkcie $A$ a cięciwą $AB$ jest równy połowie kąta środkowego opartego na łuku $AB$ leżącym wewnątrz tego kąta, czyli tyle samo co kąt wpisany oparty na tym łuku. Wynika to z tego, że styczna jest prostopadła do promienia, a trójkąt złożony z dwóch promieni i cięciwy jest równoramienny.

Co mówi twierdzenie o cięciwach?
Jeśli cięciwy $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $P$, to $|PA|\cdot|PB|=|PC|\cdot|PD|$. Uzasadnia się je podobieństwem trójkątów $APC$ i $DPB$, które mają równe kąty wierzchołkowe i równe kąty wpisane oparte na tym samym łuku.

Cięciwa to relacja prostej z jednym okręgiem - a na maturze pojawia się też relacja dwóch okręgów między sobą. Kiedy są styczne, a kiedy się przecinają, tłumaczymy w poradniku wzajemne położenie dwóch okręgów.