Jak wyznaczyć równanie stycznej do okręgu - warunek styczności i zadania matura

Styczna do okręgu wraca na maturze regularnie. Pojawia się w zadaniach z geometrii analitycznej, w pytaniach z parametrem, w zadaniach łączonych z trójkątem prostokątnym, a od formuły 2023 weszła też na maturę podstawową w prostych poleceniach typu "sprawdź, czy prosta jest styczna". To jeden z tych tematów, w których raz dobrze przerobiony schemat zwraca się przez całą sesję maturalną, a potem jeszcze na studiach.

Wbrew pozorom temat nie jest trudny. Wszystko sprowadza się do jednej prostej obserwacji geometrycznej: styczna to prosta, która dotyka okręgu w dokładnie jednym punkcie, a w tym punkcie jest prostopadła do promienia. Z tej obserwacji wyciągniesz wszystkie warunki i wzory, które będą ci potrzebne. W tym poradniku pokażę ci trzy równoważne sposoby sprawdzania styczności, wyprowadzę wzór na styczną w punkcie, a potem przerobimy razem pięć zadań w stylu maturalnym - od najłatwiejszego po zadanie z parametrem i styczne z punktu zewnętrznego.

Czym jest styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Ten punkt nazywamy punktem styczności. Geometrycznie wygląda to tak, że prosta "muska" okrąg z zewnątrz - nie wchodzi do środka, nie odchodzi od niego.

W stosunku do okręgu prosta może być w trzech sytuacjach:

Jeśli odległość środka okręgu od prostej jest większa niż promień, prosta nie ma z okręgiem żadnego punktu wspólnego. Mówimy wtedy, że prosta jest rozłączna z okręgiem.

Jeśli odległość środka od prostej jest mniejsza niż promień, prosta przecina okrąg w dwóch punktach. Taką prostą nazywamy sieczną.

Jeśli odległość środka od prostej jest dokładnie równa promieniowi, prosta dotyka okręgu w jednym punkcie. To jest styczna.

Te trzy przypadki ułożysz w jeden warunek: porównaj $d(S, l)$ z $r$. I to jest punkt wyjścia do wszystkich zadań.

Kluczowa własność: w punkcie styczności promień okręgu jest prostopadły do stycznej. Jeżeli środek okręgu to $S$, a punkt styczności to $P$, to wektor $\vec{SP}$ jest prostopadły do prostej stycznej. Z tej własności wynikają wszystkie wzory na styczną, które poniżej wyprowadzimy.

Trzy warunki styczności - znajomy każdej rozwiązanej maturalnej

Prostą $l$ i okrąg $o$ o środku $S$ i promieniu $r$ nazywamy stycznymi, gdy spełniony jest dowolny z poniższych warunków. Wszystkie trzy są równoważne, więc używasz tego, który w danym zadaniu jest szybszy.

Warunek 1 - odległość:
$$d(S, l) = r$$

Odległość środka okręgu od prostej jest dokładnie równa promieniowi. To najczęściej używany warunek na maturze, bo wzór na odległość punktu od prostej jest na karcie wzorów CKE i nie musisz go pamiętać.

Warunek 2 - delta = 0:
Po wstawieniu równania prostej do równania okręgu dostajesz równanie kwadratowe z jednym rozwiązaniem - czyli delta = 0.

Warunek 3 - jeden punkt wspólny:
Układ równań prosta-okrąg ma dokładnie jedno rozwiązanie. To w sumie ta sama informacja co warunek 2, ale można ją sprawdzić bez pisania delty (np. graficznie albo przez parametryzację).

W praktyce w 80 procentach zadań szybciej jest porównać odległość z promieniem. Drugi warunek przydaje się głównie wtedy, gdy interesuje cię nie tylko sama styczność, ale i punkt styczności - bo dostajesz go automatycznie po rozwiązaniu układu.

Wzór na styczną w punkcie - dwie wersje

To jest ten wzór, który MUSISZ zapamiętać. Albo umieć wyprowadzić w trzy linijki, co jest pewniejsze - bo wyprowadzenie z prostopadłości promienia nie wymaga niczego poza iloczynem skalarnym.

Okrąg o środku w początku układu

Jeśli mamy okrąg $x^2 + y^2 = r^2$ i punkt $P(x_0, y_0)$ leżący na nim, to równanie stycznej w $P$ ma postać:

$$x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = r^2$$

Sposób zapamiętania: w równaniu okręgu zamieniasz jeden czynnik $x$ na $x_0$ i jeden czynnik $y$ na $y_0$. Czyli $x^2$ traktujesz jak $x \cdot x$ i jeden $x$ zamieniasz na $x_0$. Identycznie dla $y^2$. Po polsku: "podwajasz, dzielisz na pół, zostawiasz indeks zero przy jednym z czynników". Brzmi dziwnie, ale działa.

Okrąg o dowolnym środku

Jeśli okrąg ma postać $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ i punkt $P(x_0, y_0)$ leży na nim, to styczna w $P$ ma równanie:

$$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$$

Ta sama zasada: bierzesz lewą stronę równania okręgu i jeden czynnik $(x-a)$ zamieniasz na $(x_0 - a)$, jeden czynnik $(y-b)$ na $(y_0 - b)$.

UWAGA: ten wzór NIE jest na karcie wzorów CKE. Musisz go znać sam albo umieć wyprowadzić z warunku prostopadłości promienia. Większość uczniów go zapomina, więc warto sobie wyrobić wyprowadzenie do automatu.

Wyprowadzenie w 3 linijkach

Niech $S(a, b)$ to środek okręgu, a $P(x_0, y_0)$ - punkt styczności. Wektor promienia w punkcie $P$ to:
$$\vec{SP} = [x_0 - a, y_0 - b]$$

Styczna w $P$ jest do tego wektora prostopadła. Punkt $Q(x, y)$ leży na stycznej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor $\vec{PQ} = [x - x_0, y - y_0]$ jest prostopadły do $\vec{SP}$. Z iloczynu skalarnego wynika warunek:

$$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$$

Po rozwinięciu i wykorzystaniu, że $P$ leży na okręgu (czyli $(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2$), dostajemy wzór wyżej. Trzy linijki, koniec.

Przykład 1: Styczna do okręgu w punkcie - środek w (0,0)

Treść: Wyznacz równanie stycznej do okręgu $x^2 + y^2 = 25$ w punkcie $P(3, 4)$.

Krok 1: Sprawdź, czy punkt leży na okręgu.
Wzór na styczną w punkcie działa TYLKO, gdy punkt jest faktycznie na okręgu. Podstawiamy: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Zgadza się, $P$ leży na okręgu.

Krok 2: Zastosuj wzór $x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = r^2$.
Tu $x_0 = 3$, $y_0 = 4$, $r^2 = 25$. Wstawiam:
$$3x + 4y = 25$$ Krok 3: Doprowadź do postaci wymaganej w zadaniu.
Jeśli polecenie chce postaci kierunkowej:
$$y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$$
Jeśli postaci ogólnej: $3x + 4y - 25 = 0$.

Odpowiedź: $3x + 4y - 25 = 0$, czyli $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$.

Sprawdzenie: wektor promienia $\vec{SP} = [3, 4]$. Wektor kierunkowy stycznej z postaci kierunkowej to $[1, -\frac{3}{4}]$, czyli po przemnożeniu przez 4 - $[4, -3]$. Iloczyn skalarny: $3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 - 12 = 0$. Prostopadłość zachowana, czyli styczna policzona poprawnie.

Przykład 2: Sprawdź, czy prosta jest styczna (warunek odległości)

Treść: Sprawdź, czy prosta $y = -x + 6$ jest styczna do okręgu $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 8$. Jeśli nie, wyjaśnij jakie ma położenie względem okręgu.

Krok 1: Wyciągnij dane.
Okrąg ma środek $S(1, 2)$ i promień $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Prosta: $y = -x + 6$. Zamieniam na postać ogólną: $x + y - 6 = 0$. Współczynniki: $A = 1$, $B = 1$, $C = -6$.

Krok 2: Policz odległość środka od prostej.
$$d(S, l) = \frac{|A \cdot x_S + B \cdot y_S + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 - 6|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ Krok 3: Porównaj z promieniem.
Aby porównanie było czytelne, sprowadzam oba wyrażenia do tego samego mianownika:
$$r = 2\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2}, \quad d = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Widać, że $d < r$. Skoro odległość środka od prostej jest mniejsza niż promień, prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

Odpowiedź: prosta nie jest styczna do okręgu, jest sieczną.

Wskazówka egzaminacyjna: w treści CKE pytanie zwykle brzmi "wykaż, że prosta jest styczna" albo "uzasadnij, że prosta jest styczna". Wystarczy pokazać $d(S, l) = r$ i napisać to wprost. Nie musisz liczyć punktu styczności, chyba że zadanie tego wymaga.

Przykład 3: Wyznacz parametr, dla którego prosta jest styczna

Treść: Wyznacz wartości parametru $k$, dla których prosta $y = kx + 5$ jest styczna do okręgu $x^2 + y^2 = 4$.

Krok 1: Warunek styczności = odległość od środka równa promieniowi.
Środek $S(0, 0)$, promień $r = 2$. Prosta w postaci ogólnej: $kx - y + 5 = 0$, czyli $A = k$, $B = -1$, $C = 5$.

Krok 2: Wstaw środek do wzoru na odległość.
$$d(S, l) = \frac{|k \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 5|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{k^2 + 1}}$$ Krok 3: Przyrównaj do promienia.
$$\frac{5}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2$$ Krok 4: Rozwiąż równanie.
Mnożę obustronnie przez $\sqrt{k^2 + 1}$ (jest dodatnie, więc znak nierówności by się nie zmienił):
$$5 = 2\sqrt{k^2 + 1}$$
Dzielę przez 2:
$$\frac{5}{2} = \sqrt{k^2 + 1}$$
Podnoszę do kwadratu (obie strony nieujemne, więc rozwiązań obcych nie będzie):
$$\frac{25}{4} = k^2 + 1$$
$$k^2 = \frac{25}{4} - 1 = \frac{21}{4}$$
$$k = \pm\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Odpowiedź: $k = \frac{\sqrt{21}}{2}$ lub $k = -\frac{\sqrt{21}}{2}$.

Dlaczego dwie wartości? Punkt $(0, 5)$ (przecięcie prostej z osią $OY$ gdy $x = 0$) jest poza okręgiem (bo $5 > 2 = r$). Z punktu zewnętrznego do okręgu można poprowadzić dokładnie dwie styczne. Symetria względem osi $OY$ tłumaczy znak $\pm$.

Przykład 4: Dwie styczne z punktu zewnętrznego

Treść: Wyznacz równania stycznych do okręgu $x^2 + y^2 = 5$ przechodzących przez punkt $A(3, 1)$.

Krok 1: Sprawdź, czy punkt jest poza okręgiem.
$3^2 + 1^2 = 10 > 5 = r^2$. Punkt $A$ leży poza okręgiem, więc istnieją dwie styczne.

Krok 2: Zapisz pęk prostych przechodzących przez $A$.
Każda prosta przez punkt (oprócz pionowej) ma równanie:
$$y - 1 = m(x - 3) \quad \Leftrightarrow \quad mx - y + 1 - 3m = 0$$
Współczynniki postaci ogólnej: $A_l = m$, $B_l = -1$, $C_l = 1 - 3m$. Krok 3: Warunek styczności.
Środek $S(0, 0)$, promień $r = \sqrt{5}$. Odległość:
$$d(S, l) = \frac{|m \cdot 0 - 0 + 1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$
Warunek $d = r$:
$$\frac{|1 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$$ Krok 4: Podnieś obustronnie do kwadratu i uporządkuj.
$$(1 - 3m)^2 = 5(m^2 + 1)$$
$$1 - 6m + 9m^2 = 5m^2 + 5$$
$$4m^2 - 6m - 4 = 0 \quad / : 2$$
$$2m^2 - 3m - 2 = 0$$ Krok 5: Policz deltę.
$\Delta = 9 + 16 = 25$, $\sqrt{\Delta} = 5$:
$$m_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}, \quad m_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2$$

Krok 6: Zapisz oba równania.
Dla $m_1 = -\frac{1}{2}$: $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 3)$, czyli $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.
Dla $m_2 = 2$: $y - 1 = 2(x - 3)$, czyli $y = 2x - 5$.

Odpowiedź: styczne to $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ oraz $y = 2x - 5$.

Dlaczego dwa współczynniki? Z punktu zewnętrznego można narysować dokładnie dwie styczne (intuicja: jedną "z góry", drugą "z dołu"). Dwa rozwiązania na $m$ to odzwierciedlenie tej geometrii. Gdyby punkt leżał na okręgu, równanie kwadratowe miałoby jedno rozwiązanie. Gdyby leżał wewnątrz okręgu, delta byłaby ujemna i stycznych nie byłoby wcale.

Przykład 5: Styczna równoległa do danej prostej

Treść: Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$, równoległych do prostej $y = 2x - 7$.

Krok 1: Z równoległości wyznacz współczynnik kierunkowy stycznej.
Prosta $y = 2x - 7$ ma współczynnik kierunkowy $m = 2$. Każda prosta równoległa też ma $m = 2$, więc szukane styczne mają postać:
$$y = 2x + b$$
czyli w postaci ogólnej $2x - y + b = 0$. Niewiadomą jest tylko wyraz wolny $b$. Krok 2: Warunek styczności.
Środek $S(2, -1)$, promień $r = 3$. Odległość:
$$d(S, l) = \frac{|2 \cdot 2 + (-1) \cdot (-1) + b|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|4 + 1 + b|}{\sqrt{5}} = \frac{|5 + b|}{\sqrt{5}}$$
Warunek $d = r$:
$$\frac{|5 + b|}{\sqrt{5}} = 3$$ Krok 3: Rozwiąż równanie z wartością bezwzględną.
$$|5 + b| = 3\sqrt{5}$$
Stąd dwa przypadki:
$$5 + b = 3\sqrt{5} \quad \lor \quad 5 + b = -3\sqrt{5}$$
$$b = 3\sqrt{5} - 5 \quad \lor \quad b = -3\sqrt{5} - 5$$

Odpowiedź: $y = 2x + 3\sqrt{5} - 5$ oraz $y = 2x - 3\sqrt{5} - 5$.

Każda prosta z pęku równoległego ma dwie styczne do okręgu - jedną "powyżej", drugą "poniżej" okręgu. Te dwie styczne są równoległe do siebie i odległe o $2r$ (czyli o średnicę).

Wariant z prostopadłością: gdyby polecenie brzmiało "styczne prostopadłe do prostej $y = 2x - 7$", to wystarczyłoby zamiast $m = 2$ wziąć $m = -\frac{1}{2}$ (warunek prostopadłości prostych: $m_1 \cdot m_2 = -1$) i powtórzyć cały schemat.

Postać ogólna okręgu - jak nie zgubić środka

Często okrąg w zadaniu nie jest podany w wygodnej postaci kanonicznej, tylko jako $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Wtedy zanim cokolwiek policzysz, musisz wyciągnąć środek i promień.

Wzory na środek i promień z postaci ogólnej:
$$S\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right), \quad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$$

UWAGA na znaki. Środek to $S(-D/2, -E/2)$, NIE $S(D, E)$. Najczęstszy błąd na maturze.

Druga metoda - sprowadzenie do postaci kanonicznej przez uzupełnienie do kwadratu:
$$x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}$$

To samo dla $y$. Po przegrupowaniu wszystko po lewej stronie - i wynik widać od razu.

Przykład: okrąg $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$.
Uzupełniam do kwadratu:
$$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 4 - 9 - 3 = 0$$
$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$
Środek $S(2, -3)$, promień $r = 4$. I dopiero teraz możesz liczyć styczne.

Styczna do okręgu w punkcie - drugi sposób (bez wzoru)

Niektóre podręczniki nie podają wzoru $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$. Wtedy stosujesz schemat oparty na prostopadłości promienia, który zawsze działa.

Schemat:

Krok 1: Policz wektor promienia $\vec{SP} = [x_0 - a, y_0 - b]$.

Krok 2: Wektor kierunkowy stycznej musi być prostopadły do $\vec{SP}$. Wystarczy zamienić współrzędne miejscami i jednej zmienić znak: $\vec{v} = [-(y_0 - b), x_0 - a]$ lub $\vec{v} = [y_0 - b, -(x_0 - a)]$.

Krok 3: Zapisz równanie prostej przechodzącej przez $P$ o wektorze kierunkowym $\vec{v}$. Najprościej parametrycznie albo z postaci kierunkowej: $y - y_0 = m(x - x_0)$, gdzie $m$ wyciągasz z wektora kierunkowego.

Przykład: okrąg $x^2 + y^2 = 25$, punkt $P(3, 4)$.
Promień: $\vec{SP} = [3, 4]$. Wektor prostopadły: $\vec{v} = [-4, 3]$ (lub $[4, -3]$).
Współczynnik kierunkowy stycznej: $m = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.
Równanie: $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$, czyli po uporządkowaniu $3x + 4y = 25$.

Wynik ten sam co ze wzoru $x x_0 + y y_0 = r^2$, tylko liczone "ręcznie". Wybierasz metodę, która ci leży lepiej.

Typowe pułapki i błędy na maturze

Pułapka 1: Stosowanie wzoru $x x_0 + y y_0 = r^2$ dla punktu, który NIE leży na okręgu. Wzór działa tylko jeśli punkt jest faktycznie na okręgu. Dla punktu zewnętrznego musisz iść przez pęk prostych i warunek odległości.

Pułapka 2: Pomijanie modułu w liczniku odległości punktu od prostej. $|A x_S + B y_S + C|$ MUSI być w wartości bezwzględnej, inaczej dostaniesz odległość ujemną - a takiej nie ma.

Pułapka 3: Mylenie środka okręgu w postaci ogólnej. $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ ma środek $S(-D/2, -E/2)$, nie $S(D/2, E/2)$. Sprawdź ten znak dwa razy.

Pułapka 4: Pomijanie prostej pionowej w pęku przez punkt zewnętrzny. Zapis $y - y_0 = m(x - x_0)$ nie obejmuje prostych pionowych $x = x_0$. W większości zadań to nie ma znaczenia, ale czasem jedna ze stycznych jest właśnie pionowa - wtedy z pęku wyjdą tylko jedno rozwiązanie na $m$, a drugiej stycznej trzeba domyślić się ręcznie.

Pułapka 5: Niesprawdzanie liczby stycznych. Z punktu wewnątrz okręgu nie da się poprowadzić stycznej. Z punktu na okręgu - dokładnie jedna. Z punktu poza okręgiem - dokładnie dwie. Jeśli wynik kłóci się z tym, zrób krok wstecz i sprawdź dane.

Pułapka 6: Złe podnoszenie do kwadratu obu stron równania z modułem. $|A| = B$ (gdzie $B \geq 0$) jest równoważne $A = B$ lub $A = -B$. Czasem uczniowie zapominają o tym drugim przypadku i tracą połowę rozwiązań.

Pułapka 7: Mylenie warunku styczności prostych z warunkiem styczności okręgów. Dla dwóch okręgów styczność zewnętrzna to $|SS_1| = r + r_1$, styczność wewnętrzna to $|SS_1| = |r - r_1|$. Inny temat, inne wzory.

Pułapka 8: Zapomnienie sprawdzenia wyniku. Po policzeniu stycznej zawsze warto wsadzić punkt styczności do równania prostej i okręgu - oba mają być spełnione. Kosztuje 30 sekund, ratuje 2-4 punkty.

Co musisz umieć - checklista

Definicja stycznej i podstawowa własność: w punkcie styczności promień jest prostopadły do stycznej.

Trzy warunki styczności: odległość środka od prostej równa promieniowi, delta układu równa zeru, jeden punkt wspólny.

Wzór na styczną w punkcie dla okręgu o środku w (0, 0): $x x_0 + y y_0 = r^2$.

Wzór na styczną w punkcie dla okręgu o dowolnym środku: $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$.

Schemat wyznaczania stycznych z punktu zewnętrznego: zapisz pęk prostych przez punkt, warunek odległości od środka, równanie kwadratowe na $m$, dwa rozwiązania.

Schemat wyznaczania stycznej równoległej lub prostopadłej do danej prostej: ustal współczynnik kierunkowy z warunku równoległości albo prostopadłości, podstaw do pęku z niewiadomym wyrazem wolnym, warunek odległości.

Wzór na odległość punktu od prostej - musi być w pamięci. Karta wzorów go ma, ale szybciej działa, gdy go znasz.

Postać ogólna okręgu i sprowadzenie do kanonicznej (uzupełnienie do kwadratu).

Sprawdzenie, czy punkt leży wewnątrz, na, czy poza okręgiem - porównanie wartości lewej strony równania okręgu z $r^2$.

Podsumowanie

Wszystkie zadania o stycznej do okręgu sprowadzają się do trzech wzorów: równania okręgu, równania prostej i odległości punktu od prostej. Reszta to algebra. Najczęstszy schemat na maturze to: zapisz pęk prostych przez dany punkt, przyrównaj odległość środka do promienia, rozwiąż równanie kwadratowe na współczynnik kierunkowy. To są te same trzy kroki, niezależnie od tego, co jeszcze jest w zadaniu.

Jeśli punkt z polecenia leży NA okręgu, dostajesz prezent - jest jedna styczna i liczysz ją ze wzoru $x x_0 + y y_0 = r^2$ (po odpowiednim przesunięciu dla okręgu nie w (0, 0)). Jeśli punkt jest poza okręgiem, są dwie styczne i liczysz je z pęku. Jeśli punkt jest wewnątrz okręgu, stycznej nie ma w ogóle - prosta przez punkt wewnętrzny zawsze przecina okrąg w dwóch punktach.

Po tym poradniku rzuć okiem na inne tematy z geometrii analitycznej, które łączą się ze stycznymi: równanie okręgu, równanie prostej przez dwa punkty, odległość między punktami, kąt między prostymi. Wszystkie one prędzej czy później wracają w zadaniach łączonych. Jeśli przed tobą jest matura poprawkowa w sierpniu, w planie powtórek do poprawki ten temat warto wpisać na pierwszą połowę przygotowań - styczne do okręgu pojawiają się w arkuszach CKE z zaskakującą regularnością.

W naszej pełnej bazie zadań z geometrii analitycznej znajdziesz dziesiątki zadań CKE ze stycznymi - klikaj numery zadań i ćwicz, aż schemat sam wskoczy ci do głowy. Trzy zadania z każdej kategorii (na okręgu, z punktu zewnętrznego, z parametrem) wystarczą, żebyś nigdy więcej nie zawahał się na maturze.