Jak wyznaczyć równanie stycznej do okręgu - warunek styczności i zadania matura

Styczna do okręgu wraca na maturze regularnie. Pojawia się w zadaniach z geometrii analitycznej, w pytaniach z parametrem, w zadaniach łączonych z trójkątem prostokątnym, a od formuły 2023 weszła też na maturę podstawową w prostych poleceniach typu "sprawdź, czy prosta jest styczna". To jeden z tych tematów, w których raz dobrze przerobiony schemat zwraca się przez całą sesję maturalną, a potem jeszcze na studiach.

Wbrew pozorom temat nie jest trudny. Wszystko sprowadza się do jednej prostej obserwacji geometrycznej: styczna to prosta, która dotyka okręgu w dokładnie jednym punkcie, a w tym punkcie jest prostopadła do promienia. Z tej obserwacji wyciągniesz wszystkie warunki i wzory, które będą ci potrzebne. W tym poradniku pokażę ci trzy równoważne sposoby sprawdzania styczności, wyprowadzę wzór na styczną w punkcie, a potem przerobimy razem pięć zadań w stylu maturalnym - od najłatwiejszego po zadanie z parametrem i styczne z punktu zewnętrznego.

Czym jest styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta, która ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny. Ten punkt nazywamy punktem styczności. Geometrycznie wygląda to tak, że prosta "muska" okrąg z zewnątrz - nie wchodzi do środka, nie odchodzi od niego.

W stosunku do okręgu prosta może być w trzech sytuacjach:

Jeśli odległość środka okręgu od prostej jest większa niż promień, prosta nie ma z okręgiem żadnego punktu wspólnego. Mówimy wtedy, że prosta jest rozłączna z okręgiem.

Jeśli odległość środka od prostej jest mniejsza niż promień, prosta przecina okrąg w dwóch punktach. Taką prostą nazywamy sieczną.

Jeśli odległość środka od prostej jest dokładnie równa promieniowi, prosta dotyka okręgu w jednym punkcie. To jest styczna.

Te trzy przypadki ułożysz w jeden warunek: porównaj $d(S, l)$ z $r$. I to jest punkt wyjścia do wszystkich zadań.

Kluczowa własność: w punkcie styczności promień okręgu jest prostopadły do stycznej. Jeżeli środek okręgu to $S$, a punkt styczności to $P$, to wektor $\vec{SP}$ jest prostopadły do prostej stycznej. Z tej własności wynikają wszystkie wzory na styczną, które poniżej wyprowadzimy.

Trzy warunki styczności - znajomy każdej rozwiązanej maturalnej

Prostą $l$ i okrąg $o$ o środku $S$ i promieniu $r$ nazywamy stycznymi, gdy spełniony jest dowolny z poniższych warunków. Wszystkie trzy są równoważne, więc używasz tego, który w danym zadaniu jest szybszy.

Warunek 1 - odległość:
$d(S, l) = r$

Odległość środka okręgu od prostej jest dokładnie równa promieniowi. To najczęściej używany warunek na maturze, bo wzór na odległość punktu od prostej jest na karcie wzorów CKE i nie musisz go pamiętać.

Warunek 2 - delta = 0:
Po wstawieniu równania prostej do równania okręgu dostajesz równanie kwadratowe z jednym rozwiązaniem - czyli delta = 0.

Warunek 3 - jeden punkt wspólny:
Układ równań prosta-okrąg ma dokładnie jedno rozwiązanie. To w sumie ta sama informacja co warunek 2, ale można ją sprawdzić bez pisania delty (np. graficznie albo przez parametryzację).

W praktyce w 80 procentach zadań szybciej jest porównać odległość z promieniem. Drugi warunek przydaje się głównie wtedy, gdy interesuje cię nie tylko sama styczność, ale i punkt styczności - bo dostajesz go automatycznie po rozwiązaniu układu.

Wzór na styczną w punkcie - dwie wersje

To jest ten wzór, który MUSISZ zapamiętać. Albo umieć wyprowadzić w trzy linijki, co jest pewniejsze - bo wyprowadzenie z prostopadłości promienia nie wymaga niczego poza iloczynem skalarnym.

Okrąg o środku w początku układu

Jeśli mamy okrąg $x^2 + y^2 = r^2$ i punkt $P(x_0, y_0)$ leżący na nim, to równanie stycznej w $P$ ma postać:

$x \cdot x_0 + y \cdot y_0 = r^2$

Sposób zapamiętania: w równaniu okręgu zamieniasz jeden czynnik $x$ na $x_0$ i jeden czynnik $y$ na $y_0$. Czyli $x^2$ traktujesz jak $x \cdot x$ i jeden $x$ zamieniasz na $x_0$. Identycznie dla $y^2$. Po polsku: "podwajasz, dzielisz na pół, zostawiasz indeks zero przy jednym z czynników". Brzmi dziwnie, ale działa.

Okrąg o dowolnym środku

Jeśli okrąg ma postać $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ i punkt $P(x_0, y_0)$ leży na nim, to styczna w $P$ ma równanie:

$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$

Ta sama zasada: bierzesz lewą stronę równania okręgu i jeden czynnik $(x-a)$ zamieniasz na $(x_0 - a)$, jeden czynnik $(y-b)$ na $(y_0 - b)$.

UWAGA: ten wzór NIE jest na karcie wzorów CKE. Musisz go znać sam albo umieć wyprowadzić z warunku prostopadłości promienia. Większość uczniów go zapomina, więc warto sobie wyrobić wyprowadzenie do automatu.

Wyprowadzenie w 3 linijkach

Niech $S(a, b)$ to środek okręgu, a $P(x_0, y_0)$ - punkt styczności. Wektor promienia w punkcie $P$ to:
$\vec{SP} = [x_0 - a, y_0 - b]$

Styczna w $P$ jest do tego wektora prostopadła. Punkt $Q(x, y)$ leży na stycznej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor $\vec{PQ} = [x - x_0, y - y_0]$ jest prostopadły do $\vec{SP}$. Z iloczynu skalarnego wynika warunek:

$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$

Po rozwinięciu i wykorzystaniu, że $P$ leży na okręgu (czyli $(x_0-a)^2 + (y_0-b)^2 = r^2$), dostajemy wzór wyżej. Trzy linijki, koniec.

Postać ogólna okręgu - jak nie zgubić środka

Często okrąg w zadaniu nie jest podany w wygodnej postaci kanonicznej, tylko jako $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Wtedy zanim cokolwiek policzysz, musisz wyciągnąć środek i promień.

Wzory na środek i promień z postaci ogólnej:
$S\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right), \quad r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} - F}$

UWAGA na znaki. Środek to $S(-D/2, -E/2)$, NIE $S(D, E)$. Najczęstszy błąd na maturze.

Druga metoda - sprowadzenie do postaci kanonicznej przez uzupełnienie do kwadratu:
$x^2 + Dx = \left(x + \frac{D}{2}\right)^2 - \frac{D^2}{4}$

To samo dla $y$. Po przegrupowaniu wszystko po lewej stronie - i wynik widać od razu.

Przykład: okrąg $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$.
Uzupełniam do kwadratu:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 4 - 9 - 3 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$
Środek $S(2, -3)$, promień $r = 4$. I dopiero teraz możesz liczyć styczne.

Styczna do okręgu w punkcie - drugi sposób (bez wzoru)

Niektóre podręczniki nie podają wzoru $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$. Wtedy stosujesz schemat oparty na prostopadłości promienia, który zawsze działa.

Schemat:

Krok 1: Policz wektor promienia $\vec{SP} = [x_0 - a, y_0 - b]$.

Krok 2: Wektor kierunkowy stycznej musi być prostopadły do $\vec{SP}$. Wystarczy zamienić współrzędne miejscami i jednej zmienić znak: $\vec{v} = [-(y_0 - b), x_0 - a]$ lub $\vec{v} = [y_0 - b, -(x_0 - a)]$.

Krok 3: Zapisz równanie prostej przechodzącej przez $P$ o wektorze kierunkowym $\vec{v}$. Najprościej parametrycznie albo z postaci kierunkowej: $y - y_0 = m(x - x_0)$, gdzie $m$ wyciągasz z wektora kierunkowego.

Przykład: okrąg $x^2 + y^2 = 25$, punkt $P(3, 4)$.
Promień: $\vec{SP} = [3, 4]$. Wektor prostopadły: $\vec{v} = [-4, 3]$ (lub $[4, -3]$).
Współczynnik kierunkowy stycznej: $m = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.
Równanie: $y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)$, czyli po uporządkowaniu $3x + 4y = 25$.

Wynik ten sam co ze wzoru $x x_0 + y y_0 = r^2$, tylko liczone "ręcznie". Wybierasz metodę, która ci leży lepiej.

Typowe pułapki i błędy na maturze

Co musisz umieć - checklista

Definicja stycznej i podstawowa własność: w punkcie styczności promień jest prostopadły do stycznej.

Trzy warunki styczności: odległość środka od prostej równa promieniowi, delta układu równa zeru, jeden punkt wspólny.

Wzór na styczną w punkcie dla okręgu o środku w (0, 0): $x x_0 + y y_0 = r^2$.

Wzór na styczną w punkcie dla okręgu o dowolnym środku: $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$.

Schemat wyznaczania stycznych z punktu zewnętrznego: zapisz pęk prostych przez punkt, warunek odległości od środka, równanie kwadratowe na $m$, dwa rozwiązania.

Schemat wyznaczania stycznej równoległej lub prostopadłej do danej prostej: ustal współczynnik kierunkowy z warunku równoległości albo prostopadłości, podstaw do pęku z niewiadomym wyrazem wolnym, warunek odległości.

Wzór na odległość punktu od prostej - musi być w pamięci. Karta wzorów go ma, ale szybciej działa, gdy go znasz.

Postać ogólna okręgu i sprowadzenie do kanonicznej (uzupełnienie do kwadratu).

Sprawdzenie, czy punkt leży wewnątrz, na, czy poza okręgiem - porównanie wartości lewej strony równania okręgu z $r^2$.

Podsumowanie

Wszystkie zadania o stycznej do okręgu sprowadzają się do trzech wzorów: równania okręgu, równania prostej i odległości punktu od prostej. Reszta to algebra. Najczęstszy schemat na maturze to: zapisz pęk prostych przez dany punkt, przyrównaj odległość środka do promienia, rozwiąż równanie kwadratowe na współczynnik kierunkowy. To są te same trzy kroki, niezależnie od tego, co jeszcze jest w zadaniu.

Jeśli punkt z polecenia leży NA okręgu, dostajesz prezent - jest jedna styczna i liczysz ją ze wzoru $x x_0 + y y_0 = r^2$ (po odpowiednim przesunięciu dla okręgu nie w (0, 0)). Jeśli punkt jest poza okręgiem, są dwie styczne i liczysz je z pęku. Jeśli punkt jest wewnątrz okręgu, stycznej nie ma w ogóle - prosta przez punkt wewnętrzny zawsze przecina okrąg w dwóch punktach.

Po tym poradniku rzuć okiem na inne tematy z geometrii analitycznej, które łączą się ze stycznymi: równanie okręgu, równanie prostej przez dwa punkty, odległość między punktami, kąt między prostymi. Wszystkie one prędzej czy później wracają w zadaniach łączonych. Jeśli przed tobą jest matura poprawkowa w sierpniu, w planie powtórek do poprawki ten temat warto wpisać na pierwszą połowę przygotowań - styczne do okręgu pojawiają się w arkuszach CKE z zaskakującą regularnością.

W naszej pełnej bazie zadań z geometrii analitycznej znajdziesz dziesiątki zadań CKE ze stycznymi - klikaj numery zadań i ćwicz, aż schemat sam wskoczy ci do głowy. Trzy zadania z każdej kategorii (na okręgu, z punktu zewnętrznego, z parametrem) wystarczą, żebyś nigdy więcej nie zawahał się na maturze.

Następny krok Losuj kolejne zadanie