Dany jest okrąg O o środku w punkcie S. Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto: |PB| = 4, |PC| = 8 oraz |PD| = 5. Oblicz promień okręgu O. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: r=7
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów ACP oraz BPD.
Spójrzmy na kąty ABD i ACD. Są to dwa kąty wpisane, które oparte są na tym samym łuku, co z kolei prowadzi nas do wniosku, że miary tych kątów będą jednakowe.
Analogicznie jest w przypadku kątów BAC oraz BDC - tutaj także mamy kąty oparte na tym samym łuku, więc miara tych dwóch kątów będzie taka sama.
Dodatkowo trzeba zauważyć, że kąty APC oraz BPD są kątami wierzchołkowymi, czyli w tej parze miara kątów również będzie jednakowa.
To wszystko sprawia, że trójkąty ACP oraz BPD będą na pewno trójkątami podobnymi (cecha: kąt-kąt-kąt).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka PA.
Z podobieństwa trójkątów wynika, że możemy ułożyć następujące równanie:
|PA|/|PD|=|PC|/|PB|
Podstawiając znane długości boków, otrzymamy:
|PA|/5=8/4
Mnożąc teraz na krzyż wyjdzie nam, że:
|PA| · 4=5 · 8 4|PA|=40 |PA|=10
Krok 3. Obliczenie długości średnicy okręgu.
Z rysunku wynika, że średnica AB jest równa sumie odcinków PA oraz PB, zatem:
|AB|=10+4 |AB|=14
Krok 4. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień jest zawsze równy połowie średnicy, zatem:
r=14:2 r=7
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.