Dane są dwa kąty o miarach α oraz β, spełniające warunki: α ∈ (0°, 180°) i tg α= -2/3 oraz β ∈ (0°, 180°) i cos β= 1/√(10). Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) zaznaczono różne kąty - w tym kąt o mierze α oraz kąt o mierze β. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. 1. Kąt α jest zaznaczony na rysunku 2. Kąt β jest zaznaczony na rysunku
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 1.B 2.D
Krok 1. Omówienie kąta α.
Opisana w treści zadania sytuacja związana jest z następującymi wzorami, które możemy znaleźć w tablicach matematycznych:
sinα=y/r cosα=x/r tgα=y/x
W powyższych wzorach x oraz y to współrzędne punktu, który znajduje się na jednym z ramion zaznaczonego kąta, natomiast r to odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.
Zacznijmy zatem od kąta α. Wiemy, że tgα=-2/3. Z wypisanych wcześniej wzorów wynika więc, że x=3 oraz y=-2, albo też x=-3 oraz y=2 (nie są to co prawda jedyne możliwości, bo równie dobrze mogłoby to być np. x=6 oraz y=-4, ale właśnie te dwie pary współrzędnych należałoby przeanalizować w pierwszej kolejności). Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy na rysunkach sytuacji, w której punkt leżący na ramieniu kąta przyjmuje współrzędne (3,-2) lub (-3,2) i widzimy, że właśnie ten drugi przypadek znalazł się na rysunku z odpowiedzi B.
Krok 2. Omówienie kąta β.
Z zapisu cosβ=1/√(10) wynika, że pasowałaby nam taka odpowiedź, w której x=1, a odległość punktu od początku układu współrzędnych to r=√(10). Tylko rysunek z odpowiedzi D ma zaznaczony punkt o współrzędnej x=1, więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź. Odległość r=√(10) też się tutaj zgadza.
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.