Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

Krok 1. Zapisanie równań.

Z treści zadania wynika, że krótsza podstawa (oznaczmy ją jako b) oraz wysokość h mają mieć łączną długość równą 18 dm. Zapiszmy zatem, że:

b+h=18 b=18-h

Przy okazji możemy zapisać założenie, że b musi być mniejsze od 12 (bo w przeciwnym wypadku nie będzie to krótsza podstawa) i oczywiście musi być większe od 0, zatem b ∈ (0,12).

Pole trapezu obliczamy ze wzoru:

P=1/2(a+b) · h

Wiemy, że a=12 oraz b=18-h, zatem moglibyśmy zapisać, że:

P=1/2(12+18-h) · h P=1/2(30-h) · h P=(15-1/2 h) · h P=15h-1/2 h² P=-1/2 h²+15h

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji P(h).

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni trapezu można opisać wzorem P=-1/2 h²+15h. W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości h otrzymamy konkretne pole P). Zapisalibyśmy więc, że P(h)=-1/2 h²+15h.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik a=-1/2. Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego h to pole P będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości h ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną x_W wierzchołka paraboli:

x_W=-b/(2a) x_W=-15/(2 · (-1/2)) x_W=-15/-1 x_W=15

Wyliczyliśmy zatem, że pole powierzchni będzie największe gdy h=15.

Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej podstawy.

Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość krótszej podstawy, którą oznaczyliśmy jako b. Zapisaliśmy sobie wcześniej, że b=18-h, zatem:

b=18-15 b=3 dm

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu.

Na koniec musimy obliczyć pole trapezu. Skorzystamy ze standardowego wzoru na pole trapezu, bo znamy wszystkie miary naszego trapezu, czyli a=12, b=3 oraz h=15. Zatem:

P=1/2 · (12+3) · 15 P=1/2 · 15 · 15 P=112,5 dm²