W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę. Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x=9/2, y=3
Krok 1. Zapisanie równania wiążącego x i y.
Ogrodzenie składa się z czterech odcinków o długości x (w tym ścianek wewnętrznych) oraz sześciu odcinków o długości y. Zatem:
4x+6y=36
Krok 2. Wyrażenie pola w funkcji jednej zmiennej.
Suma pól trzech wybiegów to P=3 · (x · y)=3xy. Z równania 4x+6y=36 wyznaczamy y:
y=(36-4x)/6=-2/3 x+6
Podstawiamy do wzoru na pole:
P=3x · (-2/3 x+6)=3x · (-2/3 x+6)=-2x²+18x
Dziedzina: x>0 oraz y>0, czyli -2/3 x+6>0, więc x<9. Zatem x ∈ (0;9).
Krok 3. Wyznaczenie maksimum funkcji kwadratowej.
Funkcja P(x)=-2x²+18x ma współczynnik a=-2<0, więc ramiona paraboli skierowane w dół - wartość największa jest w wierzchołku:
x_W=-b/(2a)=-18/(2 · (-2))=-18/-4=4,5
Obliczamy y:
y=-2/3 · 4,5+6=-3+6=3
Odpowiedź: Suma pól podstaw wybiegów jest największa, gdy x=4,5 m oraz y=3 m.
Optymalizacja: Zadania o wartości najmniejszej i największej: dobór zmiennej, zapisanie funkcji celu i wyznaczenie ekstremum.