Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba n²+(n+1)²+(n+2)² przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEMusimy wykazać, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba n² + (n+1)² + (n+2)² przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
Krok 1. Rozwijamy wyrażenie.
n² + (n+1)² + (n+2)² = n² + n² + 2n + 1 + n² + 4n + 4 = 3n² + 6n + 5
Krok 2. Wyodrębniamy składniki podzielne przez 3.
3n² + 6n + 5 = 3(n² + 2n) + 5
Wyrażenie 3(n² + 2n) jest podzielne przez 3 dla każdego n.
Krok 3. Sprawdzamy resztę z dzielenia 5 przez 3.
5 = 3 · 1 + 2
Zatem 5 daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3.
Krok 4. Wniosek.
Skoro 3(n² + 2n) dzieli się przez 3, to reszta z dzielenia całego wyrażenia przez 3 jest taka sama jak reszta z dzielenia 5 przez 3, czyli wynosi 2.
Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba n² + (n+1)² + (n+2)² daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3, co kończy dowód.
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.