Matura maj 2024 - matematyka, rozwiązania wszystkich zadań

O arkuszu - Matura maj 2024

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2024 to egzamin, do którego przystąpiło ponad 270 tysięcy maturzystów. Arkusz zawierał 35 zadań: 21 zamkniętych i 14 otwartych, za łącznie 46 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 14 punktów.

Rok 2024 to trzeci rok obowiązywania nowej formuły egzaminu (od 2023) - CKE ustabilizowało już format i poziom trudności. Jeśli przygotowujesz się do matury 2025 lub 2026, analiza tego arkusza jest obowiązkowa - daje dokładny obraz tego, czego oczekuje CKE. Sprawdź też rozwiązania z sesji dodatkowej z czerwca 2024 i matury majowej 2025, żeby zobaczyć ewolucję poziomu trudności.

Wszystkie 35 zadań z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie na Sprawnej Maturze.

Rozkład kategorii w arkuszu

Arkusz z maja 2024 to absolutna dominacja potęg i pierwiastków - aż 10 zadań za 14 punktów! To niemal jedna trzecia całego arkusza. Na drugim miejscu znalazła się planimetria (2 zadania, ale za 5 punktów - czyli jedno trudne zadanie otwarte za 4 punkty). Przeczytaj nasze przewodniki po potęgach i planimetrii.

Porównaj z sesją dodatkową z czerwca 2024, gdzie dominowała geometria analityczna (9 zadań) - CKE lubi zmieniać proporcje między sesjami.

Poziom trudności

Arkusz majowy 2024 był oceniany jako średnio trudny - łatwiejszy niż matura 2023, ale trudniejszy niż sesje próbne. Zdawalność wyniosła ok. 88%.

Łatwe (ok. 14 punktów) - wartość bezwzględna, potęgi, logarytmy, procenty, statystyka. Klasyczne zadania z szablonu - kto je znał, rozwiązywał w 1-2 minuty. To minimum do zdania.

Średnie (ok. 18 punktów) - ciągi arytmetyczne, funkcja kwadratowa, geometria analityczna, równania. Wymagają znajomości wzorów i umiejętności ich zastosowania. Solidna powtórka z ciągów i funkcji kwadratowej załatwia sprawę.

Trudne (ok. 14 punktów) - wielomian trzeciego stopnia, dowód podzielności, planimetria z okręgami, prawdopodobieństwo. Zadania, które oddzielają zdających z wynikiem 60% od tych z 80%+.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt) ↗

Treść: Nierówność $|x-1| \geq 3$ jest spełniona dla

Rozwiązanie:

Nierówność z wartością bezwzględną typu $|W| \geq c$ rozbijamy na dwa przypadki:

$$x - 1 \geq 3 \quad \text{lub} \quad x - 1 \leq -3$$ $$x \geq 4 \quad \text{lub} \quad x \leq -2$$

Zbiór rozwiązań: $(-\infty, -2\rangle \cup \langle 4, +\infty)$

Odpowiedź: $x \leq -2$ lub $x \geq 4$

Uwaga na znak nierówności - $\geq$ oznacza, że końce przedziałów są domknięte (punkty $-2$ i $4$ należą do rozwiązania). Gdyby było $>$ zamiast $\geq$, końce byłyby otwarte. Wielu uczniów traci punkt na takim szczególe.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16}$ jest równa

Rozwiązanie:

Sprowadzamy wszystko do podstawy 2:

$$\left(\frac{1}{16}\right)^8 = (16^{-1})^8 = (2^4)^{-8} = 2^{-32}$$ $$8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}$$

Mnożymy potęgi o tej samej podstawie (dodajemy wykładniki):

$$2^{-32} \cdot 2^{48} = 2^{-32+48} = 2^{16}$$

Odpowiedź: $2^{16}$

Na maturze 2024 pojawiło się aż 10 zadań z potęg - to rekord w historii nowej formuły. Wniosek: potęgi musisz opanować do perfekcji. Ćwicz zadania z potęg!

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 3 - Dowodzenie (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ wyrażenie $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3.

Rozwiązanie:

Krok 1: Rozwijamy wyrażenie:

$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$$ $$= n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$$ $$= 3n^2 + 6n + 5$$

Krok 2: Wydzielamy wielokrotność 3:

$$3n^2 + 6n + 5 = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$$

Krok 3: Upraszczamy:

$$= 3(n+1)^2 + 2$$

Ponieważ $3(n+1)^2$ jest podzielne przez 3 (bo jest wielokrotnością 3), reszta z dzielenia całego wyrażenia przez 3 wynosi 2. $\square$

Kluczowa technika: rozwinięcie i pogrupowanie wyrazów tak, żeby wydzielić wielokrotność dzielnika. Ten schemat - "rozwiń, pogrupuj, wyciągnij czynnik" - pojawia się na maturze co roku. Porównaj z zadaniem 5 z matury sierpniowej 2025 i zadaniem 3 z matury próbnej CKE grudzień 2024 - te same schematy, różne liczby.

Wskazówka egzaminacyjna: W dowodach na resztę z dzielenia cel jest jeden: zapisać wyrażenie w postaci $\text{dzielnik} \cdot k + \text{reszta}$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Wartość $\log_{\sqrt{3}} 9$ jest równa

Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji logarytmu: $\log_{\sqrt{3}} 9 = x$ oznacza $(\sqrt{3})^x = 9$.

Zamieniamy na potęgi trójki:

$$(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^2$$ $$3^{\frac{x}{2}} = 3^2$$

Porównujemy wykładniki:

$$\frac{x}{2} = 2 \implies x = 4$$

Odpowiedź: $4$

Metoda alternatywna (zmiana podstawy): $\log_{\sqrt{3}} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$. Zmiana podstawy logarytmu to potężne narzędzie - działa zawsze, gdy definicja wydaje się trudna. Przeczytaj nasz przewodnik po logarytmach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 9 - Wielomian (otwarte, 3 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$

Rozwiązanie:

Krok 1 - Grupowanie wyrazów. Dzielimy 4 wyrazy na 2 pary:

$$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = (x^3 - 2x^2) + (-3x + 6)$$

Krok 2 - Wyciąganie wspólnego czynnika z każdej pary:

$$= x^2(x - 2) - 3(x - 2)$$

Krok 3 - Wyciągamy wspólny nawias $(x-2)$:

$$= (x - 2)(x^2 - 3)$$

Krok 4 - Rozkładamy $x^2 - 3$ (różnica kwadratów z $\sqrt{3}$):

$$= (x - 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$

Rozwiązania: $x = 2$, $x = \sqrt{3}$, $x = -\sqrt{3}$

Odpowiedź: $x \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 2\}$

Grupowanie to kluczowa technika dla wielomianów trzeciego stopnia na maturze. Schemat: (1) podziel 4 wyrazy na 2 pary, (2) z każdej pary wyciągnij wspólny czynnik, (3) powinieneś dostać wspólny nawias. Jeśli grupowanie nie działa od razu, spróbuj innego podziału na pary.

Metoda alternatywna: Zgadnij pierwiastek (np. $x = 2$, bo $8 - 8 - 6 + 6 = 0$), a potem podziel wielomian przez $(x - 2)$ schematem Hornera, żeby dostać wielomian kwadratowy.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 10 - Procenty (1 pkt) ↗

Treść: Lokata bankowa z rocznym oprocentowaniem 4% po roku dała zysk 320 zł. Kwota wpłacona na lokatę wynosiła

Rozwiązanie:

Oznaczmy wpłaconą kwotę jako $K$. Zysk to 4% kwoty:

$$0{,}04 \cdot K = 320$$ $$K = \frac{320}{0{,}04} = \frac{320}{\frac{4}{100}} = 320 \cdot \frac{100}{4} = 320 \cdot 25 = 8000 \text{ zł}$$

Odpowiedź: $8000$ zł

Proste zadanie na procenty - odwracamy obliczanie procentu z liczby. Takie zadania to "darmowe" punkty na maturze. Trick: dzielenie przez 0,04 to to samo co mnożenie przez 25.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 36 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt) ↗

Treść: W worku jest 5 kul białych i 3 kule czarne. Losujemy kolejno 2 kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kule różnych kolorów.

Rozwiązanie:

Możemy wylosować kule różnych kolorów na dwa sposoby:

Sposób 1: najpierw biała, potem czarna

Prawdopodobieństwo biała w pierwszym losowaniu: $\frac{5}{8}$. Po wyjęciu białej zostaje 4 białe i 3 czarne (7 kul). Prawdopodobieństwo czarna w drugim: $\frac{3}{7}$.

$$P_1 = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$$

Sposób 2: najpierw czarna, potem biała

$$P_2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$$

Zdarzenia są rozłączne (nie mogą zajść jednocześnie), więc dodajemy:

$$P = P_1 + P_2 = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$$

Odpowiedź: $P = \frac{15}{28}$

Metoda alternatywna (zdarzenie przeciwne): $P(\text{różne}) = 1 - P(\text{takie same})$. Prawdopodobieństwo, że obie białe: $\frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{10}{28}$. Prawdopodobieństwo, że obie czarne: $\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{3}{28}$. Zatem $P = 1 - \frac{10}{28} - \frac{3}{28} = 1 - \frac{13}{28} = \frac{15}{28}$. Oba podejścia dają ten sam wynik - wybierz to, które jest dla Ciebie wygodniejsze.

Więcej ćwiczeń z prawdopodobieństwa i przeczytaj przewodnik po prawdopodobieństwie i kombinatoryce.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 35 zadań z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury 2024

Analiza tego arkusza daje jasne wskazówki na przyszłość:

1. Potęgi to absolutny fundament - 10 zadań za 14 punktów. Bez biegłości w potęgach nie zdasz matury. Punkt wyjścia: zadania z potęg. Musisz umieć: sprowadzać do wspólnej podstawy, działać na wykładnikach ujemnych i wymiernych, upraszczać wyrażenia z pierwiastkami
2. Dowody to gwarantowane 2 punkty - schemat "rozwiń, pogrupuj, wyciągnij czynnik" działa co roku. Przećwicz go na 5-6 przykładach i będziesz gotowy
3. Wielomiany wróciły - zadanie za 3 punkty na grupowanie wyrazów. Warto znać schemat Hornera i metodę zgadywania pierwiastka wymiernego
4. Planimetria za dużo punktów - jedno zadanie za 4 punkty potrafi zdecydować o wyniku. Ćwicz planimetrię
5. Prawdopodobieństwo - regularnie pojawia się jako zadanie otwarte za 2 punkty. Dwa podejścia (bezpośrednie i przez zdarzenie przeciwne) musisz znać oba

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Oto konkretny plan:

1. Rozwiąż cały arkusz na czas (170 minut) - symulacja egzaminu
2. Sprawdź odpowiedzi i policz punkty
3. Przeanalizuj błędy - zapisz, w jakich kategoriach tracisz punkty
4. Powtórz słabe kategorie - skorzystaj z naszych przewodników tematycznych
5. Rozwiąż analogiczny arkusz - np. sesję dodatkową z czerwca 2024 albo maturę próbną CKE grudzień 2024

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na Sprawnej Maturze - mamy 2438 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na losowe zadanie, żeby przetestować swoją gotowość, albo sprawdź nasz plan premium po pełne rozwiązania wszystkich zadań.