Matura maj 2024 matematyka - rozwiązania wszystkich 35 zadań

O arkuszu - Matura maj 2024

Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2024 to egzamin, do którego przystąpiło ponad 270 tysięcy maturzystów. Arkusz zawierał 35 zadań: 21 zamkniętych i 14 otwartych, za łącznie 46 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 14 punktów.

Rok 2024 to trzeci rok obowiązywania nowej formuły egzaminu (od 2023) - CKE ustabilizowało już format i poziom trudności. Jeśli przygotowujesz się do matury 2027, analiza tego arkusza jest obowiązkowa - daje dokładny obraz tego, czego oczekuje CKE. Sprawdź też rozwiązania z sesji dodatkowej z czerwca 2024 i matury majowej 2025, żeby zobaczyć ewolucję poziomu trudności.

Zadania z tego arkusza dostępne w naszej bazie rozwiążesz interaktywnie na Sprawnej Maturze.

Rozkład kategorii w arkuszu

Kategoria	Liczba zadań	Punkty
Potęgi i pierwiastki	10	14
Planimetria	2	5
Równania i nierówności	4	4
Geometria analityczna	3	4
Ciągi	3	4
Funkcja kwadratowa	2	3
Funkcja liniowa	2	2
Funkcje	2	2
Stereometria	2	2
Prawdopodobieństwo	1	2
Logarytmy	1	1
Procenty	1	1
Liczby rzeczywiste	1	1
Statystyka	1	1

Arkusz z maja 2024 to absolutna dominacja potęg i pierwiastków - aż 10 zadań za 14 punktów! To niemal jedna trzecia całego arkusza. Na drugim miejscu znalazła się planimetria (2 zadania, ale za 5 punktów - czyli jedno trudne zadanie otwarte za 4 punkty). Przeczytaj nasze przewodniki po potęgach i planimetrii.

Porównaj z sesją dodatkową z czerwca 2024, gdzie dominowała geometria analityczna (9 zadań) - CKE lubi zmieniać proporcje między sesjami.

Poziom trudności

Arkusz majowy 2024 był oceniany jako średnio trudny - łatwiejszy niż matura 2023, ale trudniejszy niż sesje próbne. Zdawalność wyniosła ok. 88%.

Łatwe (ok. 14 punktów) - wartość bezwzględna, potęgi, logarytmy, procenty, statystyka. Klasyczne zadania z szablonu - kto je znał, rozwiązywał w 1-2 minuty. To minimum do zdania.

Średnie (ok. 18 punktów) - ciągi arytmetyczne, funkcja kwadratowa, geometria analityczna, równania. Wymagają znajomości wzorów i umiejętności ich zastosowania. Solidna powtórka z ciągów i funkcji kwadratowej załatwia sprawę.

Trudne (ok. 14 punktów) - wielomian trzeciego stopnia, dowód podzielności, planimetria z okręgami, prawdopodobieństwo. Zadania, które oddzielają zdających z wynikiem 60% od tych z 80%+.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt)

Treść: Nierówność $|x-1| \geq 3$ jest spełniona dla

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Nierówność z wartością bezwzględną typu $|W| \geq c$ rozbijamy na dwa przypadki:

x - 1 \geq 3 \quad \text{lub} \quad x - 1 \leq -3

x \geq 4 \quad \text{lub} \quad x \leq -2

Zbiór rozwiązań: $(-\infty, -2\rangle \cup \langle 4, +\infty)$

Odpowiedź

$x \leq -2$ lub $x \geq 4$

Uwaga na znak nierówności - $\geq$ oznacza, że końce przedziałów są domknięte (punkty $-2$ i $4$ należą do rozwiązania). Gdyby było $>$ zamiast $\geq$ , końce byłyby otwarte. Wielu uczniów traci punkt na takim szczególe.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt) ↗

Matura maj 2024Zadanie 2Potęgi i pierwiastki1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16}

jest równa

A. $2^{24}$
B. $2^{16}$
C. $2^{12}$
D. $2^8$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Sformułowanie z wpisu: Wartość wyrażenia $\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16}$ jest równa

Rozwiązanie:

Sprowadzamy wszystko do podstawy 2:

\left(\frac{1}{16}\right)^8 = (16^{-1})^8 = (2^4)^{-8} = 2^{-32}

8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}

Mnożymy potęgi o tej samej podstawie (dodajemy wykładniki):

2^{-32} \cdot 2^{48} = 2^{-32+48} = 2^{16}

Odpowiedź

$2^{16}$

Na maturze 2024 pojawiło się aż 10 zadań z potęg - to rekord w historii nowej formuły. Wniosek: potęgi musisz opanować do perfekcji. Ćwicz zadania z potęg!

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Potęgi i pierwiastki

Zadanie 3 - Dowodzenie (otwarte, 2 pkt)

Treść: Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ wyrażenie $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1
Rozwijamy wyrażenie:
$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ $= n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$ $= 3n^2 + 6n + 5$
Krok 2
Wydzielamy wielokrotność 3:
$3n^2 + 6n + 5 = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$
Krok 3
Upraszczamy:
$= 3(n+1)^2 + 2$
Ponieważ $3(n+1)^2$ jest podzielne przez 3 (bo jest wielokrotnością 3), reszta z dzielenia całego wyrażenia przez 3 wynosi 2. $\square$
Kluczowa technika: rozwinięcie i pogrupowanie wyrazów tak, żeby wydzielić wielokrotność dzielnika. Ten schemat - "rozwiń, pogrupuj, wyciągnij czynnik" - pojawia się na maturze co roku. Porównaj z zadaniem 5 z matury sierpniowej 2025 i zadaniem 3 z matury próbnej CKE grudzień 2024 - te same schematy, różne liczby.
Wskazówka egzaminacyjna
W dowodach na resztę z dzielenia cel jest jeden: zapisać wyrażenie w postaci $\text{dzielnik} \cdot k + \text{reszta}$ , gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Matura maj 2024Zadanie 4Logarytmy1 pkt

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

\log _{\sqrt{3}} 9

jest równa

A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $9$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Sformułowanie z wpisu: Wartość $\log_{\sqrt{3}} 9$ jest równa

Rozwiązanie:

Korzystamy z definicji logarytmu: $\log_{\sqrt{3}} 9 = x$ oznacza $(\sqrt{3})^x = 9$ .

Zamieniamy na potęgi trójki:

(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^2

3^{\frac{x}{2}} = 3^2

Porównujemy wykładniki:

\frac{x}{2} = 2 \implies x = 4

Odpowiedź

$4$

Metoda alternatywna (zmiana podstawy): $\log_{\sqrt{3}} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$ . Zmiana podstawy logarytmu to potężne narzędzie - działa zawsze, gdy definicja wydaje się trudna. Przeczytaj nasz przewodnik po logarytmach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Logarytmy

Zadanie 9 - Wielomian (otwarte, 3 pkt) ↗

Matura maj 2024Zadanie 9Wielomiany3 pktOtwarte

Rozwiąż równanie

x^{3}-2 x^{2}-3 x+6=0

Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Krok 1
Grupowanie wyrazów
Dzielimy 4 wyrazy na 2 pary:
$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = (x^3 - 2x^2) + (-3x + 6)$
Krok 2
Wyciąganie wspólnego czynnika z każdej pary:
$= x^2(x - 2) - 3(x - 2)$
Krok 3
Wyciągamy wspólny nawias $(x-2)$ :
$= (x - 2)(x^2 - 3)$
Krok 4
Rozkładamy $x^2 - 3$ (różnica kwadratów z $\sqrt{3}$ ):
$= (x - 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$
Rozwiązania: $x = 2$ , $x = \sqrt{3}$ , $x = -\sqrt{3}$

Odpowiedź

$x \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 2\}$

Grupowanie to kluczowa technika dla wielomianów trzeciego stopnia na maturze. Schemat: (1) podziel 4 wyrazy na 2 pary, (2) z każdej pary wyciągnij wspólny czynnik, (3) powinieneś dostać wspólny nawias. Jeśli grupowanie nie działa od razu, spróbuj innego podziału na pary.

Metoda alternatywna: Zgadnij pierwiastek (np. $x = 2$ , bo $8 - 8 - 6 + 6 = 0$ ), a potem podziel wielomian przez $(x - 2)$ schematem Hornera, żeby dostać wielomian kwadratowy.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Wielomiany

Zadanie 10 - Procenty (1 pkt)

Treść: Lokata bankowa z rocznym oprocentowaniem 4% po roku dała zysk 320 zł. Kwota wpłacona na lokatę wynosiła

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Oznaczmy wpłaconą kwotę jako $K$ . Zysk to 4% kwoty:

0{,}04 \cdot K = 320

K = \frac{320}{0{,}04} = \frac{320}{\frac{4}{100}} = 320 \cdot \frac{100}{4} = 320 \cdot 25 = 8000 \text{ zł}

Odpowiedź

$8000$ zł

Proste zadanie na procenty - odwracamy obliczanie procentu z liczby. Takie zadania to "darmowe" punkty na maturze. Trick: dzielenie przez 0,04 to to samo co mnożenie przez 25.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 36 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt)

Treść: W worku jest 5 kul białych i 3 kule czarne. Losujemy kolejno 2 kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kule różnych kolorów.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Możemy wylosować kule różnych kolorów na dwa sposoby:

Sposób 1: najpierw biała, potem czarna

Prawdopodobieństwo biała w pierwszym losowaniu: $\frac{5}{8}$ . Po wyjęciu białej zostaje 4 białe i 3 czarne (7 kul). Prawdopodobieństwo czarna w drugim: $\frac{3}{7}$ .

P_1 = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}

Sposób 2: najpierw czarna, potem biała

P_2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}

Zdarzenia są rozłączne (nie mogą zajść jednocześnie), więc dodajemy:

P = P_1 + P_2 = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}

Odpowiedź

$P = \frac{15}{28}$

Metoda alternatywna (zdarzenie przeciwne): $P(\text{różne}) = 1 - P(\text{takie same})$ . Prawdopodobieństwo, że obie białe: $\frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{10}{28}$ . Prawdopodobieństwo, że obie czarne: $\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{3}{28}$ . Zatem $P = 1 - \frac{10}{28} - \frac{3}{28} = 1 - \frac{13}{28} = \frac{15}{28}$ . Oba podejścia dają ten sam wynik - wybierz to, które jest dla Ciebie wygodniejsze.

Więcej ćwiczeń z prawdopodobieństwa i przeczytaj przewodnik po prawdopodobieństwie i kombinatoryce.

Wylosuj podobne zadanie

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Poniżej znajdziesz 29 z 31 zadań, jakie mamy z tego arkusza w naszej bazie, każde z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie:

Zadania zamknięte (1 pkt):

•Zadanie 1 - Wartość bezwzględna
•Zadanie 2 - Potęgi
•Zadanie 4 - Logarytmy
•Zadanie 5 - Potęgi i pierwiastki
•Zadanie 6 - Potęgi i pierwiastki
•Zadanie 7 - Funkcja liniowa
•Zadanie 8 - Liczby rzeczywiste
•Zadanie 10 - Procenty
•Zadanie 11 - Funkcja liniowa
•Zadanie 12 - Statystyka
•Zadanie 13 - Funkcje
•Zadanie 19 - Potęgi i pierwiastki
•Zadanie 20 - Potęgi i pierwiastki
•Zadanie 21 - Funkcje
•Zadanie 22 - Funkcja kwadratowa
•Zadanie 23 - Ciągi
•Zadanie 24 - Potęgi i pierwiastki

Zadania otwarte (2-5 pkt):

•Zadanie 3 - Dowodzenie (2 pkt)
•Zadanie 9 - Wielomian (3 pkt)
•Zadanie 25 - Geometria analityczna (2 pkt)
•Zadanie 26 - Ciągi (2 pkt)
•Zadanie 27 - Potęgi i pierwiastki (2 pkt)
•Zadanie 28 - Równania i nierówności (2 pkt)
•Zadanie 32 - Planimetria (2 pkt)
•Zadanie 33 - Równania i nierówności (2 pkt)
•Zadanie 34 - Stereometria (2 pkt)
•Zadanie 35 - Planimetria (4 pkt)
•Zadanie 36 - Prawdopodobieństwo (2 pkt)
•Zadanie 37 - Stereometria (2 pkt)

Kluczowe wnioski z matury 2024

Analiza tego arkusza daje jasne wskazówki na przyszłość:

1.Potęgi to absolutny fundament - 10 zadań za 14 punktów. Bez biegłości w potęgach nie zdasz matury. Punkt wyjścia: zadania z potęg. Musisz umieć: sprowadzać do wspólnej podstawy, działać na wykładnikach ujemnych i wymiernych, upraszczać wyrażenia z pierwiastkami
2.Dowody to gwarantowane 2 punkty - schemat "rozwiń, pogrupuj, wyciągnij czynnik" działa co roku. Przećwicz go na 5-6 przykładach i będziesz gotowy
3.Wielomiany wróciły - zadanie za 3 punkty na grupowanie wyrazów. Warto znać schemat Hornera i metodę zgadywania pierwiastka wymiernego
4.Planimetria za dużo punktów - jedno zadanie za 4 punkty potrafi zdecydować o wyniku. Ćwicz planimetrię
5.Prawdopodobieństwo - regularnie pojawia się jako zadanie otwarte za 2 punkty. Dwa podejścia (bezpośrednie i przez zdarzenie przeciwne) musisz znać oba

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Oto konkretny plan:

1.Rozwiąż cały arkusz na czas (180 minut) - symulacja egzaminu
2.Sprawdź odpowiedzi i policz punkty
3.Przeanalizuj błędy - zapisz, w jakich kategoriach tracisz punkty
4.Powtórz słabe kategorie - skorzystaj z naszych przewodników tematycznych
5.Rozwiąż analogiczny arkusz - np. sesję dodatkową z czerwca 2024 albo maturę próbną CKE grudzień 2024

Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na Sprawnej Maturze - mamy ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na losowe zadanie, żeby przetestować swoją gotowość, albo sprawdź nasz plan premium po pełne rozwiązania wszystkich zadań.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Matura maj 2024 - matematyka, rozwiązania wszystkich zadań

O arkuszu - Matura maj 2024

Rozkład kategorii w arkuszu

Poziom trudności

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt)

Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt) ↗

Zadanie 3 - Dowodzenie (otwarte, 2 pkt)

Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Zadanie 9 - Wielomian (otwarte, 3 pkt) ↗

Zadanie 10 - Procenty (1 pkt)

Zadanie 36 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt)

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Kluczowe wnioski z matury 2024

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Powiązane artykuły

Matura poprawkowa sierpień 2023 - matematyka, rozwiązania arkusza

Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa) - matematyka, rozwiązania

Matura czerwiec 2024 (sesja dodatkowa) - matematyka, zadania z arkusza i rozwiązania