Przejdź do treści
Ciągi

Ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze - wzory, własności i zadania z rozwiązaniami

Wszystko o ciągach na maturze z matematyki: wzory na n-ty wyraz i sumę, własności, monotoniczność. Przykłady z arkuszy CKE rozwiązane krok po kroku.

·3 min czytania

Ciągi na maturze - dlaczego to ważne?

W każdym arkuszu CKE pojawiają się 3-4 zadania z ciągów, łącznie za 5-7 punktów. Dobra wiadomość: zadania z ciągów są bardzo schematyczne - jeśli opanujesz kilka wzorów, rozwiążesz je szybko i pewnie.

Ciąg arytmetyczny - podstawowe wzory

Ciąg arytmetyczny to taki, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Tę różnicę oznaczamy rr.

a2−a1=a3−a2=…=ra_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = r

Wzór na n-ty wyraz

an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r

Przykład: Jeśli a1=3a_1 = 3 i r=5r = 5, to a10=3+9⋅5=48a_{10} = 3 + 9 \cdot 5 = 48.

Suma n pierwszych wyrazów

Dwa równoważne wzory - używaj tego, w którym znasz potrzebne dane:

Sn=(a1+an)⋅n2=2a1+(n−1)r2⋅nS_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n

Pierwszy wzór jest wygodniejszy, gdy znasz pierwszy i ostatni wyraz. Drugi - gdy znasz pierwszy wyraz i różnicę.

Własność środkowego wyrazu

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego:

an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów. To stąd nazwa "ciąg arytmetyczny". CKE uwielbia dawać układ równań, w którym ta własność jest kluczem do rozwiązania.

Ciąg geometryczny - podstawowe wzory

Ciąg geometryczny to taki, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Oznaczamy go qq.

a2a1=a3a2=…=q\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \ldots = q

Wzór na n-ty wyraz

an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Przykład: Jeśli a1=2a_1 = 2 i q=3q = 3, to a5=2⋅34=162a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162.

Suma n pierwszych wyrazów

Sn=a1⋅1−qn1−qdla q≠1S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{dla } q \neq 1

Własność środkowego wyrazu

an2=an−1⋅an+1a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}

Kwadrat środkowego wyrazu = iloczyn sąsiadów. To średnia geometryczna - i stąd nazwa "ciąg geometryczny".

Monotoniczność ciągów

Na maturze często pojawiają się pytania o monotoniczność:

Ciąg arytmetyczny:

  • •r>0r > 0 - ciąg rosnący
  • •r<0r < 0 - ciąg malejący
  • •r=0r = 0 - ciąg stały

Ciąg geometryczny (zakładając a1>0a_1 > 0):

  • •q>1q > 1 - ciąg rosnący
  • •0<q<10 < q < 1 - ciąg malejący
  • •q<0q < 0 - ciąg niemonotoniczny (wyrazy na przemian + i -)

Pułapka CKE: Ciąg geometryczny z q=−2q = -2 ma wyrazy: a1,−2a1,4a1,−8a1,…a_1, -2a_1, 4a_1, -8a_1, \ldots - na przemian dodatnie i ujemne. Taki ciąg nie jest monotoniczny, mimo że wartości bezwzględne rosną.

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Przykład 1: Wyznacz n-ty wyraz z warunków

0/5
Ciągi

Treść: W ciągu arytmetycznym a3=10a_3 = 10 i a7=26a_7 = 26. Wyznacz a15a_{15}.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Z wzoru na n-ty wyraz:
a3=a1+2r=10a_3 = a_1 + 2r = 10
a7=a1+6r=26a_7 = a_1 + 6r = 26 Odejmujemy równanie pierwsze od drugiego:
4r=16  ⟹  r=44r = 16 \implies r = 4 Podstawiamy do pierwszego równania:
a1+8=10  ⟹  a1=2a_1 + 8 = 10 \implies a_1 = 2 Obliczamy a15a_{15}:
a15=2+14⋅4=2+56=58a_{15} = 2 + 14 \cdot 4 = 2 + 56 = 58
Odpowiedź:

a15=58a_{15} = 58

Przykład 2: Suma wyrazów z warunkami

0/5
Ciągi

Treść: Suma 20 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 400, a a1=2a_1 = 2. Wyznacz różnicę rr.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Ze wzoru na sumę:
S20=2a1+19r2⋅20=400S_{20} = \frac{2a_1 + 19r}{2} \cdot 20 = 400 2⋅2+19r2⋅20=400\frac{2 \cdot 2 + 19r}{2} \cdot 20 = 400 4+19r2⋅20=400\frac{4 + 19r}{2} \cdot 20 = 400 (4+19r)⋅10=400(4 + 19r) \cdot 10 = 400 4+19r=404 + 19r = 40 19r=3619r = 36 r=3619r = \frac{36}{19}
Odpowiedź:

r=3619r = \frac{36}{19}

Przykład 3: Czy dany ciąg jest arytmetyczny?

0/5
Ciągi

Treść: Dany jest ciąg o wzorze ogólnym an=3n−1a_n = 3n - 1. Czy jest to ciąg arytmetyczny? Jeśli tak, podaj różnicę.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Sprawdzamy, czy różnica an+1−ana_{n+1} - a_n jest stała:

an+1−an=(3(n+1)−1)−(3n−1)=3n+3−1−3n+1=3a_{n+1} - a_n = (3(n+1) - 1) - (3n - 1) = 3n + 3 - 1 - 3n + 1 = 3

Różnica jest stała i wynosi 3, więc ciąg jest arytmetyczny z r=3r = 3.

Można też sprawdzić na kilku wyrazach: a1=2a_1 = 2, a2=5a_2 = 5, a3=8a_3 = 8. Różnice: 5−2=35-2 = 3, 8−5=38-5 = 3. Zgadza się.

Odpowiedź:

Tak, ciąg jest arytmetyczny z r=3r = 3.

Przykład 4: Procent składany (ciąg geometryczny)

0/5
Ciągi

Treść: Na lokacie bankowej złożono 10 000 zł z oprocentowaniem 4% w skali roku (procent składany). Ile pieniędzy będzie na koncie po 5 latach?

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Kwota po każdym roku tworzy ciąg geometryczny z a1=10000a_1 = 10000 i q=1,04q = 1{,}04.

Kwota po 5 latach:
a6=a1⋅q5=10000⋅1,045a_6 = a_1 \cdot q^5 = 10000 \cdot 1{,}04^5 Obliczamy 1,0451{,}04^5:
1,042=1,08161{,}04^2 = 1{,}0816
1,044=1,08162≈1,16991{,}04^4 = 1{,}0816^2 \approx 1{,}1699
1,045=1,1699⋅1,04≈1,21671{,}04^5 = 1{,}1699 \cdot 1{,}04 \approx 1{,}2167 a6≈10000⋅1,2167=12 167 zła_6 \approx 10000 \cdot 1{,}2167 = 12\,167 \text{ zł}
Odpowiedź:

Po 5 latach na koncie będzie około 12 16712\,167 zł.

Przykład 5: Układ równań z ciągiem geometrycznym

0/5
Ciągi

Treść: W ciągu geometrycznym a2=6a_2 = 6 i a5=162a_5 = 162. Wyznacz a1a_1 i qq.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Z wzoru na n-ty wyraz:
a2=a1⋅q=6a_2 = a_1 \cdot q = 6
a5=a1⋅q4=162a_5 = a_1 \cdot q^4 = 162 Dzielimy drugie równanie przez pierwsze:
a1q4a1q=1626\frac{a_1 q^4}{a_1 q} = \frac{162}{6} q3=27  ⟹  q=3q^3 = 27 \implies q = 3 Z pierwszego równania:
a1⋅3=6  ⟹  a1=2a_1 \cdot 3 = 6 \implies a_1 = 2

Sprawdzenie: a1=2,a2=6,a3=18,a4=54,a5=162a_1 = 2, a_2 = 6, a_3 = 18, a_4 = 54, a_5 = 162. Zgadza się.

Odpowiedź:

a1=2a_1 = 2, q=3q = 3

Błędy, których musisz unikać

Błąd 1: Mylenie indeksowania. W wzorze an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)r - to n−1n-1, nie nn! Dla a5a_5 mnożysz rr przez 4, nie przez 5.

Błąd 2: W ciągu geometrycznym - dzielenie przez q=0q = 0 lub używanie wzoru na sumę przy q=1q = 1.

Błąd 3: Zapominanie o warunkach istnienia. Ciąg geometryczny wymaga a1≠0a_1 \neq 0 i q≠0q \neq 0.

Jak ćwiczyć ciągi efektywnie?

Rozwiąż przynajmniej 20 zadań zamkniętych i 5 otwartych z ciągów. Na Sprawnej Maturze masz ponad 210 zadań z ciągów z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz je wszystkie, zaczynając od najnowszych. Po 30 zadaniach zobaczysz, że schematy się powtarzają i będziesz je rozwiązywać na autopilocie.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Którym wyrazem ciągu jest liczba i ile wyrazów ciągu jest ujemnych - zadania maturalne

Liczba jest wyrazem ciągu, gdy równanie a_n = x ma rozwiązanie naturalne n ≥ 1. Wyrazy ujemne i dodatnie liczysz przez nierówność i wypisanie liczb naturalnych z przedziału. Schemat, pułapki i 6 zadań rozwiązanych krok po kroku.

Przewodnik tematyczny

Granica ciągu - jak obliczyć krok po kroku i zadania z matury rozszerzonej

Granica ciągu to liczba, do której zbliżają się wyrazy ciągu, gdy n rośnie do nieskończoności. Metoda dzielenia przez najwyższą potęgę, reguła trzech przypadków, pierwiastki i wyrażenie sprzężone, granica z parametrem. Sześć rozwiązanych zadań z arkuszy matury rozszerzonej, pułapki i FAQ.

Rozwiązanie zadania

Kiedy liczby tworzą ciąg arytmetyczny lub geometryczny - warunek i zadania

Warunek 2b = a + c dla ciągu arytmetycznego i b do kwadratu równe ac dla geometrycznego: wyprowadzenia, pięć zadań maturalnych krok po kroku i pułapka z drugim rozwiązaniem.