Ciągi arytmetyczne i geometryczne na maturze - wzory, własności i zadania z rozwiązaniami

Ciągi na maturze - dlaczego to ważne?

Ciągi to drugi najczęstszy temat na maturze z matematyki (zaraz po geometrii analitycznej). W każdym arkuszu CKE pojawiają się 3-4 zadania z ciągów, łącznie za 5-7 punktów. Dobra wiadomość: zadania z ciągów są bardzo schematyczne - jeśli opanujesz kilka wzorów, rozwiążesz je szybko i pewnie.

Ciąg arytmetyczny - podstawowe wzory

Ciąg arytmetyczny to taki, w którym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Tę różnicę oznaczamy $r$.

$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = \ldots = r$

Wzór na n-ty wyraz

$a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$

Przykład: Jeśli $a_1 = 3$ i $r = 5$, to $a_{10} = 3 + 9 \cdot 5 = 48$.

Suma n pierwszych wyrazów

Dwa równoważne wzory - używaj tego, w którym znasz potrzebne dane:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$

Pierwszy wzór jest wygodniejszy, gdy znasz pierwszy i ostatni wyraz. Drugi - gdy znasz pierwszy wyraz i różnicę.

Własność środkowego wyrazu

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

Środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów. To stąd nazwa "ciąg arytmetyczny". CKE uwielbia dawać układ równań, w którym ta własność jest kluczem do rozwiązania.

Ciąg geometryczny - podstawowe wzory

Ciąg geometryczny to taki, w którym iloraz kolejnych wyrazów jest stały. Oznaczamy go $q$.

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \ldots = q$

Wzór na n-ty wyraz

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Przykład: Jeśli $a_1 = 2$ i $q = 3$, to $a_5 = 2 \cdot 3^4 = 162$.

Suma n pierwszych wyrazów

$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{dla } q \neq 1$

Uwaga: Ten wzór nie działa dla $q = 1$ - wtedy $S_n = n \cdot a_1$ (bo wszystkie wyrazy są równe).

Własność środkowego wyrazu

$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$

Kwadrat środkowego wyrazu = iloczyn sąsiadów. To średnia geometryczna - i stąd nazwa "ciąg geometryczny".

Monotoniczność ciągów

Na maturze często pojawiają się pytania o monotoniczność:

Ciąg arytmetyczny:

Ciąg geometryczny (zakładając $a_1 > 0$):

Pułapka CKE: Ciąg geometryczny z $q = -2$ ma wyrazy: $a_1, -2a_1, 4a_1, -8a_1, \ldots$ - na przemian dodatnie i ujemne. Taki ciąg nie jest monotoniczny, mimo że wartości bezwzględne rosną.

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Przykład 1: Wyznacz n-ty wyraz z warunków

Treść: W ciągu arytmetycznym $a_3 = 10$ i $a_7 = 26$. Wyznacz $a_{15}$.

Rozwiązanie:

Z wzoru na n-ty wyraz:
$a_3 = a_1 + 2r = 10$
$a_7 = a_1 + 6r = 26$ Odejmujemy równanie pierwsze od drugiego:
$4r = 16 \implies r = 4$ Podstawiamy do pierwszego równania:
$a_1 + 8 = 10 \implies a_1 = 2$ Obliczamy $a_{15}$:
$a_{15} = 2 + 14 \cdot 4 = 2 + 56 = 58$

Odpowiedź: $a_{15} = 58$

Przykład 2: Suma wyrazów z warunkami

Treść: Suma 20 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 400, a $a_1 = 2$. Wyznacz różnicę $r$.

Rozwiązanie:

Ze wzoru na sumę:
$S_{20} = \frac{2a_1 + 19r}{2} \cdot 20 = 400$ $\frac{2 \cdot 2 + 19r}{2} \cdot 20 = 400$ $\frac{4 + 19r}{2} \cdot 20 = 400$ $(4 + 19r) \cdot 10 = 400$ $4 + 19r = 40$ $19r = 36$ $r = \frac{36}{19}$

Odpowiedź: $r = \frac{36}{19}$

Przykład 3: Czy dany ciąg jest arytmetyczny?

Treść: Dany jest ciąg o wzorze ogólnym $a_n = 3n - 1$. Czy jest to ciąg arytmetyczny? Jeśli tak, podaj różnicę.

Rozwiązanie:

Sprawdzamy, czy różnica $a_{n+1} - a_n$ jest stała:

$a_{n+1} - a_n = (3(n+1) - 1) - (3n - 1) = 3n + 3 - 1 - 3n + 1 = 3$

Różnica jest stała i wynosi 3, więc ciąg jest arytmetyczny z $r = 3$.

Można też sprawdzić na kilku wyrazach: $a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_3 = 8$. Różnice: $5-2 = 3$, $8-5 = 3$. Zgadza się.

Odpowiedź: Tak, ciąg jest arytmetyczny z $r = 3$.

Przykład 4: Procent składany (ciąg geometryczny)

Treść: Na lokacie bankowej złożono 10 000 zł z oprocentowaniem 4% w skali roku (procent składany). Ile pieniędzy będzie na koncie po 5 latach?

Rozwiązanie:

Kwota po każdym roku tworzy ciąg geometryczny z $a_1 = 10000$ i $q = 1{,}04$.

Kwota po 5 latach:
$a_6 = a_1 \cdot q^5 = 10000 \cdot 1{,}04^5$ Obliczamy $1{,}04^5$:
$1{,}04^2 = 1{,}0816$
$1{,}04^4 = 1{,}0816^2 \approx 1{,}1699$
$1{,}04^5 = 1{,}1699 \cdot 1{,}04 \approx 1{,}2167$ $a_6 \approx 10000 \cdot 1{,}2167 = 12\,167 \text{ zł}$

Odpowiedź: Po 5 latach na koncie będzie około $12\,167$ zł.

Przykład 5: Układ równań z ciągiem geometrycznym

Treść: W ciągu geometrycznym $a_2 = 6$ i $a_5 = 162$. Wyznacz $a_1$ i $q$.

Rozwiązanie:

Z wzoru na n-ty wyraz:
$a_2 = a_1 \cdot q = 6$
$a_5 = a_1 \cdot q^4 = 162$ Dzielimy drugie równanie przez pierwsze:
$\frac{a_1 q^4}{a_1 q} = \frac{162}{6}$ $q^3 = 27 \implies q = 3$ Z pierwszego równania:
$a_1 \cdot 3 = 6 \implies a_1 = 2$

Sprawdzenie: $a_1 = 2, a_2 = 6, a_3 = 18, a_4 = 54, a_5 = 162$. Zgadza się.

Odpowiedź: $a_1 = 2$, $q = 3$

Błędy, których musisz unikać

Błąd 1: Mylenie indeksowania. W wzorze $a_n = a_1 + (n-1)r$ - to $n-1$, nie $n$! Dla $a_5$ mnożysz $r$ przez 4, nie przez 5.

Błąd 2: W ciągu geometrycznym - dzielenie przez $q = 0$ lub używanie wzoru na sumę przy $q = 1$.

Błąd 3: Zapominanie o warunkach istnienia. Ciąg geometryczny wymaga $a_1 \neq 0$ i $q \neq 0$.

Jak ćwiczyć ciągi efektywnie?

Rozwiąż przynajmniej 20 zadań zamkniętych i 5 otwartych z ciągów. Na Sprawnej Maturze masz 233 zadania z ciągów z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz je wszystkie, zaczynając od najnowszych. Po 30 zadaniach zobaczysz, że schematy się powtarzają i będziesz je rozwiązywać na autopilocie.