Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego - wzory i zadania krok po kroku

Sumowanie ciągów to temat, który pojawia się na maturze praktycznie co roku. CKE pyta o sumę ciągu arytmetycznego w zadaniach zamkniętych i otwartych, a suma ciągu geometrycznego regularnie pojawia się w trudniejszych zadaniach za 4-5 punktów. Jeśli opanujesz oba wzory i nauczysz się je rozpoznawać, masz gwarancję kilku punktów na egzaminie.

Suma ciągu arytmetycznego

Wzór

Suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

lub w wersji z różnicą $r$:

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$$

Oba wzory są równoważne. Pierwszy jest szybszy, gdy znasz $a_1$ i $a_n$. Drugi - gdy znasz $a_1$ i $r$, ale nie znasz $a_n$.

Skąd się bierze ten wzór?

Wyobraź sobie, że chcesz dodać liczby od 1 do 100. Gauss zauważył trik: paruj pierwszy z ostatnim:

$$1 + 100 = 101, \quad 2 + 99 = 101, \quad 3 + 98 = 101, \quad \ldots$$

Masz 50 takich par, każda daje 101. Suma = $50 \cdot 101 = 5050$.

Dokładnie tak samo działa wzór: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ to "średnia z pierwszego i ostatniego" razy "liczba wyrazów".

Przykład 1: Suma liczb naturalnych

Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 200.

Rozwiązanie:

To ciąg arytmetyczny z $a_1 = 1$, $a_n = 200$, $n = 200$.

$$S_{200} = \frac{(1 + 200) \cdot 200}{2} = \frac{201 \cdot 200}{2} = 201 \cdot 100 = 20100$$

Odpowiedź: $S_{200} = 20100$.

Przykład 2: Suma z warunkami

W ciągu arytmetycznym $a_1 = 5$ i $r = 3$. Oblicz $S_{20}$.

Rozwiązanie:

Nie znamy $a_{20}$, ale możemy użyć drugiego wzoru:

$$S_{20} = \frac{2 \cdot 5 + (20-1) \cdot 3}{2} \cdot 20 = \frac{10 + 57}{2} \cdot 20 = \frac{67}{2} \cdot 20 = 670$$

Albo najpierw obliczamy $a_{20}$:

$$a_{20} = a_1 + 19r = 5 + 57 = 62$$ $$S_{20} = \frac{(5 + 62) \cdot 20}{2} = \frac{67 \cdot 20}{2} = 670$$

Odpowiedź: $S_{20} = 670$.

Przykład 3: Zadanie odwrotne

Suma 15 pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 300, a pierwszy wyraz to 6. Wyznacz różnicę ciągu.

Rozwiązanie:

Podstawiamy do wzoru:

$$300 = \frac{2 \cdot 6 + (15-1) \cdot r}{2} \cdot 15$$ $$300 = \frac{12 + 14r}{2} \cdot 15$$ $$\frac{300}{15} = \frac{12 + 14r}{2}$$ $$20 = \frac{12 + 14r}{2}$$ $$40 = 12 + 14r$$ $$14r = 28$$ $$r = 2$$

Odpowiedź: $r = 2$. Sprawdzenie: $a_{15} = 6 + 14 \cdot 2 = 34$, $S_{15} = \frac{(6 + 34) \cdot 15}{2} = 300$. Zgadza się.

Suma ciągu geometrycznego

Wzór

Suma $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi:

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{dla } q \neq 1$$

Gdy $q = 1$, ciąg jest stały i $S_n = n \cdot a_1$.

Ten wzór jest na karcie wzorów CKE, ale musisz umieć go stosować.

Przykład 4: Prosta suma geometryczna

Oblicz sumę 6 pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego z $a_1 = 2$ i $q = 3$.

Rozwiązanie:

$$S_6 = 2 \cdot \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 729}{-2} = 2 \cdot \frac{-728}{-2} = 2 \cdot 364 = 728$$

Odpowiedź: $S_6 = 728$.

Trik: Gdy $q > 1$, wygodniej użyć wzoru z odwróconym ułamkiem: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$. Daje to samo, ale bez minusów.

Przykład 5: Ciąg malejący

Oblicz sumę ciągu geometrycznego: $16, 8, 4, 2, 1, \frac{1}{2}$.

Rozwiązanie:

Mamy $a_1 = 16$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 6$.

$$S_6 = 16 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^6}{1 - \frac{1}{2}} = 16 \cdot \frac{1 - \frac{1}{64}}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot \frac{63}{32} = \frac{63}{2} = 31{,}5$$

Odpowiedź: $S_6 = 31{,}5$.

Przykład 6: Zadanie maturalne z ciągiem geometrycznym

Trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego to $a$, $a + 6$, $a + 9$. Wyznacz te wyrazy i oblicz sumę 5 pierwszych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:

W ciągu geometrycznym stosunek kolejnych wyrazów jest stały:

$$\frac{a + 6}{a} = \frac{a + 9}{a + 6}$$

Mnożymy na krzyż:

$$(a + 6)^2 = a(a + 9)$$ $$a^2 + 12a + 36 = a^2 + 9a$$ $$3a = -36$$ $$a = -12$$

Wyrazy: $-12, -6, -3$. Iloraz: $q = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}$.

Suma 5 wyrazów:

$$S_5 = -12 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \frac{1}{2}} = -12 \cdot \frac{1 - \frac{1}{32}}{\frac{1}{2}} = -12 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = -12 \cdot \frac{31}{16} = -\frac{93}{4} = -23{,}25$$

Odpowiedź: $S_5 = -\frac{93}{4}$.

Więcej zadań tego typu znajdziesz w naszym poradniku o ciągach na maturze.

Jak rozpoznać, którą sumę liczyć?

To kluczowa umiejętność na maturze. Algorytm:

1. Sprawdź, czy ciąg jest arytmetyczny: Czy różnica $a_{n+1} - a_n$ jest stała? Jeśli tak - wzór na sumę arytmetycznego.
2. Sprawdź, czy ciąg jest geometryczny: Czy iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ jest stały? Jeśli tak - wzór na sumę geometrycznego.
3. Wzór ogólny: Jeśli $a_n = An + B$ - ciąg arytmetyczny. Jeśli $a_n = A \cdot q^n$ - geometryczny.

Typowe błędy

Błąd 1: Mylenie n z a_n. We wzorze $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, $n$ to liczba wyrazów, a $a_n$ to wartość n-tego wyrazu. Jeśli sumujesz wyrazy od $a_3$ do $a_{10}$, to $n = 8$ (nie 10!).

Błąd 2: Sumowanie od dowolnego wyrazu. Wzór daje sumę $n$ pierwszych wyrazów. Jeśli potrzebujesz sumy od $a_k$ do $a_m$, oblicz $S_m - S_{k-1}$.

Błąd 3: q = 1 w ciągu geometrycznym. Wzór na $S_n$ ma w mianowniku $1 - q$. Dla $q = 1$ mamy dzielenie przez zero! Wtedy ciąg jest stały i $S_n = n \cdot a_1$.

Błąd 4: Zapominanie o znaku q. Jeśli $q < 0$, wyrazy ciągu zmieniają znak naprzemiennie. Wzór nadal działa, ale uważaj na potęgowanie ujemnego $q$.

Błąd 5: Niewłaściwe n w zadaniach z treścią. "Łącznie za 10 lat" to $n = 10$, nie $n = 11$. Czytaj zadanie uważnie.

Zastosowania sum ciągów

Na maturze sumy ciągów pojawiają się w kontekście:

Sprawdź też nasze poradniki o procencie składanym i zadaniach zamkniętych, gdzie sumy ciągów pojawiają się w praktyce.

Co musisz umieć - checklista

Przećwicz na zadaniach z ciągów w naszej bazie - mamy 215 zadań maturalnych z rozwiązaniami. Sprawdź też kompletną listę wzorów, żeby mieć oba wzory na sumę pod ręką.