🔄 Ciągi

Wszystkie losy loterii fantowej zostały ponumerowane kolejno od numeru $10000$ do numeru $99999$. Te losy, którym na...

Suma $23$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ dla $n\ge 1$ jest równa $1564$. Oblicz średnią arytm...

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ o wszystkich wyrazach różnych od zera, określony dla $n\ge 1$. Wykaż, że ciąg...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy...

Trójwyrazowy ciąg $(x+1,x-1,2x)$ jest arytmetyczny dla

Skończony ciąg $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy $a_3$, można...

Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadni...

W ciągu arytmetycznym $a_n$ dla $n\ge 1$, $a_1=8$ oraz $a_1+a_2+a_3=33$. Wtedy suma $a_4+a_5+a_6$ jest równa

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ dana jest wzorem $S_n=\frac{n^2-25n}{4}$, gdzie...

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla $n\ge 1$. Wykaż, że ciąg $(b_n)$, określony dla $n\ge 1$ wzore...

Rzucono $100$ razy sześcienną kostką do gry. Średnia arytmetyczna liczb oczek w pierwszych $40$ rzutach była równa...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$, w którym $a_1=1$, znane są wartości dwóch wyrazów: $a_k=16$ i $a_{k+2}=32$, gdzie...

W pewnym ciągu geometrycznym $a_n$ wyraz $a_4$ jest osiem razy większy od wyrazu $a_1$. Drugi wyraz tego ciągu jes...

W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy $(-16)$, a siódmy wyraz jest równy...

Dana jest funkcja wykładnicza $f(x)=2^x$ oraz ciąg o wyrazie ogólnym $a_n=f(3n)$, dla $n\ge 1$. Wykaż, że ciąg...

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg $(a_n)$ określony wzorem...

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \frac{1}{x}$ dla każdej liczby rzeczywistej $x \ne 0$. Oblicz wartość...

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg $\left(a_{n}\right)$ określony...

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem rekurencyjnym:...

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem ogólnym: $a_n = 4n - 9$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Wykaż, że...

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = n^2 - 2n - 24$ dla $n \ge 1$?

Liczby $a, b, c$ tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa $93$. Te same liczby, w p...

Liczby $2, x-3, 8$ w podanej kolejności są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$.

Ciąg $a_n$ jest określony wzorem $a_n=(-3)^n\cdot (9-n^2)$ dla $n\ge 1$. Wynika stąd, że

Liczby $x-1,\ 4,\ 8$ (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczb...

Wyrazami ciągu arytmetycznego $(a_n)$ są kolejne liczby naturalne, które przy dzieleniu przez $5$ dają resztę $2$....

Wyznacz wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa $10$, a...

Liczby $-8,\ 4,\ x+1$ (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wówczas licz...

Średnia arytmetyczna liczb: $3, 1, 1, 0, x, 0$ jest równa $2$. Oblicz $x$.

Suma $S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$ początkowych $n$ wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest określona wz...

Ciąg $(2\sqrt{2},4,a)$ jest geometryczny. Wówczas

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\sqrt{2n+4}$ dla $n\ge 1$. Wówczas

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=7\cdot 3^{n+1}$ , dla $n\ge 1$. Oblicz iloraz...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ pierwszy wyraz jest równy $\frac{9}{8}$, a czwarty wyraz jest równy $\frac{1}{3}$. W...

Ciąg $\left ( {a}_{n} \right )$ określony jest wzorem ${a}_{n}=-2+\frac{12}{n}$ dla $n \ge 1$. Równość...

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ w którym różnica $r=-2$ oraz $a_{20 }=17$ . Wówczas pierwszy wyraz tego ciągu...

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, w którym \(a_1+a_2+a_3+a_4=2016...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=6(n-16)$ dla $n\ge 1$. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jes...

Średnia arytmetyczna czterech liczb: $x−1,\ 3x,\ 5x+1$ i $7x$ jest równa $72$. Wynika stąd, że

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym $a_1=72$ i $a_4=9$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy

Dany jest ciąg geometryczny $(x,2x^2,4x^3,8)$ o wyrazach nieujemnych. Wtedy

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge1$, spełniony jest warunek $2a_3=a_2+a_1+1$. Różnica $r$ tego...

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, jest równa $30$. Pon...

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$ określonego dla $n\ge1$ są dodatnie i $3a_2=2a_3$. Stąd wynika, że i...

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla liczb naturalnych $n\ge1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą o...

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n=16-\frac{1}{2}\cdot n$ dla każdej liczby całkowitej...

W ciągu geometrycznym przez $S_n$ oznaczamy sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n$\ge$1\...

Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla liczb naturalnych $n\ge1$, o wyrazach dodatnich. Jeśli...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{n-2}{3}$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Dokończ zdanie. Wyb...

Trzywyrazowy ciąg $(1, 4, a + 5)$ jest arytmetyczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Licz...

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. W tym ciągu $a_1=3{,}75$ oraz...

W ciągu arytmetycznym $\left(a_{n}\right)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, dane są wyrazy:...

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n} = 2 \cdot (-1)^{n+1} + 5$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

**...

Trzywyrazowy ciąg $(-1,2, x)$ jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg ( $-1,2, y$ ) jest geometryczny. Dokończ zdanie....

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzywyrazowy ciąg $(4,\,m,\,m-1)$ jest geometryczny, gdy...

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, dane są wyrazy: $a_{1}=52$ or...

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n}=3n^{2}-3n$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$.

a) Dokończ zdanie...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są: $a_1 = 3$ i $a_4 = 24$. Iloraz tego ciągu jest równy

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są: $a_3=13$ i $a_5=39$. Wtedy wyraz $a_1$ jest równy

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym $a_3=1$ i $a_4=\frac{2}{3}$. Wtedy

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$ o wyrazach dodatnich. Wtedy

Liczby $x, y, 19$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym $x+y=8$. Oblicz $x$ i $y$.

Ciąg $(9, x, 19)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(x, 42, y, z)$ jest geometryczny. Oblicz $x$, $y$ oraz $z$.

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=(-1)^n\cdot \frac{2-n}{n^2}$ dla $n\ge 1$. Wówczas wyraz...

Ciąg $(27, 18, x+5)$ jest geometryczny. Wtedy

Ciąg $(a_n)$ określony dla $n\ge 1$ jest arytmetyczny oraz $a_3=10$ i $a_4=14$ . Pierwszy wyraz tego ciągu jest...

Liczby: $x-2,\ 6,\ 12$, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba $x$ jest...

Liczby $2,-1,-4$ są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego $(a_n)$ określonego dla liczb naturalnych...

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu...

W rosnącym ciągu geometrycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, spełniony jest warunek $a_4=3a_1$. Iloraz $q$ t...

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $$2,4,7,8,9$$ jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych:...

Średnia arytmetyczna sześciu liczb naturalnych: $31, 16, 25, 29, 27, x$, jest równa $\frac{x}{2}$. Mediana tych licz...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2n^2+2n$ dla $n\ge 1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego...

Ciąg $(x,2x+3,4x+3)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy $8$, a różnica tego ciągu jest równa $\left (-\frac{3}{2}\right )$....

Średnia arytmetyczna ośmiu liczb: $3,5,7,9,x,15,17,19$ jest równa $11$. Wtedy

Dany jest trójwyrazowy ciąg geometryczny $(24,6,a-1)$. Stąd wynika, że

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, dane są: wyraz $a_1=8$ i suma trzech początkowych wyrazów...

W ciągu arytmetycznym $a_n$, określonym dla $n\ge 1$, dane są: $a_1=5$, $a_2=11$. Wtedy

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = \frac{5 - 2n}{6}$ dla $n\ge 1$. Ciąg ten jest

Dla ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge1$, jest spełniony warunek $a_4 + a_5 + a_6 = 12$. Wtedy

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n\ge1$, w którym $a_1 = \sqrt{2}$, $a_2 = 2\sqrt{2}$,...

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n \ge 1$, jest równy $30$, a suma jego dwunastu pocz...

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge1$, dane są dwa wyrazy: $a_1 = 7$ i $a_8 = -49$. Suma ośmiu p...

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Różnicą tego ciągu jest liczba...

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla $n\ge1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2n^2$ dla $n\ge1$. Różnica $a_5-a_4$ jest równa

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge1$, czwarty wyraz jest równy $3$, a różnica tego ciągu jest rów...

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge1$, są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają war...

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają...

Trzywyrazowy ciąg $\left(15, 3x, \frac{5}{3}\right)$ jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynik...

Ciąg $(b_n)$ jest określony wzorem $b_n=3n^2-25n$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Liczba niedodatnich wyrazó...

W ciągu arytmetycznym $a_n$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, $a_1=-1$ i $a_4=8$. Oblicz sumę st...

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, $a_5=-31$ oraz $a_{10}=-66$. Róż...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{2n^2-30n}{n}$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Wtedy $a_7$ je...

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_n)$, określonego dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, są d...

Trzywyrazowy ciąg $(27, 9, a - 1)$ jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Lic...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2^n \cdot (n + 1)$ dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Dokończ zdani...

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości $8910$ zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedn...

Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony wzorem $a_{n}=(-1)^{n} \cdot(n-5)$ dla każdej liczby naturalnej \(n $\geq$ 1\...

Ciąg arytmetyczny $\left(a_{n}\right)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$. Trzeci wyraz tego cią...

Trzywyrazowy ciąg $(12,6,2 m-1)$ jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. a...

Wyznacz wartość $m$, dla której trzywyrazowy ciąg $$\left(2 m+11, m^{2}+3,5-m\right)$$ jest arytmetyczny i malejący....

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony dla każde...

Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony następująco:...

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Wyrazy trzeci i szósty tego ciągu sp...

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. W tym ciągu $a_1=1$ oraz \(a_5=17\...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=3n+5$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzywyrazowy ciąg...

Trzywyrazowy ciąg $(1 - 2a, 12, 48)$ jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. L...

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. W tym ciągu $a_2 = 4$ oraz...

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$. Suma $n$ początkowych wyrazów tego ciągu jest...

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzywyrazowy ciąg ( $5 m, 4+2 m, m$ ) jest arytmetyczny,...

Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony wzorem $a_{n}=3 \cdot(-1)^{n}+10$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$...

Dany jest ciąg geometryczny $\left(a_{n}\right)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, w którym...

Ciąg geometryczny $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, jest malejący. Wyrazy tego ciągu spełnia...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $$a_n=\frac{3n+9}{n+1}$$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Wyznacz wszystk...

Ciąg $(a_n)$ jest określony następująco: \[ $$\begin{cases} a_1=5\\ a_{n+1}=a_n+2 \quad \text{dla } n\ge 1 \end{cases}$$ \...

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $3, 8, 3, 11, 3, 10, 3, x$ jest równa $6$. Mediana tego zestawu jest równa

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{24-4n}{n}$ dla $n\ge 1$. Liczba wszystkich całkowitych nieujem...

Dany jest ciąg geometyczny $(a_n)$, w którym $a_1=-\sqrt{2},\ a_2=2,\ a_3=-2\sqrt{2}$ . Dziesiąty wyraz tego cią...

Liczby $1, 5, 501$ są odpowiednio pierwszym, drugim i ostatnim wyrazem skończonego ciągu arytmetycznego. Ile wyrazów m...

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$, w którym pierwszy wyraz jest równy $6$, a czwarty $12\sqrt{2}$. Liczba...

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny oraz $a_1=2$, $a_2=6$. Liczby $a_3, x, \frac{x}{2}$ w podanej kolejności tworzą c...

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ dla którego suma pierwszych $n$ wyrazów wyraża się wzorem...

Ciąg $(a,b,c)$ jest geometryczny, a ciąg $\left(a,\frac{c}{6},b-4\right)$ jest arytmetyczny. Ponadto $a+b+c=52$. W...

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest niemonotoniczny oraz $\frac{a_{13}}{a_9}=64$. Iloraz $q$ tego ciągu jest równy

Który wyraz ciągu $a_n=-\frac{7}{3}n+21$ jest równy zero?

Ciągiem arytmetycznym jest ciąg o wyrazie ogólnym $a_n$ równym:

Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego wiedząc, że trzeci wyraz jest równy $18$, a szósty $486$.

Ciąg geometryczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=\frac{3^n}{4}$. Iloraz tego ciągu jest równy:

Ciąg $(2x – 1, y, 6x + 3)$ jest arytmetyczny, a ciąg $(3, y, 27)$ jest geometryczny rosnący. Oblicz $x$ i...

Ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest określony następująco:...

Dany jest ciąg arytmetyczny $\left(a_{n}\right)$ określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$, w którym...

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla którego trzywyrazowy ciąg $$\left(2m-1,\ m,\ 2m+1\right)$$ jest geomet...

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = -2n + 1$ dla $n \ge 1$. Różnica tego ciągu jest równa

Liczby $64, x, 4$ są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyr...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są $a_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $a_3=-\frac{3}{2}$ . Wtedy wyraz $a_1$ jest rów...

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla $n\ge 1$ wzorem $a_n=-n^2-4\sqrt{3}$ . Sprawdź którym wyrazem tego ciągu jest licz...

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ dane są $a_1=2$ i $a_2=4$. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równ...

Liczby $12, 18, 2x + 1$ są, w podanej kolejności, odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego...

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ suma trzydziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $1245$ oraz $a_1=-2$. Wt...

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^{2n-1}$ dla $n\ge 1$. Iloraz tego ciągu jest równy

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa $5$...

Ciąg $(x,y,z)$ jest geometryczny. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy $64$. Stąd wynika, że $y$ jest...

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=(-2)^n\cdot n+1$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$. Wtedy trzeci wyraz...

Rosnący ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Suma pierwszych pięciu wyraz...

Ciągi $(a_n), (b_n)$ oraz $(c_n)$ są określone dla każdej liczby naturalnej $n\ge1$ następująco: $a_n=6n^2-n^3$...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ są dane: $a_2=-1, q=-2$. Suma czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu jest...

Liczby $x, 4, x+2$ są w podanej kolejności drugim, trzecim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Wówczas liczba \(x...

Iloraz ciągu geometrycznego o wyrazie ogólnym $a_n=2\cdot 7^n$ jest równy:

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$ drugi wyraz jest równy $7$, a szósty $17$. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego cią...

Suma $2n$ początkowych liczb naturalnych dodatnich parzystych jest równa:

Dany jest ciąg $(a_n)$ o wyrazie ogólnym $a_n=-n^2+16$ dla $n\ge 1$. Liczba dodatnich wyrazów tego ciągu jest równ...

Dane liczby: $x=\frac{3}{\sqrt{5}-2}, \ y=\frac{12}{\sqrt{5}-1}, \ z=3\sqrt{5}+2$ tworzą rosnący ciąg arytmetyczny w k...

Ciąg $(b_n)$ określony jest wzorem $b_n=(-1)^{2n+3}\cdot (n+1)$ . Suma dwóch pierwszych wyrazów tego ciągu jest równ...

Uczeń przygotowujący się do matury w ciągu pierwszego tygodnia rozwiązał $5$ zadań. Postanowił jednak, że w każdym nas...

W ciągu arytmetycznym piąty wyraz jest równy $8$, zaś siódmy wyraz tego ciągu jest równy $14$. Dziesiąty wyraz tego...

Wykaż, że jeśli liczby $(3^a,3^b,3^c)$ tworzą ciąg geometryczny, to liczby $(a,b,c)$ tworzą ciąg arytmetyczny.

Dany jest ciąg $(a_n)$ o wyrazie ogólnym $a_n=\frac{2n+1}{n+3}$. Liczby $a_3,a_5$ są wyrazami tego ciągu, a liczby...

Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od $0$. Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa $0$. Ozna...

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem $S_n=3n^2+4n$. Piąty wyraz tego ciągu jest równ...

Dodatnich wyrazów ciągu określonego wzorem $a_n=-2n+2018$ dla $n\ge 1$ jest:

Sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(4, 6, 9,...)$ można obliczyć ze wzoru:

W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa $5\frac{1}{2}$, a suma trzech pierwszych wyrazów...

Dany jest skończony, pięciowyrazowy ciąg $(4a-5; a; b; b+2; 9)$. Trzy pierwsze wyrazy tego ciągu są trzema kolejnymi w...

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy $r=-4$. Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o $3$, a trzecią po...

W ciągu geometrycznym, który ma sześć wyrazów, dane są $a_3=\frac{1}{2}$ i $a_6=\frac{1}{16}$. Zatem:

O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(75...

Ciąg $a_n$ jest określony wzorem $a_n=(-2)^{3n}\cdot (n^2-4)$ dla $n\ge 1$. Wówczas

Liczby $2;\ 2x-1;\ 0{,}5$ (w podanej kolejności) są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem monotonicznego ciągu geometryc...

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ , w którym $a_1=64$ i $q=-\frac{1}{2}$ . Wówczas

Trzydziesty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równy $4$, a trzydziesty piąty wyraz tego ciągu jest równy \(7...

Liczby $2x+1, 6, 16x+2$ są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz $x$...

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ mamy $a_3 = 5$ i $a_4 = 15$. Wtedy wyraz $a_5$ jest równy.

Ile wyrazów ujemnych ma ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n = 2n^2 - 9$ dla $n \ge 1$?

W ciągu geometrycznym $(a_n)$ dane są: $a_1=36$, $a_2=18$. Wtedy

Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy $3$, czwarty wyraz tego ciągu jest równy $15$. Oblicz sumę sześciu po...

Dany jest ciąg $(a_n)$ określony wzorem $a_n=\frac{n}{(-2)^n}$ dla $n\ge 1$. Wówczas

Liczby $7, a, 49$ w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wtedy $a$ jest równe

Liczby $3x−4$ , $8$, $2$ w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=n^2-n$ , dla $n \ge 1$ . Który wyraz tego ciągu jest równy $6$?

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony dla $n\ge 1$, w którym $a_5=22$ oraz $a_{10}=47$. Oblicz p...

Suma dziesięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest równa $35$. Pierwszy wyraz $a_1$ tego...

Ciąg geometryczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=-\frac{3^n}{4}$ dla $n\ge 1$. Iloraz tego ciągu jest ró...

Średnia arytmetyczna liczb: $x,13,7,5,5,3,2,11$ jest równa $7$. Mediana tego zestawu liczb jest równa

Ciąg liczbowy określony jest wzorem $a_n=\frac{2^n-1}{2^n+1}$, dla $n\ge 1$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

Wszystkie dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez $7$ tworzą rosnący ciąg arytmetyczny. Dwunastym wyrazem tego cią...

Jeżeli do zestawu czterech danych: $4, 7, 8, x$ dołączymy liczbę $2$, to średnia arytmetyczna wzrośnie o $2$. Zate...

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=2016-3n$, dla $n\ge 1$. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyra...

Dla każdej liczby całkowitej dodatniej $n$ suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$ jest określo...

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy $8$, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy $(-216)$. Iloraz tego ciąg...

Średnia arytmetyczna zestawu danych: $x, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ jest równa $9$. Wtedy mediana tego zestawu danych j...